Gleichmächtigkeit von Mengen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Beweisen oder Widerlegen Sie:
Die Potenzmenge der natürlichen Zahlen P [mm] (\IN) [/mm] ist nicht abzählbar.
Hinweis: Führen Sie die Anname P [mm] (\IN) [/mm] wäre abzählbar zum Widerspruch. |
| Aufgabe 2 | Beweisen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen [mm] \IR [/mm] nicht abzählbar ist.
Hinweis:
Gibt es eine bijektive Abbildung von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \left[ 0;1\right]
[/mm]
Führen Sie die Annahme [mm] \IR [/mm] wäre abzählbar zum Widerspruch.
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Hallo,
zu meiner oben gestellten Frage folgendes:
Was ich zu Gleichmächtigkeit verstanden habe, ist, dass zwei Mengen genau dann gleichmächtig sind, wenn es zwischen ihnen eine bijektive Abbildung gibt. Für endliche Mengen gilt, dass jede echte Teilmenge einer Menge a nicht gleichmächtig zu der Menge a sein kann (mh, logisch, es lässt sich dann keine bijektive Abbildung finden).
Also habe ich auch verstanden, was Gleichmächtigkeit für endliche Mengen bedeutet.
In Bezug auf Gleichmächtigkeit und unendliche Mengen habe ich verstanden, dass man eine Menge, die bijektiv zu den natürlichen Zahlen ist, abzählbar nennt und somit diese gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen ist. Aufgrund der Transitivität von Relationen findet man dann auch unabhängig von den natürlichen Zahlen Mengen, die gleichmächtig sind.
Auch klar.
Ich habe auch verstanden, dass man anhand von Zeichnungen zeigen kann, dass z.B. die ganzen Zahlen bijektiv zu den natürlichen Zahlen sind.
Wie man einen solchen Beweis allerdings formal ausführen kann, ist mir nicht klar geworden.
Das selbe gilt dann für Mengen, die überabzählbar sind. Die kann man ja auch nicht aufzeichnen, oder?
Sowohl in Aufgabe 1 alsauch in Aufgabe 2 handelt sich ja anscheinend um Mengen, die überabzählbar sind.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
In Aufgabe 2 meine ich auch verstanden zu haben, warum. Weil es bereits im Intervall von 0 bis 1 unendlich viele Zahlen gibt. Bzw. es gibt keine bjektive Abbildung zwischen diesem Intervall und den natürlichen Zahlen. Und da es eine bijektive Abbildung von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \left[ 0;1\right] [/mm] gibt, gilt aufgrund der Transitivität dann wiederum auch, dass es keine bijektive Abbildung zwischen den natürlichen Zahlen und den reellen Zahlen gibt.
Mh, okay, also ich denke, dass ist soweit alles, was ich verstanden habe. Ich weiß aber eben nicht, wie ich das formal korrekt jetzt zeige.
Wäre lieb, wenn ihr mir helfen könntet.
Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Study1988 |
Oh super, vielen Dank, dass habe ich mir gleich mal ausgedruckt und werde mich damit beschäftigen. :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Study1988 |
Naja, also verstanden hab ich das zwar jetzt nicht, ich hoffe einfach, dass das nicht in der Prüfung vorkommt.
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Klick![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]"){kind=small}
Teufel
