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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:56 So 28.11.2010 | | Autor: | gpvw100 |
| Aufgabe 1 | i) Sei [mm] \varphi_9 [/mm] : [mm] \IZ \to \IZ_9 [/mm] definiert durch [mm] \varphi_9(z) [/mm] := z mod 9
und die Dezimaldarstellung von [mm] a\in\IN_0 [/mm] gegeben durch a = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1*10 [/mm] + ... + [mm] a_s*10^s, a_0,..., \in{0,...,9}, s\in\IN_0. [/mm]
Beweisen Sie für die Quersumme Q(a) := [mm] a_0 [/mm] + ... + [mm] a_s, [/mm] dass [mm] \varphi_9(Q(a)) [/mm] = [mm] \varphi_9(a) [/mm] gilt. |
| Aufgabe 2 | ii) Für Q(a) aus (ii) definiere man rekursiv
[mm] Q^1(a) [/mm] := Q(a) und [mm] Q^k(a) [/mm] := Q [mm] \circ\ Q^{k-1}(a), [/mm] k [mm] \in \IN.
[/mm]
Beweisen Sie, dass es K [mm] \in \IN [/mm] existiert, so dass
[mm] Q^k(a) \in [/mm] {0,1,...,9} für alle k [mm] \ge [/mm] K. |
Ich weiß leider nicht so richtig, wie ich bei diesen beiden Aufgaben vorgehen soll. Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand einen Tipp oder einen Ansatz für die bearbeitung geben könnte.
Vielen Dank,
Janis
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 So 28.11.2010 | | Autor: | gpvw100 |
| Aufgabe 1 | Vorrausgehende Aufgabenstellungen:
i) Beweisen Sie, dass $ [mm] 10^k [/mm] -1 $ für jedes $ k [mm] \in \IN [/mm] $ durch 9 teilbar ist.
ii)Sei $ [mm] \varphi_9 [/mm] $ : $ [mm] \IZ \to \IZ_9 [/mm] $ definiert durch $ [mm] \varphi_9(z) [/mm] $ := z mod 9
und die Dezimaldarstellung von $ [mm] a\in\IN_0 [/mm] $ gegeben durch a = $ [mm] a_0 [/mm] $ + $ [mm] a_1\cdot{}10 [/mm] $ + ... + $ [mm] a_s\cdot{}10^s, a_0,..., \in{0,...,9}, s\in\IN_0. [/mm] $
Beweisen Sie für die Quersumme Q(a) := $ [mm] a_0 [/mm] $ + ... + $ [mm] a_s, [/mm] $ dass $ [mm] \varphi_9(Q(a)) [/mm] $ = $ [mm] \varphi_9(a) [/mm] $ gilt.
iii)Für Q(a) aus (ii) definiere man rekursiv
$ [mm] Q^1(a) [/mm] $ := Q(a) und $ [mm] Q^k(a) [/mm] $ := Q $ [mm] \circ\ Q^{k-1}(a), [/mm] $ k $ [mm] \in \IN. [/mm] $
Beweisen Sie, dass es K $ [mm] \in \IN [/mm] $ existiert, so dass
$ [mm] Q^k(a) \in [/mm] $ {0,1,...,9} für alle k $ [mm] \ge [/mm] $ K. |
| Aufgabe 2 | i) Beweisen Sie, dass [mm] \varphi_9 [/mm] aus Aufgabe 1 ein Ringhomomorphismus zwischen [mm] (\IZ, [/mm] +, *) und [mm] (\IZ_9, [/mm] +_9, *_9) ist.
ii) Beweisen Sie, dass a [mm] \in \IN [/mm] genau dann durch 9 teilbar ist, wenn Q(a) aus Aufgabe 1 durch 9 teilbar ist. |
Meine Frage ist, wie ich am besten an die beiden Beweise aus Aufgabenstellung 2 herangehe. Über Ansätze bzw. Tipps, wie man an die Aufgabestellung herangeht bzw. mit welcher Methode man diese am besten löst wäre ich sehr dankbar.
Vielen Dank,
GPVW100
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
überstetzen kannst du das auf Schulniveau mit "Neunerprobe"
a)ist eine Zahl durch 9 teilbar, so auch ihre Quersumme und umgekehrt
b) die Quersumme lässt denselben Rest bei Division durch 9 wie die zahl selbst.
überlege dazu was [mm] 10^n [/mm] mod9 ist . dann hast du fast den Beweis.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:07 Mo 29.11.2010 | | Autor: | gpvw100 |
Vielen Dank für die Antwort. Auf die Idee den Beweis über die Neunerprobe zu machen bin ich garnicht gekommen.
MfG
GPVW100
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 So 28.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Janis,
es reicht aus, wenn du die Frage einmal im Forum stellst.
LG Felix
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