Gleichheit zweier Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Sa 23.07.2011 | | Autor: | mathey |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie sin(x) jeweils an den Stellen [mm] x_{0}=0 [/mm] und [mm] x_{1}=\pi/2 [/mm] in eine Potenzreihe und beweisen Sie, dass es sich um die gleiche Reihe handelt. |
Hallo,
also ich habe die Reihen schrittweise bis Ableitung 9 bzw. 10 entwickelt um eine Potenzreihenmuster zu erkennen:
[mm] T_{0}(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!
[/mm]
[mm] T_{1}(x)=1-(x-\pi/2)^2/2!+(x-\pi/2)^4/4!-(x-\pi/2)^6/6!+(x-\pi/2)^8/8!-(x-\pi/2)^{10}/10!
[/mm]
Daraus ergeben sich dann die folgenden Potenzreihen:
[mm] T_{0}(x)=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{x^{2k-1}}{(2k+1)!}
[/mm]
[mm] T_{1}(x)=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{(x-\bruch{\pi}{2})^{2k}}{(2k)!}
[/mm]
Dabei ist erstere Reihe ja die bekannte für sin(x).
Die zweite, substituiert man [mm] x-\bruch{\pi}{2}=y, [/mm] entspricht dann cos(y)
Aus der Schule kennt man ja bereits den Zusammenhang [mm] sin(x)=cos(\bruch{\pi}{2}-x)=cos(x-\bruch{\pi}{2}) [/mm] (da cos(x)=cos(-x) gilt).
Wie muss ich nun weitermachen, um zu zeigen, dass beide Reihen identisch sind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:39 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Entwickeln Sie sin(x) jeweils an den Stellen [mm]x_{0}=0[/mm] und
> [mm]x_{1}=\pi/2[/mm] in eine Potenzreihe und beweisen Sie, dass es
> sich um die gleiche Reihe handelt.
>
>
>
> Hallo,
> also ich habe die Reihen schrittweise bis Ableitung 9 bzw.
> 10 entwickelt um eine Potenzreihenmuster zu erkennen:
>
> [mm]T_{0}(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9![/mm]
>
> [mm]T_{1}(x)=1-(x-\pi/2)^2/2!+(x-\pi/2)^4/4!-(x-\pi/2)^6/6!+(x-\pi/2)^8/8!-(x-\pi/2)^{10}/10![/mm]
>
> Daraus ergeben sich dann die folgenden Potenzreihen:
>
> [mm]T_{0}(x)=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{x^{2k-1}}{(2k+1)!}[/mm]
>
> [mm]T_{1}(x)=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{(x-\bruch{\pi}{2})^{2k}}{(2k)!}[/mm]
>
>
> Dabei ist erstere Reihe ja die bekannte für sin(x).
> Die zweite, substituiert man [mm]x-\bruch{\pi}{2}=y,[/mm]
> entspricht dann cos(y)
> Aus der Schule kennt man ja bereits den Zusammenhang
> [mm]sin(x)=cos(\bruch{\pi}{2}-x)=cos(x-\bruch{\pi}{2})[/mm] (da
> cos(x)=cos(-x) gilt).
>
> Wie muss ich nun weitermachen, um zu zeigen, dass beide
> Reihen identisch sind?
ich weiß nicht genau, welche Voraussetzungen Du/Ihr habt. Es wäre wichtig, zu wissen, was Du/Ihr benutzen darfst/dürft. Hast Du ein Skript oder kannst Du stichwortartig aufzählen, was Du in dem Zusammenhang für wichtig hältst, was Ihr schon behandelt habt?
Weißt Du z.B. etwas über Ableitungen von Potenzreihen? (Additionstheoreme oder Eulersche Formel dürft Ihr vermutlich noch nicht anwenden?) Vielleicht kann man hier sogar mit der Gammafunktion oder dem Wallisprodukt arbeiten, wenn ihr etwas darüber wißt... (Das ist jetzt aber ein rein intuitives Raten ohne wirkliches nachdenken von mir, so dass das vielleicht bei der Aufgabe gar nicht geht oder gehen kann.)
Ich denke jedenfalls, dass diese Aufgabe einfach sein kann oder auch "(ziemlich) schwer", je nachdem, "was ihr schon benutzen dürft".
(Ich denke, es wäre auch interessant, zu wissen, wie ihr [mm] $\pi$ [/mm] definiert habt: Z.B. kann man ja sagen, dass [mm] $\pi/2$ [/mm] "die kleinste positive Nullstelle der Kosinusfunktion als Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] sein soll". Und evtl. habt ihr schon "Darstellungen" für [mm] $\pi$?)
[/mm]
Grüße,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:12 So 24.07.2011 | | Autor: | mathey |
Hey, danke für die fixe Meldung.
Weißt Du z.B. etwas über Ableitungen von Potenzreihen? (Additionstheoreme oder Eulersche Formel dürft Ihr vermutlich noch nicht anwenden?)
Hatten wir alles drei. Dürfen wir alles verwenden.
Vielleicht kann man hier sogar mit der Gammafunktion oder dem Wallisprodukt arbeiten
Hatten wir beides noch nicht.
Ich denke, es wäre auch interessant, zu wissen, wie ihr pi definiert habt: Z.B. kann man ja sagen, dass "die kleinste positive Nullstelle der Kosinusfunktion als Funktion sein soll". Und evtl. habt ihr schon "Darstellungen" für ?
Darstellungen von pi hatten wir noch nicht. Ich kanns dir ehrlich gesagt nicht mehr sagen wie wir pi eingeführt haben, im Rahmen des Einführens von sin und cos wurde es als Nullstelle erklärt. Potenzreihen hatten wir erst zum Schluss, also sin und cos als e-Funktion definiert. Aber ich glaube aufs pi kommt es hier gar nicht an und würde mich nicht daran aufhalten. Man hätte denk ich auch die Aufgabe so stellen können an der Stelle [mm] x_{2}=1 [/mm] zu entwickeln. Das ist halt eine hässliche Sache, für pi/2 geht es halt sehr schön.
Grüße, mathey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:44 Mo 25.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey, danke für die fixe Meldung.
>
> Weißt Du z.B. etwas über Ableitungen von Potenzreihen?
> (Additionstheoreme oder Eulersche Formel dürft Ihr
> vermutlich noch nicht anwenden?)
>
> Hatten wir alles drei. Dürfen wir alles verwenden.
sehr schön. Das behalten wir jedenfalls mal im Hinterkopf, falls wir nicht weiterkommen.
> Vielleicht kann man hier sogar mit der Gammafunktion oder
> dem Wallisprodukt arbeiten
>
> Hatten wir beides noch nicht.
>
> Ich denke, es wäre auch interessant, zu wissen, wie ihr pi
> definiert habt: Z.B. kann man ja sagen, dass "die
> kleinste positive Nullstelle der Kosinusfunktion als
> Funktion sein soll". Und evtl. habt ihr schon
> "Darstellungen" für ?
>
> Darstellungen von pi hatten wir noch nicht. Ich kanns dir
> ehrlich gesagt nicht mehr sagen wie wir pi eingeführt
> haben, im Rahmen des Einführens von sin und cos wurde es
> als Nullstelle erklärt. Potenzreihen hatten wir erst zum
> Schluss, also sin und cos als e-Funktion definiert. Aber
> ich glaube aufs pi kommt es hier gar nicht an und würde
> mich nicht daran aufhalten. Man hätte denk ich auch die
> Aufgabe so stellen können an der Stelle [mm]x_{2}=1[/mm] zu
> entwickeln. Das ist halt eine hässliche Sache, für pi/2
> geht es halt sehr schön.
was Du auf jeden Fall mal machen kannst:
[mm] $$(x-\pi/2)^{2k}=((x-\pi/2)^2)^k=\ldots$$
[/mm]
ausrechnen und gucken, wie weit Du damit kommst. Ich hab' mir die Aufgabe halt mal nur kurz angeschaut, daher kann ich Dir momentan nur "Anstöße" geben, was man machen kann. Ob man damit zum Ziel kommt oder doch meilenweit dran vorbeiläuft, weiß ich (noch) nicht.
Ich denke aber, dass man schon irgendwo hier eine Darstellung von [mm] $\pi$ [/mm] (oder [mm] $\pi/2$) [/mm] oder wenigstens eine Eigenschaft dieser Zahl(en) braucht.
Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 26.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Di 26.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Entwickeln Sie sin(x) jeweils an den Stellen [mm]x_{0}=0[/mm] und
> [mm]x_{1}=\pi/2[/mm] in eine Potenzreihe und beweisen Sie, dass es
> sich um die gleiche Reihe handelt.
>
>
>
> Hallo,
> also ich habe die Reihen schrittweise bis Ableitung 9 bzw.
> 10 entwickelt um eine Potenzreihenmuster zu erkennen:
>
> [mm]T_{0}(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9![/mm]
>
> [mm]T_{1}(x)=1-(x-\pi/2)^2/2!+(x-\pi/2)^4/4!-(x-\pi/2)^6/6!+(x-\pi/2)^8/8!-(x-\pi/2)^{10}/10![/mm]
>
> Daraus ergeben sich dann die folgenden Potenzreihen:
>
> [mm]T_{0}(x)=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{x^{2k-1}}{(2k+1)!}[/mm]
Nicht ganz: [mm]T_{0}(x)=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{x^{2k{\red{+}}1}}{(2k+1)!}[/mm]
>
> [mm]T_{1}(x)=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{(x-\bruch{\pi}{2})^{2k}}{(2k)!}[/mm]
>
>
> Dabei ist erstere Reihe ja die bekannte für sin(x).
> Die zweite, substituiert man [mm]x-\bruch{\pi}{2}=y,[/mm]
> entspricht dann cos(y)
> Aus der Schule kennt man ja bereits den Zusammenhang
> [mm]sin(x)=cos(\bruch{\pi}{2}-x)=cos(x-\bruch{\pi}{2})[/mm] (da
> cos(x)=cos(-x) gilt).
>
> Wie muss ich nun weitermachen, um zu zeigen, dass beide
> Reihen identisch sind?
Du könntest es explizit zeigen, indem du in [mm] $T_1(x)$ [/mm] den Term [mm] $(x-\bruch{\pi}{2})^{2k}$ [/mm] per binomischem Lehrsatz ausmultiplizierst und die Reihe nach Gliedern gleicher Potenz von x umordnest (was wegen der absoluten Konvergenz der Reihen erlaubt ist). Ich führe dir das mal für die einfachsten Fälle der konstanten und in x linearen Terme vor: der konstante Term in [mm] $(x-\bruch{\pi}{2})^{2k}$ [/mm] ist ja [mm] $(\bruch{\pi}{2})^{2k}$, [/mm] also ergeben alle konstanten Terme in [mm] $T_1$ [/mm] zusammen
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{(\bruch{\pi}{2})^{2k}}{(2k)!} = \cos \bruch{\pi}{2} = 0 [/mm] .
Für die linearen Terme in [mm] $(x-\bruch{\pi}{2})^{2k}$ [/mm] hast du [mm] $-2kx(\bruch{\pi}{2})^{2k-1}$, [/mm] und daher
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{-2kx(\bruch{\pi}{2})^{2k-1}}{(2k)!} = x \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1} \bruch{(\bruch{\pi}{2})^{2k-1}}{(2k-1)!} = x \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \bruch{(\bruch{\pi}{2})^{2k+1}}{(2k+1)!} = x \sin\bruch{\pi}{2} = x [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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