Gleichheit zeigen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Do 03.07.2008 | | Autor: | Rumba |
| Aufgabe | Es ist (X, ||.||) ein Banachraum, A [mm] \in [/mm] L(X,X)(stetige und lineare Funktionen von X nach X) und exp(.A): [mm] \IK \to [/mm] L(X,X) [mm] exp(zA):=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(zA)^{n}}{n!}. [/mm] Zeige die Gleichheit:
[mm] (\bruch{d}{dz}exp(.A))(z) [/mm] = A exp(zA) |
Hi!
Ich habe für die linke Seite folgendes gerechnet:
[mm] \bruch{d}{dz}exp(zA)= \bruch{d}{dz}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(zA)^{n}}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dz}(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(zA)^{n}}{n!} [/mm] + [mm] \bruch{(zA)^{0}}{0!}) [/mm] = [mm] \bruch{d}{dz}(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(zA)^{n}}{n!} [/mm] + 1) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{d}{dz}(\bruch{(zA)^{n}}{n!}+1) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{d}{dz}(\bruch{(zA)^{n}}{n!}+1) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n (zA)^{n-1}A}^{n!} [/mm] = [mm] A\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(zA)^{n-1}}^{(n-1)!} [/mm] = A [ [mm] (\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(zA)^{n}}^{(n)!} [/mm] ) - [mm] \bruch{(zA)^{n}}{n!}] [/mm] = ...
die andere Seite:
... = A [mm] [(\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(zA)^{n}}^{(n)!} [/mm] + 1) ] = A [mm] [(\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(zA)^{n}}^{(n)!} [/mm] + [mm] \bruch{(zA)^{0}}{0!}) [/mm] ] = A [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(zA)^{n}}^{(n)!} [/mm] = A exp(zA)
Ich müsste doch jetzt zeigen, dass [mm] \bruch{(zA)^{n}}{n!} [/mm] = -1 Aber das kommt macht für mich keinen Sinn, wieso sollte das so sein? Oder wie mach ich das besser?
Danke für Tipps
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Do 03.07.2008 | | Autor: | vivo |
hallo,
warum machst du dein eine neue Frage auf?
das selbe hast du doch gestern schon gefragt!
https://matheraum.de/read?t=425279
und da wurde es dir doch auch vollständig beantwortet.
Ich habe für die linke Seite folgendes gerechnet:
[mm]\bruch{d}{dz}exp(zA)= \bruch{d}{dz}\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(zA)^{n}}{n!}[/mm]
= [mm]\bruch{d}{dz}(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(zA)^{n}}{n!}[/mm] +
> [mm]\bruch{(zA)^{0}}{0!})[/mm] =
> [mm]\bruch{d}{dz}(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(zA)^{n}}{n!}[/mm] +
> 1) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{d}{dz}(\bruch{(zA)^{n}}{n!}+1)[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{d}{dz}(\bruch{(zA)^{n}}{n!}+1)[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n (zA)^{n-1}A}^{n!}[/mm] =
> [mm]A\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(zA)^{n-1}}^{(n-1)!}[/mm] =
keine Ahnung was Du jetzt in dem Schritt machst,
A
[
> [mm](\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(zA)^{n}}^{(n)!}[/mm] ) -
> [mm]\bruch{(zA)^{n}}{n!}][/mm] = ...
aber lass die Summe doch einfach bei 0 starten zähle dann zum n über dass du summierst 1 dazu da du ja sozusagen wenn du bei 0 startest in jedem Schritt 1 zu wenig "reinsteckst" ...
[mm]A\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(zA)^{n-1}}^{(n-1)!}[/mm] =
[mm]A\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(zA)^{n}}^{(n)!}[/mm] =
Aexp(zA)
> Ich müsste doch jetzt zeigen, dass [mm]\bruch{(zA)^{n}}{n!}[/mm] =
> -1 Aber das kommt macht für mich keinen Sinn, wieso sollte
> das so sein? Oder wie mach ich das besser?
>
> Danke für Tipps
> LG
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Do 03.07.2008 | | Autor: | Rumba |
Oh ja, hatte das erst nich verstanden, vielen Dank, nochmal!
LG
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