Gleichheit von Elementen < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich stehe gerade auf dem Schlauch, vielleicht könnt ihr mir schnell helfen.
Klar ist, dass z.B. {1,1} = {1} ist, da identische Elemente in einer Menge nur einmal repräsentiert werden.
Aber angenommen man hat zwei Variablen x = 1 sowie y = 1 und betrachtet die Menge {x,y}. Gilt dann {x,y} = {x} = {y}, da x und y bzgl. der zugewiesenen Werte identisch sind oder bleibt es bei {x,y}, da
die Symbole x und y unterschiedlich sind und deren zugewiesenen Werte somit Rolle spielen?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Thomas,
willkommen im Forum!
Auch wenn häufig erst der Kontext, in dem die Frage aufgetaucht ist eine wirklich sinnvolle Beantwortung zulässt, versuche ich mal eine Antwort zu geben.
Es ist für x = 1 = y
[mm] $$\{x,y\}=\{1,1\}=\{1\}=\{x\}=\{1\}=\{y\}$$ [/mm] Das impliziert
[mm] $$\{x\}=\{x,y\}=\{y\}.$$
[/mm]
Einfacher geht es auch mit $x = 1 = [mm] y\Rightarrow [/mm] x=y$. Wie du sagtest, werden identische Elemente in einer Menge nur einmal repräsentiert. Daraus folgt ebenfalls [mm] $\{x,y\}=\{y\}=\{x\}=\{1\}$.
[/mm]
MfG
Ladon
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Danke für die Antwort. Ich kann den Kontext gerne nochmal kurz erläutern.
Ich möchte bei einer Argumentation gerne mit einer Bijektion [mm] $f:\{X_1,\ldots,X_n\}\rightarrow \{Y_1,\ldots,Y_n\}$ [/mm] arbeiten. Allerdings kann es der Fall sein, dass einige der [mm] X_i [/mm] dieselben Werte repräsentieren. Wenn
dadurch also die Menge [mm] \{X_1,\ldots,X_n\} [/mm] nicht mehr aus $n$, sondern aus
weniger Elementen besteht (da identische Elemente durch ein einziges Element repräsentiert werden), kann keine derartige Bijektion vorausgesetzt werden und die Argumentation würde nicht funktionieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Ladon |
> Ich möchte bei einer Argumentation gerne mit einer
> Bijektion [mm]f:\{X_1,\ldots,X_n\}\rightarrow \{Y_1,\ldots,Y_n\}[/mm]
> arbeiten. Allerdings kann es der Fall sein, dass einige der
> [mm]X_i[/mm] dieselben Werte repräsentieren. Wenn
> dadurch also die Menge [mm]\{X_1,\ldots,X_n\}[/mm] nicht mehr aus [mm]n[/mm],
> sondern aus
> weniger Elementen besteht (da identische Elemente durch
> ein einziges Element repräsentiert werden), kann keine
> derartige Bijektion vorausgesetzt werden und die
> Argumentation würde nicht funktionieren.
Das ist korrekt. Dazu ein Zitat aus Wikipedia "Bijektive Funktionen":
Zur Veranschaulichung kann man sagen, dass bei einer Bijektion eine vollständige Paarbildung zwischen den Elementen von Definitionsmenge und Zielmenge stattfindet. [...] Bei einer Bijektion haben die Definitionsmenge und die Zielmenge stets dieselbe Mächtigkeit.
Du hast also Recht mit deinen Gedanken.
MfG
Ladon
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