Gleichheit orthog. VR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei (V,<>) ein endlich dimensionaler reeller euklidischer Raum. $U$ und $W$ seien Untervektorräume von V. Zeigen sie:
(i) [mm] (U+W)^{\perp}=U^{\perp} \cap W^{\perp}
[/mm]
(ii) ($U$ [mm] \cap W)^{\perp} [/mm] = [mm] U^{\perp}+W^{\perp} [/mm] |
Hallo!!
Es geht darum diese Gleichheiten zu zeigen. Kann ich dies so zeigen oder liege ich damit komplett daneben?
Sei also x ein beliebiger Vektor
[mm] "\subseteq"
[/mm]
x [mm] \in (U+W)^{\perp}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] ( [mm] U^{\perp} \wedge W^{\perp})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in U^{\perp} \wedge [/mm] x [mm] \in W^{\perp}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in U^{\perp} \cap W^{\perp}
[/mm]
[mm] "\supseteq"
[/mm]
x [mm] \in U^{\perp} \cap W^{\perp}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in U^{\perp} \wedge [/mm] x [mm] \in W^{\perp}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] ( [mm] U^{\perp} \wedge W^{\perp})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in (U+W)^{\perp}
[/mm]
Das erscheint mir persönlich allerdings schon sehr komisch. Ich denke man muss da ganz anders ansetzen, habe aber leider keine Idee, wie ich es zeigen könnte.
Danke für Eure Hilfe,
Grüße Patrick
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Di 29.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Patrick!
> Es sei (V,<>) ein endlich dimensionaler reeller
> euklidischer Raum. [mm]U[/mm] und [mm]W[/mm] seien Untervektorräume von V.
> Zeigen sie:
> (i) [mm](U+W)^{\perp}=U^{\perp} \cap W^{\perp}[/mm]
> (ii) ([mm]U[/mm] [mm]\cap W)^{\perp}[/mm]
> = [mm]U^{\perp}+W^{\perp}[/mm]
>
> Hallo!!
>
> Es geht darum diese Gleichheiten zu zeigen. Kann ich dies
> so zeigen oder liege ich damit komplett daneben?
>
> Sei also x ein beliebiger Vektor
>
> [mm]"\subseteq"[/mm]
>
> x [mm]\in (U+W)^{\perp}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] ( [mm]U^{\perp} \wedge W^{\perp})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in U^{\perp} \wedge[/mm] x [mm]\in W^{\perp}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in U^{\perp} \cap W^{\perp}[/mm]
Warum sollten diese Folgepfeile gelten? Kannst du das bitte mal begruenden? Wenn du es nicht kannst, kannst du das doch nicht einfach so hinschreiben!
Du musst vorgehen, wie man das in der Mathematik immer macht: arbeite mit Definitionen und Saetzen/Lemmata/...!
Du hast also $x [mm] \in [/mm] (U + [mm] W)^\perp$. [/mm] Was bedeutet das? Es heisst einfach nur, dass [mm] $\langle [/mm] x, u + w [mm] \rangle [/mm] = 0$ ist fuer alle $u [mm] \in [/mm] U$ und alle $w [mm] \in [/mm] W$. Daraus sollst du jetzt folgern, dass $x [mm] \in U^\perp \cap W^\perp$ [/mm] ist, also dass [mm] $\langle [/mm] x, u' [mm] \rangle [/mm] = 0$ und [mm] $\langle [/mm] x, w' [mm] \rangle [/mm] = 0$ fuer alle $u' [mm] \in [/mm] U$ und $w' [mm] \in [/mm] W$ gilt.
Wie kannst du das anstellen?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:41 Di 29.04.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Hi,
ok es war mir klar, dass man es so nicht zeigen kann. Das war einfach der erste Gedanke, der mir gekommen war, da wir so mal eine Gleichheit von Mengen gezeigt haben.
Nun ich werde es mal versuchen, indem ich mich an die Defintion halte:
[mm] (U+W)^{\perp}, [/mm] d.h. [mm] \langle [/mm] x, u + w [mm] \rangle [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W
[mm] \gdw \langle [/mm] x, u [mm] \rangle [/mm] + [mm] \langle [/mm] x, w [mm] \rangle [/mm] = 0 (Linearität)
[mm] \langle [/mm] x, u [mm] \rangle [/mm] = 0 [mm] \wedge \langle [/mm] x, w [mm] \rangle [/mm] = 0
(ich glaube der Schritt ist falsch, ich habe keine Begründung das ich das so machen kann, aber so würde ich zum Ziel kommen:
[mm] U^{\perp} \cap W^{\perp}
[/mm]
Ist dies ein vernünftiger Ansatz?
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
Hey, noch ein neuer Versuch meinerseits:
[mm] x\in (U+W)^{\perp}
[/mm]
[mm] \gdw \langle [/mm] x, u + w [mm] \rangle [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W
[mm] \gdw \langle [/mm] x, u [mm] \rangle [/mm] + [mm] \langle [/mm] x, w [mm] \rangle [/mm] = 0 (Linearität)
[mm] \gdw(\red{\*}) \langle [/mm] x, u [mm] \rangle [/mm] = 0 und [mm] \langle [/mm] x, w [mm] \rangle [/mm] = 0
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in (U^{\perp} \cap W^{\perp})
[/mm]
[mm] (\red{\*}) [/mm] Es gilt ja [mm] \langle [/mm] x, u [mm] \rangle [/mm] + [mm] \langle [/mm] x, w [mm] \rangle [/mm] = 0 für alle u [mm] \in [/mm] U, also auch für x und [mm] \langle [/mm] x, x [mm] \rangle \ge [/mm] 0 nach Def. Analog für das zweite Skalarprodukt.
Kann man das so sagen?
Hat vielleicht noch jemand eine Idee für die zweite Gleichheit. Ich weiß da noch nicht einmal wie ich (U [mm] \cap W)^{\perp} [/mm] in das Skalarprodukt "umschreiben" kann.
Danke Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Di 29.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Bis auf die Begründung für [mm] (\red{*}) [/mm] ist das ok.
> Es gilt ja $ [mm] \langle [/mm] $ x, u $ [mm] \rangle [/mm] $ + $ [mm] \langle [/mm] $ x, w $ [mm] \rangle [/mm] $ = 0 für alle u $ [mm] \in [/mm] $ U
Das ist schonmal der richtige Ansatz.
> also auch für x und $ [mm] \langle [/mm] $ x, x $ [mm] \rangle \ge [/mm] $ 0
Soll das heißen, du wählst [mm] u=x\in [/mm] U ?
Dann muss ich dich enttäuschen.
Denn, wie du es zu beweisen hast, liegt x, wenn es in [mm] (U+W)^{\perp} [/mm] liegt, auch in der Menge [mm] U^{\perp} \cap W^{\perp} [/mm] und ist somit nicht in U.
Du musst also ein anderes [mm] u\in [/mm] U wählen, so dass aus
[mm] \langle [/mm] x, u [mm] \rangle [/mm] + [mm] \langle [/mm] x, w [mm] \rangle [/mm] = 0
endlich auch [mm] \langle [/mm] x, w [mm] \rangle [/mm] = 0 wird.
Ciao.
|
|
|
| |
|
Hi,
danke dir!
Aber wie soll ich es wählen? Ich komme einfach nicht drauf...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Wann kannst du sicher sagen, dass [mm] \langle [/mm] x, u [mm] \rangle [/mm] = 0 ist ?
Es gibt ja auch nicht allzuviele Elemente, die immer in einem Unterraum sein müssen.
Ciao.
|
|
|
|
