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| Aufgabe | Sei [mm] V=\{x \in C([0,1],\mathbb{R}:x(1)=0\} [/mm] und [mm] Y=\{y \in V: \int_0^1y(t)dt=0\}. [/mm] Dann ist Y ein abgeschlossener Unterraum von [mm] (V,||.||_\infty).
[/mm]
[mm] C([0,1],\mathbb{R}) [/mm] ist der Vektorraum der stetigen Funktionen von [0,1] nach [mm] \mathbb{R}.
[/mm]
Zeige:
Für alle x [mm] \in [/mm] V, y [mm] \in [/mm] Y gilt:
[mm] ||x-y||_\infty \geq |\int_0^1x(t)dt|
[/mm]
Wann gilt hier Gleichheit? |
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=504454
Hier habe ich dieselbe Frage bereits gestellt, aber ich bezweifle, dass dort jemand antworten wird - außerdem bräuchte ich die Antwort relativ schnell, da die anderen Teilaufgaben auf der obigen Frage evtl. aufbauen.
Im Wesentlichen geht es mir darum, wann Gleichheit gilt. Dass die größer/gleich-Relation tatsächlich gilt, kann man direkt mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung zeigen, aber daraus erhält man meines Erachtens keine Aussage über Gleichheit.
Wenn x=y ist, gilt sicherlich Gleichheit, aber ich vermute mal, dass es noch mehr Möglichkeiten für die Wahl von x gibt - nur habe ich keine Ahnung, wie man auf diese kommen soll. Könnte mir bitte jemand helfen? :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 So 04.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Den Mittelwertsatz brauchst Du nicht.
[mm] |\integral_{0}^{1}{x(t) dt}|=|\integral_{0}^{1}{(x(t)-y(t)) dt}| \le \integral_{0}^{1}{|x(t)-y(t)| dt} \le \integral_{0}^{1}{||x-y||_{\infty} dt}=||x-y||_{\infty}
[/mm]
Hilft das ?
Edit: das fehlende [mm] \le [/mm] habe ich ergänzt.
FRED
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Hallo Fred,
erst mal vielen Dank für deine Antwort!
Kann es sein, dass du ein [mm] \leq [/mm] Zeichen vergessen hast oder soll da wirklich das Produkt der beiden Integrale gebildet werden? Wenn zweiteres, dann verstehe ich nicht ganz, wie man darauf kommt.
Im ersteren Fall... naja, aus [mm] \int_0^1|x(t)-y(t)|dt=\int_0^1||x-y||_\infty [/mm] dt würde dann folgen, dass |x(t)-y(t)| konstant ist, dass sich also x und y nur um Konstanten unterscheiden. Da allerdings x(1)=y(1)=0 ist, würde dann x=y folgen. Oder?
Ich habe mich mit diesem Wissen mal an der zweiten Teilaufgabe versucht. Sie lautet:
Zeige, dass für alle x [mm] \in [/mm] V gilt:
[mm] |\int_0^1x(t)dt|=inf\{||x-y||_\infty:y \in Y\}
[/mm]
Die erste Idee wäre nun, sich eine untere Schranke der Menge rechts vorzugeben und zu zeigen, dass das Integral links größergleich als diese untere Schranke ist; dabei komme ich aber nicht über die bloße Formulierung dieses Ansatzes hinaus, weil mir nicht klar ist, wie ich weiterargumentieren könnte.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:35 Mo 05.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> erst mal vielen Dank für deine Antwort!
> Kann es sein, dass du ein [mm]\leq[/mm] Zeichen vergessen hast
Ja, ich habs korrigiert.
FRED
> oder
> soll da wirklich das Produkt der beiden Integrale gebildet
> werden? Wenn zweiteres, dann verstehe ich nicht ganz, wie
> man darauf kommt.
>
> Im ersteren Fall... naja, aus
> [mm]\int_0^1|x(t)-y(t)|dt=\int_0^1||x-y||_\infty[/mm] dt würde dann
> folgen, dass |x(t)-y(t)| konstant ist, dass sich also x und
> y nur um Konstanten unterscheiden. Da allerdings
> x(1)=y(1)=0 ist, würde dann x=y folgen. Oder?
>
>
> Ich habe mich mit diesem Wissen mal an der zweiten
> Teilaufgabe versucht. Sie lautet:
> Zeige, dass für alle x [mm]\in[/mm] V gilt:
> [mm]|\int_0^1x(t)dt|=inf\{||x-y||_\infty:y \in Y\}[/mm]
>
> Die erste Idee wäre nun, sich eine untere Schranke der
> Menge rechts vorzugeben und zu zeigen, dass das Integral
> links größergleich als diese untere Schranke ist; dabei
> komme ich aber nicht über die bloße Formulierung dieses
> Ansatzes hinaus, weil mir nicht klar ist, wie ich
> weiterargumentieren könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:26 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Feuerkerk,
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> Im ersteren Fall... naja, aus
> [mm]\int_0^1|x(t)-y(t)|dt=\int_0^1||x-y||_\infty[/mm] dt würde dann
> folgen, dass |x(t)-y(t)| konstant ist, dass sich also x und
> y nur um Konstanten unterscheiden. Da allerdings
> x(1)=y(1)=0 ist, würde dann x=y folgen. Oder?
Das mit der Konstanz kann ich nicht nachvollziehen. Aber es folgt
[mm] $\int_0^1 \bigl(|x(t)-y(t)|-\|x-y\|_\infty\bigr)dt [/mm] = 0$
und, da der Integrand stetig und [mm] $\le [/mm] 0$ ist, weiter
[mm] $|x(t)-y(t)|=\|x-y\|_\infty$ [/mm] für alle [mm] $t\in[0; [/mm] 1]$.
Für $ t=1$ ergibt sich [mm] $\|x-y\|_{\infty} [/mm] = 0$.
Wir haben also Gleichheit genau dann, wenn $x=y$ ist.
Edit: $t=1$ statt $t=0$ wegen Definition von $V$.
Gruß,
Wolfgang
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Danke für die Erklärung euch beiden, hab's jetzt verstanden. 
Wie gestern schon angemerkt habe ich nun allerdings ein neues Problem, was mit dem ersten zusammenhängt:
Ich habe mich mit diesem Wissen mal an der zweiten Teilaufgabe versucht. Sie lautet:
Zeige, dass für alle x [mm] \in [/mm] V gilt:
[mm] |\int_0^1x(t)dt|=inf\{||x-y||_\infty:y \in Y\}
[/mm]
Die erste Idee wäre nun, sich eine untere Schranke der Menge rechts vorzugeben und zu zeigen, dass das Integral links größergleich als diese untere Schranke ist; dabei komme ich aber nicht über die bloße Formulierung dieses Ansatzes hinaus, weil mir nicht klar ist, wie ich weiterargumentieren könnte.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Feuerkerk,
> Ich habe mich mit diesem Wissen mal an der zweiten
> Teilaufgabe versucht. Sie lautet:
> Zeige, dass für alle x [mm]\in[/mm] V gilt:
> [mm]|\int_0^1x(t)dt|=inf\{||x-y||_\infty:y \in Y\}[/mm]
>
> Die erste Idee wäre nun, sich eine untere Schranke der
> Menge rechts vorzugeben und zu zeigen, dass das Integral
> links größergleich als diese untere Schranke ist; dabei
> komme ich aber nicht über die bloße Formulierung dieses
> Ansatzes hinaus, weil mir nicht klar ist, wie ich
> weiterargumentieren könnte.
Oder Du konstruierst zu gegebenem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $y\in [/mm] Y$ mit
[mm] $\|x-y\|_\infty [/mm] < [mm] \left|\int_0^1 x(t) dt\right| [/mm] + [mm] \epsilon$
[/mm]
Aber irgendwie fehlt mir gerade die nötige Phantasie, so ein $y$ zu finden. Vielleicht hilft bloßes Anstarren der Ungleichung, oder dies ist irgendein Satz aus der Approximationstheorie.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Feuerkerk |
Hallo Wolfgang,
da geht es mir leider ähnlich. Ich werde noch mal drüber nachdenken. Falls dir heute oder morgen noch eine Idee kommt, wäre es sehr nett, wenn du sie mich wissen lässt.
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