Gleichheit: Mengen von Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Di 01.01.2013 | | Autor: | Scherben |
| Aufgabe | Definition. Sei [mm] \mathcal{A} [/mm] eine Menge von Mengen. Dann definiere [mm] \cap\mathcal{A}:=\{x; \forall A\in\mathcal{A}: x\in A \}.
[/mm]
Man zeige oder widerlege folgenden Satz:
Seien [mm] \mathcal{A} [/mm] und [mm] \mathcal{B} [/mm] jeweils eine Menge von Mengen. Dann gilt:
[mm] (\cap\mathcal{A}) \cap (\cap\mathcal{B}) [/mm] = [mm] \cap( \mathcal{A} \cup \mathcal{B}). [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
das hier ist meine erste Frage in diesem Forum, und ich hoffe ich habe alles richtig gemacht^^.
Ich habe noch einige Probleme mit dieser Art von Aufgaben und versuche jetzt irgendwie ein bisschen reinzukommen.
So nun zur Aufgabe:
Um Mengengleichheit zu zeigen muss ich ja zeigen, dass [mm] (\cap\mathcal{A}) \cap (\cap\mathcal{B}) \subseteq \cap( \mathcal{A} \cup \mathcal{B}) [/mm] ist. Und anschließend andersrum oder?
Also müsste ich zunächst zeigen, dass für jedes Element x gilt. x [mm] \in (\cap\mathcal{A}) \cap (\cap\mathcal{B})\Rightarrow \cap( \mathcal{A} \cup \mathcal{B}). [/mm] Und anschließend die Rückrichtung oder?
Ich hoffe jetzt erstmal das meine Grundidee richtig ist  .
Mein Hauptproblem ist, dass ich jetzt nicht weiß wie ich mein x wählen sollte.
Vielen Dank schonmal im Vorraus für eure Hilfe!
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> Definition. Sei [mm]\mathcal{A}[/mm] eine Menge von Mengen. Dann
> definiere [mm]\cap\mathcal{A}:=\{x; \forall A\in\mathcal{A}: x\in A \}.[/mm]
Ich würde dir vorschlagen, anstelle von "[mm]\mathcal{A}[/mm]" eine
andere Bezeichnung (zum Beispiel ein gewöhnliches "S")
zu verwenden, da das "[mm]\mathcal{A}[/mm]" vom "$\ A$" typographisch
(und erst recht beim lauten oder stillen, innerlichen
Durchlesen) kaum zu unterscheiden ist. Zudem kommt
hier ja noch das kopfstehende A als Allquantor vor.
Die Verwendung von so leicht zu verwechselnden Symbolen
entspricht leider einem schlechten Stil ziemlich vieler
Professoren. Man weiß dann nie, ob ein tieferer Grund
dahinter stecken soll oder eher der, die Studenten
aufs Glatteis zu führen ...
LG
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:07 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Definition. Sei [mm]\mathcal{A}[/mm] eine Menge von Mengen. Dann
> > definiere [mm]\cap\mathcal{A}:=\{x; \forall A\in\mathcal{A}: x\in A \}.[/mm]
>
>
> Ich würde dir vorschlagen, anstelle von "[mm]\mathcal{A}[/mm]"
> eine
> andere Bezeichnung (zum Beispiel ein gewöhnliches "S")
> zu verwenden, da das "[mm]\mathcal{A}[/mm]" vom "[mm]\ A[/mm]"
> typographisch
> (und erst recht beim lauten oder stillen, innerlichen
> Durchlesen) kaum zu unterscheiden ist. Zudem kommt
> hier ja noch das kopfstehende A als Allquantor vor.
>
> Die Verwendung von so leicht zu verwechselnden Symbolen
> entspricht leider einem schlechten Stil ziemlich vieler
> Professoren. Man weiß dann nie, ob ein tieferer Grund
> dahinter stecken soll oder eher der, die Studenten
> aufs Glatteis zu führen ...
das typographische hat eher den Sinn, dass man daran erinnert wird, dass
die Elemente hier selbst Mengen sind. Das finde ich auch sinnvoll
(wenngleich man es sich natürlich schon sparen könnte), insbesondere
auch wegen des Durchschnittssymbols:
Für eine Menge $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] würde man sicher nicht [mm] $\cap [/mm] M$
schreiben - denn was wäre denn
[mm] $$\{x:\;\; \forall r \in M:\; x \in r\}\;\text{ ?}$$
[/mm]
(Vielleicht gibt's da auch was sinnvolles - ich denke jetzt an [mm] $\IR$ [/mm] im Sinne
der Dedekindschen Schnitte - aber egal. Erstmal wirkt das jedenfalls nicht
besonders sinnvoll; oder?)
Mit dem Sachverhalt, dass das alles ein wenig verwirrend ist, hast Du
allerdings recht. Man könnte es minimal anders machen:
Etwa anstatt [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] halt [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] (oder [mm] $\mathcal{C}$) [/mm] verwenden
und anstatt [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] etwa [mm] $\mathcal{T}$ [/mm] (oder [mm] $\mathcal{D}$)
[/mm]
verwenden, also bspw.:
Sei [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] eine Menge von Mengen. Sei
[mm] $$\cap\mathcal{S}:=\{x:\;\; x \in A\;\;\forall A \in \mathcal{S}\}...$$
[/mm]
Noch schöner fände ich, was hier sicher genauso handhabbar gewesen
wäre: Sei [mm] $\mathcal{S}=(A_i)_{i \in I}$ [/mm] eine Familie von Mengen. (Wenngleich
es natürlich schon Unterschiede zwischen einer Familie von Mengen und
einer Menge von Mengen gibt...)
Und die Aussage müßte man dann auch ein wenig umformulieren. Aber
egal... ^^
P.S. Zwischen [mm] $S\,$ [/mm] ($S$) und [mm] $\mathcal{S}$ ([nomm]$\mathcal{S}$[/nomm]) [/mm] sieht man nun wirklich fast
gar keinen Unterschied - also [mm] $\mathcal{S}$ ([nomm]$\mathcal{S}$[/nomm] [/mm] sollte man wohl sicher vermeiden,
wann immer es nur geht.  )
Gruß,
Marcel
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hi,
> Definition. Sei [mm]\mathcal{A}[/mm] eine Menge von Mengen. Dann
> definiere [mm]\cap\mathcal{A}:=\{x; \forall A\in\mathcal{A}: x\in A \}.[/mm]
>
> Man zeige oder widerlege folgenden Satz:
> Seien [mm]\mathcal{A}[/mm] und [mm]\mathcal{B}[/mm] jeweils eine Menge von
> Mengen. Dann gilt:
> [mm](\cap\mathcal{A}) \cap (\cap\mathcal{B})[/mm] = [mm]\cap( \mathcal{A} \cup \mathcal{B}).[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> das hier ist meine erste Frage in diesem Forum, und ich
> hoffe ich habe alles richtig gemacht^^.
>
> Ich habe noch einige Probleme mit dieser Art von Aufgaben
> und versuche jetzt irgendwie ein bisschen reinzukommen.
>
> So nun zur Aufgabe:
> Um Mengengleichheit zu zeigen muss ich ja zeigen, dass
> [mm](\cap\mathcal{A}) \cap (\cap\mathcal{B}) \subseteq \cap( \mathcal{A} \cup \mathcal{B})[/mm]
> ist. Und anschließend andersrum oder?
>
> Also müsste ich zunächst zeigen, dass für jedes Element
> x gilt. x [mm]\in (\cap\mathcal{A}) \cap (\cap\mathcal{B})\Rightarrow \cap( \mathcal{A} \cup \mathcal{B}).[/mm]
eher: [mm]x\in (\cap\mathcal{A}) \cap (\cap\mathcal{B})\Rightarrow \blue{x\in} \cap( \mathcal{A} \cup \mathcal{B}).[/mm]
> Und anschließend die Rückrichtung oder?
Ich tippe hier mal (sehe kein Problem), dass die Aussage auch durch eine Aneinanderreihung von [mm]\iff[/mm] mit einmal gelöst werden kann.
>
> Ich hoffe jetzt erstmal das meine Grundidee richtig ist
> .
>
> Mein Hauptproblem ist, dass ich jetzt nicht weiß wie ich
> mein x wählen sollte.
beliebig!
>
> Vielen Dank schonmal im Vorraus für eure Hilfe!
Du hast die Definition [mm]\cap\mathcal{A}:=\{x; \forall A\in\mathcal{A}: x\in A \}[/mm].
Sei [mm]x\in (\cap\mathcal{A})\cap (\cap\mathcal{B})[/mm]. Dann gilt:
[mm]x\in (\cap\mathcal{A})\cap (\cap\mathcal{B}) \iff x\in \cap\mathcal{A}\wedge x\in \cap\mathcal{B} \iff \forall A (A\in \mathcal{A}\implies x\in A) \wedge \dotsc \iff[/mm]
[mm]\dotsc \iff \forall M (M\in \mathcal{A}\cap \mathcal{B}\implies x\in M) \iff x\in \cap(\mathcal{A}\cap \mathcal{B})[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Scherben |
Hey super, vielen Dank euch beiden ich werde mich mal dran versuschen .
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> Beweis: Sei [mm]x\in(\cap\mathcal{A})\cap(\cap\mathcal{B})[/mm]
> [mm]\gdw x\in \cap{A} \wedge x\in \cap{B}[/mm]
> [mm]\gdw \forall A:(A\in \mathcal{A}\Rightarrow x\in[/mm]
> A) [mm]\wedge \forall B:(B\in \mathcal{B}\Rightarrow x\in[/mm] B)
> [mm]\not=\forall A:(A\in \mathcal{A}\Rightarrow x\in[/mm] A) [mm]\vee \forall B:(B\in \mathcal{B} \Rightarrow x\in[/mm]
Was machst du hier ??? [mm]\neq[/mm] ??
> B)
> [mm]\gdw \forall M:(M\in \mathcal{A}\cup \mathcal{B} \Rightarrow x\in[/mm]
> M)
> [mm]\gdw x\in\cap( \mathcal{A} \cup \mathcal{B})[/mm]
> Hey,
>
> ichs habs jetzt erstmal so gemacht und hoffe das es soweit
> richtig ist .
> Könntet ihr vielleicht noch einmal drüber schauen und
> sagen ob noch was geändert werden muss, oder ob das soweit
> okay ist?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> PS: Ich habs jetzt erstmal beim A und [mm]\mathcal{A}[/mm] gelassen,
> weil ich nicht genau wusste wie ich das im Beweis umändern
> kann (oder meintet ihr nur für die Nebenrechnungen?)
Du kannst Bezeichnungen einführen, wie du möchtest. Solange es ersichtlich ist, was du meinst. In diesem Fall habe ich kein Problem mit [mm]\mathcal{A}[/mm], auch, wenn ich [mm]\mathfrak{A}[/mm] besser finde.
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