Gleichheit 2er Integrale < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f(x,y)=(y-1)*e^{(x-2)^3}
[/mm]
Sei A := [mm] \{(x,y)\in\IR; x\ge0; y\ge1; x+y\le3\}
[/mm]
Berechnen sie:
[mm] \integral_{A}^{}{f(x,y) d(x,y)} [/mm] |
Hallo,
ich weiß, wie ich das machen muss, dachte ich zumindestens.
Ich kann ansetzen:
[mm] \integral_{A}^{}{f(x,y) d(x,y)} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2}{(\integral_{1}^{3-x}{f(x,y) dy}) dx} [/mm] = ... = [mm] \bruch{1}{6}(1-e^{-8})
[/mm]
Das Ergebnis habe ich mit Wolfram Alpha überprüft und stimmt.
Dann dachte ich mir, dass dieses Integral doch eigentlich das gleiche sein müsste, wie folgendes:
[mm] \integral_{A}^{}{f(x,y) d(x,y)} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{3}{(\integral_{0}^{3-y}{f(x,y) dx}) dy}
[/mm]
Auch das habe ich mit Wolframalpha überprüft, nachdem es mich per Hand schon verwundert hat: Das ist nicht das selbe, sondern um einiges größer (ca. 0.166 und 0.88).
Warum sind diese Integrale nicht gleichwertig? Die Fläche ändert sich doch nicht, oder?
Danke!
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Hallo RunOrVeith,
> Sei [mm]f(x,y)=(y-1)*e^{(x-2)^3}[/mm]
> Sei A := [mm]\{(x,y)\in\IR; x\ge0; y\ge1; x+y\le3\}[/mm]
> Berechnen
> sie:
> [mm]\integral_{A}^{}{f(x,y) d(x,y)}[/mm]
> Hallo,
>
> ich weiß, wie ich das machen muss, dachte ich
> zumindestens.
> Ich kann ansetzen:
> [mm]\integral_{A}^{}{f(x,y) d(x,y)}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{2}{(\integral_{1}^{3-x}{f(x,y) dy}) dx}[/mm] =
> ... = [mm]\bruch{1}{6}(1-e^{-8})[/mm]
> Das Ergebnis habe ich mit Wolfram Alpha überprüft und
> stimmt.
> Dann dachte ich mir, dass dieses Integral doch eigentlich
> das gleiche sein müsste, wie folgendes:
>
> [mm]\integral_{A}^{}{f(x,y) d(x,y)}[/mm] =
> [mm]\integral_{1}^{3}{(\integral_{0}^{3-y}{f(x,y) dx}) dy}[/mm]
>
> Auch das habe ich mit Wolframalpha überprüft, nachdem es
> mich per Hand schon verwundert hat: Das ist nicht das
> selbe, sondern um einiges größer (ca. 0.166 und 0.88).
>
> Warum sind diese Integrale nicht gleichwertig? Die Fläche
> ändert sich doch nicht, oder?
>
Ich weiss nicht wie hier Wolframalpha vorgeht. aber die Integrale
sind dennoch vom Wert her gleichwertig.
Um das zu überprüfen habe ich eine Taylorreihe von f(x,y) um den
Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=2[/mm] verwendet. Dabei habe ich
den Grad des erhaltenen Taylorpolynoms immer erhöht, sozusagen
bis in unendliche. Der Wert dieses Integrals nähert sich mit dem Grad
des Taylorpolynoms immer mehr dem Wert des ersteren Integrals an.
[mm]f\left(x,y\right)=(y-1)*e^{(x-2)^3}=\left(y-1\right)*\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{\left(x-2\right)^{3*i}}{i!}[/mm]
> Danke!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Do 04.09.2014 | | Autor: | RunOrVeith |
Ok, vielen Dank, dann wars das schon und mein Weltbild ist nicht zerstört ;)
Ich habe mich wohl dann vermutlich irgendwo verschrieben und falsch abgetippt, was ich vorher trotz Suche nicht gefunden habe. Vielen Dank!
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Setzt man [mm]F(y) = \int_0^{3-y} \operatorname{e}^{(x-2)^3} ~ \mathrm{d}x[/mm], so ist [mm]F(3) = 0[/mm] und nach dem Hauptsatz [mm]F'(y) = - \operatorname{e}^{-(y-1)^3}[/mm]. Daher folgt mittels partieller Integration
[mm]\int \limits_1^3 \int \limits_0^{3-y} (y-1) \cdot \operatorname{e}^{(x-2)^3}~ \mathrm{d}x ~ \mathrm{d}y = \int \limits_1^3 (y-1) \cdot F(y) ~ \mathrm{d}y = 2 \cdot F(3) + \int \limits_1^3 \frac{1}{2} (y-1)^2 \operatorname{e}^{-(y-1)^3} ~ \mathrm{d}y[/mm]
[mm]= \frac{1}{6} \int \limits_1^3 3(y-1)^2 \operatorname{e}^{-(y-1)^3} ~ \mathrm{d}y = \frac{1}{6} \int \limits_0^8 \operatorname{e}^{-t} ~ \mathrm{d}t = \frac{1}{6} \left( 1 - \operatorname{e}^{-8} \right)[/mm]
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