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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 So 08.05.2011 | | Autor: | abcd |
| Aufgabe | Unter bestimmten Bedingungen legen die Weibchen (W) der Käferart monatlich im Mittel 500 Eier (E), von denen sich innerhalb eines Monats ein Viertel zu Larven (L) entwickelt. 10% der Larven verpuppen sich (P) wiederum innerhalb eines Monats. Die übrigen Eier und Larven werden gefressen oder sterben ab. Aus etwa 40% der Pupen entwickeln sich nach einem Monat Weibchen, die anderen Puppen werden zu Männchen.
Entwicklungsmatrix einer Käferpopulation:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 500 \\ 0,25 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0,1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0,4 & 0 }
[/mm]
c) Untersuchen Sie, ob es eine Verteilung gibt, die im nachfolgenden Monat wieder zu derselben Verteilung führt. |
Hallo, ich lerne gerade für das anstehende Abitur und jetzt ist mir diese Aufgabe untergekommen, in der ich offensichtlich eine Gleichgewichtsverteilung berechnen soll.
Wir haben das bisher immer so gemacht, dass wir ein Gleichungssystem aufgestellt haben, in diesem Falle jetzt wären das 4 Unbekannte. Dann machten wir aus der letzten Unbekannten einen Parameter t, also [mm] x_{4}=t [/mm] und dann nach [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3} [/mm] aufgelöst. Normalerweise hatten wir dann noch eine Nebenbedingung angegeben gehabt, wie beispielsweise [mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}= [/mm] 500 und konnten das dann mit dem Parameter verbinden.
In diesem Beispiel kam bei mir raus:
[mm] x_{1}= [/mm] 100t
[mm] x_{2}= [/mm] 25t
[mm] x_{3}=2,5t
[/mm]
[mm] x_{4}= [/mm] t
Nur jetzt weiß ich nicht, wie ich weiterrechnen soll, mit welcher Nebenbedingung ich das lösen könnte. Hier ist ja nicht angegeben, wieviel Insekten es insgesamt sind, oder?
Ich bitte um Hilfe
lg, abcd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 So 08.05.2011 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
schreibe dir doch noch einmal die Gleichungen, die du aus deiner Forderung, dass die Population nach einem Monat genauso ausschaut wie vorher, bekommst.
Dann bekommst du gerade vier Gleichungen, die aber jeweils nur zwei Variablen miteinander verknuepfen, d.h. solche Gleichungen wie
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] 500x_4$, [/mm] was aus der ersten Zeile folgt, aehnlich wie du es auch gerechnet hast (wobei ich da die Vorfaktoren nicht verstehe).
Dann kannst du alles ineinander einsetzten und bekommst dann eine Gleichung raus, die eine Bedingung an [mm] $x_4$ [/mm] stellt. D.h. du brauchst hier gar keine Nebenbedingung, um nach dem Parameter freizustellen.
Schreibe, wie gesagt, einfach alle vier Zeilen deiner Matrix-Vektor-Gleichung auf und schaue, ob es eine Loesung fuer dein Gleichungssystem gibt, dafuer hast du schon genuegend Information.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 So 08.05.2011 | | Autor: | abcd |
Super, jetzt klappt das auch, es gibt hier kein gleichgewichtsverhältnis.
Vielen Dank :)
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