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| Aufgabe | Gegeben seien die Mengen
[mm] M={2^{k}(2l+1) : k \in \IN \ {0}, l \in \IN} [/mm] und N={2n : n [mm] \in \IN [/mm] \ {0}}.
Zeigen Sie: M=N |
Wie schon oben genannt, wäre ich für eine Idee sehr dankbar!
Ich hätte gedacht mit vollst. Ind wäre was zu machen aber ich weiß nicht wie es mit zwei Indices geht.
danke im Vorraus für eure Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben seien die Mengen
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> [mm]M=\{2^{k}(2l+1) : k \in \IN \setminus\{0\}, l \in \IN\}[/mm] und [mm]N=\{2n : n \in \IN \setminus \{0\}\}[/mm].
>
> Zeigen Sie: M=N
> Wie schon oben genannt, wäre ich für eine Idee sehr
> dankbar!
> Ich hätte gedacht mit vollst. Ind wäre was zu machen aber
> ich weiß nicht wie es mit zwei Indices geht.
>
> danke im Vorraus für eure Hilfe!
Du hast ja eine Mengengleichheit zu zeigen. Diese ist gezeigt, wenn Du nachweist, dass sowohl $M [mm] \subseteq [/mm] N$ als auch $N [mm] \subseteq [/mm] M$ gezeigt hast.
Also zwei Schritte:
1. Schritt: Begründe/beweise, dass $M [mm] \subseteq [/mm] N$. Das ist ziemlich banal, denn eine Zahl $m [mm] \in [/mm] M$ ist stets $> 0$ und gerade. Warum das so ist, solltest Du Dir vll. genauer klarmachen, und zwar:
Ist $m [mm] \in [/mm] M$ beliebig, aber fest, so existieren ein $k=k(m) [mm] \in \IN \setminus\{0\}$ [/mm] und ein $l=l(m) [mm] \in \IN$ [/mm] derart, dass...
2. Schritt: Zeige $N [mm] \subseteq [/mm] M$.
Du hast zu zeigen, dass für jedes beliebige, aber feste $n [mm] \in [/mm] N$ auch gilt, dass $n [mm] \in [/mm] M$.
Hier heißt das:
Sei $p [mm] \in [/mm] N$. Nach Definition von $N$ existiert dann ein $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \not=0$ [/mm] mit $p=2n$. Jetzt musst Du herausfinden, wie Du dazu nun ein $k [mm] \in \IN \setminus\{0\}$ [/mm] und ein $l [mm] \in \IN$ [/mm] findest (definieren kannst/musst), so dass [mm] $p=2n=2^k [/mm] (2l+1)$ gilt.
Dazu kann es durchaus nützlich sein, die Elemente von $M$ mal tabellarisch aufzuschreiben:
Also setze [mm] $m=m(k,l)=2^{k}(2l+1)$ [/mm] für $m [mm] \in [/mm] M$ mit $k [mm] \in \IN \setminus\{0\}$ [/mm] und $l [mm] \in \IN$, [/mm] und schreibe das ganze ruhig als unendliche Matrix auf, wobei k die Zeilenanzahl ist (Werte für $k$ laufen von $1$ bis [mm] $\infty$) [/mm] und $l$ die Spaltenanzahl (Werte für $l$ laufen von $1$ bis [mm] $\infty$). [/mm] Damit solltest Du eine Idee finden:
Zeile mit [mm] $k=\black{1}$:
[/mm]
[mm] $m(1,0)=\black{2}$, $m(1,1)=\black{6}$, $m(1,2)=\black{10}$, $m(1,3)=\black{14}$, $m(1,4)=\black{18}$, [/mm] ...
Zeile mit [mm] $k=\black{2}$:
[/mm]
[mm] $m(2,0)=\black{4}$, $m(2,1)=\black{12}$, $m(2,2)=\black{20}$, $m(2,3)=\black{28}$, $m(2,4)=\black{36}$, [/mm] ...
Zeile mit [mm] $k=\black{3}$:
[/mm]
[mm] $m(3,0)=\black{8}$, $m(3,1)=\black{24}$, $m(3,2)=\black{40}$, $m(3,3)=\black{56}$, $m(3,4)=\black{72}$, [/mm] ...
Zeile mit [mm] $k=\black{4}$:
[/mm]
$m(4,0)=16$, ...
Und jetzt musst Du halt versuchen, so herauszufinden, wie Du für [mm] $\black{p}=2n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] (mindestens) ein passendes Paar $(k,l) [mm] \in (\IN \setminus\{0\}) \times \IN$ [/mm] findest, dass [mm] $\black{p}=2n=2^k(2l+1)$.
[/mm]
Selbstverständlich ist der Weg über die Tabelle nicht zwingend und soll nur als Hilfsmittel dienen. Der Beweis ist dann danach nur noch eine Formailtätssache, wenn Du weißt, wie Du die $k,l$ dann definieren musst...
(Und wenn Du Dir die Tabelle in der ersten Zeile anguckst, siehst Du auch schon, dass es im Prinzip nun schon hinreichend ist, die durch [mm] $\black{4}$ [/mm] teilbaren Zahlen, also jede Zahl [mm] $n=4\black{r}$ [/mm] (mit einem $r [mm] \in \IN \setminus\{0\}$) [/mm] zu untersuchen. Es würde nun also genügen, nur für solche zu beweisen, dass es solche $k,l$ wie gefordert gibt...)
Und dennoch ein allgemeiner Tip zur Tabelle:
Auffallen tut z.B. so etwas:
[mm] $m(k,l)=2^{k-1} \cdot [/mm] m(1,l)$
Beispiel:
$m(3,4)=56=4 [mm] \cdot 14=2^{3-1}*m(1,4)$
[/mm]
Solche Dinge könnten natürlich helfen... ( ich habe bisher noch keine weitere Lust für die Aufgabe gehabt, aber es ist ja auch Deine  ; solltest Du gar nicht weiterkomen, frag' nochmal nach, dann suche ich nach weiteren Tipps für Dich, die Dir weiterhelfen sollten )
Edit:
Für den 2. Schritt geht man vll. doch besser nicht tabellarisch vor. Es geht mit einer einfachen Überlegung:
Für $p=2n$ ist $p/2=n$. Nun ist entweder $n$ gerade, oder aber ungerade. Ist $n$ ungerade, so bist Du fertig (Warum?). Andernfalls dividierst Du nun [mm] $p^{(1)}:=p/2$ [/mm] durch $2$. Dann ist entweder [mm] $p^{(2)}:=p^{(1)}/2$ [/mm] gerade, oder ungerade. Im Falle, dass [mm] $p^{(2)}$ [/mm] ungerade ist, bist Du fertig. Andernfalls... etc. pp.
Mach' das aber vll. ruhig mal mit ein paar Zahlen und dann schau nachher nach, wo Du mit diesem Verfahren das $l$ und wo das $k$ ablesen kannst. Und klar ist, und das sollte man dazuschreiben: Diese rekursive Division durch $2$ endet immer irgendwann bei einer ungeraden natürlichen Zahl der Form [mm] $2\black{l}+1$, [/mm] mit einem $l [mm] \in \IN$. [/mm]
Gruß,
Marcel
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