Gleiche Spalten bzw Zeilen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:19 Fr 03.02.2012 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Es gilt das Assoziativgesetz der Matrizenmultiplikation:
A(BC) = (AB)C für A ∈ [mm] \IR^{m x n},B [/mm] ∈ [mm] \IR^{n x l},C [/mm] ∈ [mm] \IR^{l x k}.
[/mm]
Man verifi ziere, dass rechts und links des obigen
Gleichheitszeichens Matrizen mit gleicher Zeilen- und
Spaltenzahl erzeugt werden. |
Hallo,
also man sieht ja direkt das links bzw rechts eine Matrix der
Form, ich nenne es mal D [mm] \in \IR^{m x k} [/mm] entsteht, aber wie zeige ich das?
Gruß
al3pou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:38 Fr 03.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es gilt das Assoziativgesetz der Matrizenmultiplikation:
>
> A(BC) = (AB)C für A ∈ [mm]\IR^{m x n},B[/mm] ∈ [mm]\IR^{n x l},C[/mm]
> ∈ [mm]\IR^{l x k}.[/mm]
>
> Man verifi ziere, dass rechts und links des obigen
> Gleichheitszeichens Matrizen mit gleicher Zeilen- und
> Spaltenzahl erzeugt werden.
> Hallo,
>
> also man sieht ja direkt das links bzw rechts eine Matrix
> der
> Form, ich nenne es mal D [mm]\in \IR^{m x k}[/mm] entsteht, aber
> wie zeige ich das?
das explizite Nachrechnen, dass auch die Matrixinträge übereinstimmen, gehört nicht zur Aufgabe?
Nun, das, was Du (zunächst?) zeigen sollst, ist ganz einfach:
Für Matrizen $X [mm] \in \IR^{p \times q}$ [/mm] und $Y [mm] \in \IR^{q \times r}$ [/mm] ist $X*Y [mm] \in \IR^{p \times r\,.}$
[/mm]
Grob gesagt: "Die beiden Paare [mm] $(p,\red{q})\,$ [/mm] und [mm] $(\red{q},r)\,$ [/mm] (in dieser Reihenfolge!) gehen in [mm] $(p,r)\,$ [/mm] über." (Wichtig, damit das Matrixprodukt überhaupt definiert ist, ist, dass "der rechte Index der linken Matrix gleich ist mit dem linken Index der rechten Matrix - oben habe ich dies gekennzeichnet!")
Das kannst Du natürlich auch ein wenig schöner hinschreiben, aber in dieser Beobachtung steckt dann auch schon die ganze Idee, die man hier braucht:
Bei
$$A(BC)$$
sieht man erstmal:
dass bei
[mm] $$(BC)\,$$
[/mm]
die Paare [mm] $(n,l)\,$ [/mm] und [mm] $(l,k)\,$ [/mm] zu [mm] $(n,k\,)$ [/mm] übergehen, d.h.
$$(BC) [mm] \in \IR^{n \times k}\,.$$
[/mm]
Somit hat man bei
[mm] $$A(BC)\,,$$
[/mm]
dass die Paare [mm] $(m,n)\,$ [/mm] und [mm] $(n,k)\,$ [/mm] in [mm] $(m,k)\,$ [/mm] übergehen, also ist
$$A*(BC)$$
als Ergebnis des Produkts einer $m [mm] \times [/mm] n$-Matrix (nämlich [mm] $A\,$) [/mm] mit einer $n [mm] \times [/mm] k$-Matrix (die Matrix [mm] $(BC)\,$) [/mm] eine $m [mm] \times [/mm] k$-Matrix, also:
$$A(BC) [mm] \in \IR^{m \times k}\,.$$
[/mm]
Analog überlege Dir mal, wie Du nun
$$(AB)C [mm] \in \IR^{m \times k}$$
[/mm]
begründest!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mi 08.02.2012 | | Autor: | al3pou |
Okay, also soweit ich es hier sehe ist es eine ehemalige
Klausuraufgabe und es steht halt da wie ich geschrieben
habe. Man soll es einfach verifizieren. Also einfach nur
zeigen, dass es stimmt und das würde ich jetzt so wie du
fortsetzen.
Auf der rechten Seite steht das Produkt
(AB)C
Aus
(AB)
folgt, da A [mm] \in \IR^{m x n} [/mm] und B [mm] \in \IR^{n x l}, [/mm] eine
Matrix
D [mm] \in \IR^{m x l}
[/mm]
damit folgt aus
DC
da C [mm] \in \IR^{l x k}, [/mm] eine Matrix
E [mm] \in \IR^{m x k}
[/mm]
Und somit hätten wir ja zwei Matrizen mit gleicher Zeilen-
und Spaltenanzahl. Müsste ja so stimmen.
Gruß
al3pou
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, also soweit ich es hier sehe ist es eine ehemalige
> Klausuraufgabe und es steht halt da wie ich geschrieben
> habe. Man soll es einfach verifizieren. Also einfach nur
> zeigen, dass es stimmt und das würde ich jetzt so wie du
> fortsetzen.
das ist ja auch alles vollkommen felsenfest - in der Klausur würde man auch bei dem ein oder anderen "Patzer" ein Auge zudrücken, etwa wie ...
> Auf der rechten Seite steht das Produkt
>
> (AB)C
>
> Aus
>
> (AB)
hier: Was soll das heißen? So macht das keinen Sinn. Das wäre, wie wenn Du schreibst, dass aus [mm] $2*2\,$ [/mm] irgendwas folgt...
> folgt, da A [mm]\in \IR^{m x n}[/mm] und B [mm]\in \IR^{n x l},[/mm] eine
> Matrix
>
> D [mm]\in \IR^{m x l}[/mm]
Also, wie gesagt, in der Klausur sagt man, man weiß, was Du meinst. In "Nichtklausurzeiten" sehe ich das anders (damit meine ich nicht hier, sondern etwa, wenn das eine Übungsaufgabe gewesen wäre):
Du musst schon schreiben:
Mit [mm] $D:=AB\,$ [/mm] ist wegen $A [mm] \in \IR^{m \times n}$ [/mm] und $B [mm] \in \IR^{n \times l}$ [/mm] dann $D [mm] \in \IR^{m \times l}\,.$
[/mm]
> damit folgt aus
>
> DC
>
> da C [mm]\in \IR^{l x k},[/mm] eine Matrix
>
> E [mm]\in \IR^{m x k}[/mm]
Das gleiche wie oben: Das kannst Du viel sauberer aufschreiben. In der Klausur würde man Dir sicher fast alle Punkte geben, weil man weiß, dass Du das richtige meinst, aber vielleicht wegen Streß ein wenig "wirr" bist. Aber pass' auf: In mündlichen Prüfungen wird man da genauer nachfragen, weil man wissen will, ob Du in der Lage bist, Dich auch vernünftig auszudrücken. Also mit solchen Formulierungen oben in einer mündlichen Prüfung - das kann ich Dir versprechen - wird man Dir sagen: "Sagen Sie das bitte nochmal, und sagen Sie nun bitte auch genau das, was Sie meinen..." Wenn Du dann nicht dazu in der Lage bist, man aber den Eindruck hat, dass das "nur" Ausdrucksschwächen Deinerseits sind, wird man da zwar auch noch ein Auge fest zudrücken... aber das kann dann schonmal ne Notenstufe ausmachen (je nach Prof.) - bzw. manche Profs. werden sich auch nicht damit zufrieden geben, wenn Du das nicht irgendwann einigermaßen hinbekommst!
> Und somit hätten wir ja zwei Matrizen mit gleicher
> Zeilen-
> und Spaltenanzahl. Müsste ja so stimmen.
Im Prinzip ja. Der Gedankengang ist korrekt - an Deiner Art, das klar und deutlich zu notieren bzw. aufzuschreiben musst Du definitiv noch arbeiten. Aber normalerweise kommt dieses "Klick" auch irgendwann, wenn man das Zeugs so nach und nach versteht und für sich selber mal Notizen aufschreiben will (ein guter Lerneffekt war bei mir, dass ein Prof. es uns erlaubte, ein DinA4-Blatt als "Spickzettel" in der Klausur zu benutzen. Klingt komisch, aber wenn Du versuchst, da alles wichtige "draufzuquetschen", brauchst Du das Blatt in der Klausur eh nicht mehr, da Du alles im Kopf hast!).
Gruß,
Marcel
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