Gleichbleibende Marktanteile < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei ein Markt gegeben mit drei Anbietern A, B, C. Jedes Jahr wechseln die Kunden den Anbieter nach gleichem Muster. Von Anbieter A wechseln 30% zu Anbieter B. Von Anbieter B wechseln 20% zu A und 10% zu C. Anbieter C verliert jedes Jahr 10% seiner Kunden an A und 20% an B.
Gibt es eine Aufteilung der Kunden in Marktanteile [m][mm] x_a, x_b, x_c[/mm] [m], sodass sich die Marktanteile trotz Kundenwechsel nicht mehr ändern? Wenn ja, welche Firma hat den höchsten Marktanteil und wie hoch ist dieser? |
Leider ist die Schulmathematik bei mir schon einige Zeit her und deshalb komme ich bei dieser Aufgabe nicht recht weiter. Was ich bisher gemacht habe:
[m]0,7x_a + 0,2x_b + 0,1x_c = x_a[/m]
[m]0,3x_a + 0,7x_b + 0,2x_c = x_b[/m]
[m]0,2x_b + 0,7x_c = x_c[/m]
[m]x_a + x_b + x_c = 1[/m]
Dann stelle ich um, sodass ich auf der rechten Seite jeweils 0 erhalte und versuche das GLS aufzulösen, sodass ich die Marktwerte erhalte. Kann ich das überhaupt so lösen?
Und wie ich auf das Gleichgewicht der Marktanteile komme, ist mir leider völlig unklar. Habe nach langer Suche den Begriff der "stationären Verteilung" gefunden, kann aber damit recht wenig anfangen (und goolge hilft mir auch nicht). Auch in der Literatur (Mathe-Vorkurs, Algebra und Diskrete Mathematik, Lineare Algebra) kann ich dazu nichts finden.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen Hinweis geben könnte, wie ich auf die Lösung dieser Aufgabe komme.
Vielen lieben Dank und beste Grüße,
Thomas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Du kannst die Aufgabe mit Markov Matrizen lösen:
[mm] A=\pmat{ 0,7 & 0,2 & 0,1\\ 0,3 & 0,7 & 0,2 \\ 0 & 0,1 & 0,7 }
[/mm]
Wenn du die erste Spalte betrachtest, steht da, wohin die Kunden von A wechseln:
70% bleiben bei A, 30% gehen zu B und 0% zu C.
In der zweiten Spalte die Kundenwanderung von B und in der dritten die von C.
Dann hast du noch den Startvektor [mm] v_{0}=\vektor{a \\ b \\ c} [/mm] und a,b,c sind die Marktanteile der Firmen am Anfang.
Also sieht die Verteilung nach k Monaten so aus:
[mm] v_{k}=A^{k}v_{0}
[/mm]
Die stationäre Verteilung ist dann der Eigenvektor von A zu Eigenwert 1, wie man sich leicht überlegt.
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Okay, also ich berechne jetzt den Eigenvektor zum Eigenwert 1.
A - 1E = [mm] \pmat{ -0.3 & 0.2 & 0.1 \\ 0.3 & -0.3 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & -0.3 } [/mm] * x = [mm] \pmat{0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Wenn ich das auf Stufenform bringe, erhalte ich:
[mm] \pmat{-0.3 & 0.2 & 0.1 \\ 0 & 0.1 & -0.3 \\ 0 & 0 & -1.4}
[/mm]
Ist das soweit noch richtig?
Aus der letzten Zeile schließe ich, dass ich [mm] x_3 [/mm] frei wählen darf, also nehme ich [mm] x_3 [/mm] = 1. Daraus folgt [mm] x_2 [/mm] = 3 und [mm] x_1 [/mm] = 4.
Ist das so korrekt? Wie gehe ich nun weiter vor?
Nochmals vielen Dank für die Hilfe.
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Hallo, dein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist nicht korrekt
(1) [mm] -0,3*x_1+0,2*x_2+0,1*x_3=0
[/mm]
(2) [mm] 0,3*x_1-0,3*x_2+0,2*x_3=0
[/mm]
(3) [mm] 0,1*x_2-0,3*x_3=0
[/mm]
du hast [mm] x_3=1 [/mm] gesetzt, aus (3) bekommst du [mm] x_2=3, [/mm] einsetzen in (2)
[mm] 0,3*x_1-0,9+0,2=0
[/mm]
[mm] 0,3*x_1=0,7
[/mm]
[mm] x_1=\bruch{7}{3}
[/mm]
du hast den Eigenvektor [mm] \vektor{\bruch{7}{3} \\ 3 \\ 1} [/mm] bzw. [mm] \vektor{7 \\ 9 \\ 3}
[/mm]
damit hast du doch deine stationäre Verteilung
Steffi
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