Gleich- oder Äquivalenzzeichen < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Keine spezielle Aufgabe, sondern eher eine allgemeine Frage von mir:
Wann wird bei der Aussagenlogik das Gleichheitszeichen und wann das Äquivalenzzeichen verwendet? |
Hallo,
Ich arbeite grad das Thema "Aussagenlogik" durch. Eine Frage die sich mir dabei stellt ist, wann man das Gleichheitszeichen und wann man das Äquivalenzzeichen verwenden muss.
Ich schreibe hier einfach mal ein paar Beispiele auf und ihr könnt dann schauen obs so richtig ist:
1.
Ich möchte einer Aussage einen Buchstaben zuordnen.
Auf dem Blatt steht z.b. die Aussage "Das Wetter ist schön".
Jetzt möchte ich dieser Aussage einen Buchstaben geben, da ich z.b. formal weiterrechnen will.
A: Das Wetter ist schön.
A [mm] \gdw [/mm] Das Wetter ist schön.
A = Das Wetter ist schön.
Welche Variante ist richtig und warum?
2.
[mm] \neg(\neg [/mm] A) = A
[mm] \neg(\neg [/mm] A) [mm] \gdw [/mm] A
Welche Variante ist richtig und warum?
Gibts da irgendwie eine Merkregel zu, wann man welches Zeichen verwendet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Mi 01.02.2012 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Wann wird bei der Aussagenlogik das Gleichheitszeichen und
> wann das Äquivalenzzeichen verwendet?
> Ich arbeite grad das Thema "Aussagenlogik" durch. Eine
> Frage die sich mir dabei stellt ist, wann man das
> Gleichheitszeichen und wann man das Äquivalenzzeichen
> verwenden muss.
>
> Ich schreibe hier einfach mal ein paar Beispiele auf und
> ihr könnt dann schauen obs so richtig ist:
>
> 1.
> Ich möchte einer Aussage einen Buchstaben zuordnen.
> Auf dem Blatt steht z.b. die Aussage "Das Wetter ist
> schön".
> Jetzt möchte ich dieser Aussage einen Buchstaben geben, da
> ich z.b. formal weiterrechnen will.
> A: Das Wetter ist schön.
Mit der Schreibweise kann ich nichts anfangen.
> A [mm]\gdw[/mm] Das Wetter ist schön.
Das würde man verwenden, wenn A eine Aussage ist, aber möglicherweise eine andere, und wenn der Wahrheitsgehalt beider Seiten gleich ist.
> A = Das Wetter ist schön.
Das bedeutet, daß A die Aussage 'Das Wetter ist schön.' ist.
> Welche Variante ist richtig und warum?
>
> 2.
> [mm]\neg(\neg[/mm] A) = A
Das stimmt nicht. Die Aussage 'Es ist nicht so, daß die Sonne nicht scheint.' ist ja doch anders als die Aussage 'Die Sonne scheint.'
> [mm]\neg(\neg[/mm] A) [mm]\gdw[/mm] A
Das stimmt. Die linke Seite ist genau dann wahr, wenn die rechte Seite wahr ist. (Unabhängig von der Aussage A, das ist eine Tautologie.)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo statler,
Danke für deine Antwort.
Bei 1. Ist mir das noch nicht ganz klar, was nun richtig ist von den 3 Möglichkeiten.
A = Das Wetter ist schön.
Das wäre richtig?
Ich möchte ja der Aussage "Das Wetter ist schön" einen Buchstaben zuordnen, sozusagen als Abkürzung, sodass ich dann statt "Das Wetter ist schön." einfach nur "A" schreiben kann. Zum Beispiel um dann formal die Aussage umzuformen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo statler,
>
> Danke für deine Antwort.
>
> Bei 1. Ist mir das noch nicht ganz klar, was nun richtig
> ist von den 3 Möglichkeiten.
vorweg: Ich kenne es so, dass man auch
[mm] $A\,$: [/mm] Das Wetter ist schön.
im Sinne von [mm] $A\,$=Das [/mm] Wetter ist schön.
verwendet!
> A = Das Wetter ist schön.
> Das wäre richtig?
Mir war die Unterscheidung bisher auch noch nie wirklich bewußt - aber Statler hat's eigentlich gut und logisch erklärt: Wenn Du damit abkürzend schreiben willst, dass [mm] $A\,$ [/mm] die Aussage 'Das Wetter ist schön.' ist, dann ja!
> Ich möchte ja der Aussage "Das Wetter ist schön" einen
> Buchstaben zuordnen, sozusagen als Abkürzung, sodass ich
> dann statt "Das Wetter ist schön." einfach nur "A"
> schreiben kann. Zum Beispiel um dann formal die Aussage
> umzuformen.
Also, was Statler sagt, wäre zum Beispiel so zu verstehen:
Mit [mm] $A\,$='Das [/mm] Wetter ist schön.' und [mm] $B\,$='Ich [/mm] fahre Motorrad.' hast Du zwei Aussagen definiert, und die Schreibweise
$$A [mm] \gdw [/mm] B$$
heißt dann: "Genau dann, wenn das Wetter schön ist, fahre ich Motorrad." Anders gesagt:
Mit $A [mm] \gdw [/mm] B$ gibt's Du der Welt zu verstehen, dass die folgenden beiden Implikationen gelten:
1. Wenn ich Motorrad fahre, dann ist das Wetter schön
und
2. Wenn das Wetter schön ist, fahre ich Motorrad.
Denn hier bedeutet $A [mm] \gdw B\,,$ [/mm] dass [mm] $A\,$ [/mm] genau dann den Wert [mm] $1\,$ [/mm] hat (im Sinne von "wahr ist"), wenn [mm] $B\,$ [/mm] den Wert [mm] $1\,$ [/mm] hat (also "wahr" ist).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Statler,
> > [mm]\neg(\neg[/mm] A) = A
>
> Das stimmt nicht. Die Aussage 'Es ist nicht so, daß die
> Sonne nicht scheint.' ist ja doch anders als die Aussage
> 'Die Sonne scheint.'
ehrlich gesagt ist mir das nicht ganz klar: Es gilt doch $A [mm] \gdw \neg(\neg A)\,.$ [/mm] Also "inhaltlich" ist das nix neues, sondern genau das gleiche - woran unterscheidest Du denn dann die Aussagen?
(Logisch: "Wenn es falsch ist, dass die Sonne nicht scheint, dann scheint sie, und wenn sie scheint, dann ist es richtig, dass es nicht so ist, dass sie nicht scheint!")
Ist es übrigens nicht so, dass man manchmal $A [mm] \equiv [/mm] B$ im Sinne von $A [mm] \gdw [/mm] B$ verwendet? Ich glaube, sowas schonmal gesehen zu haben...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:26 Fr 03.02.2012 | | Autor: | statler |
Hallo Marcel!
> > > [mm]\neg(\neg[/mm] A) = A
> >
> > Das stimmt nicht. Die Aussage 'Es ist nicht so, daß die
> > Sonne nicht scheint.' ist ja doch anders als die Aussage
> > 'Die Sonne scheint.'
>
> ehrlich gesagt ist mir das nicht ganz klar: Es gilt doch [mm]A \gdw \neg(\neg A)\,.[/mm]
> Also "inhaltlich" ist das nix neues, sondern genau das
> gleiche - woran unterscheidest Du denn dann die Aussagen?
Für mich sind 2 Aussagen gleich genau dann wenn das k-te Wort der 1. Aussage gleich dem k-ten Wort der 2. Aussage ist für k von 1 bis n mit n = Anzahl der Wörter in beiden Aussagen. Naja, so etwa. Die Aussagen 'Die Sonne scheint.' und 'The sun is shining.' sind 2 verschiedene Aussagen. Im Sinne der Aussagenlogik sind sie allerdings äquivalent.
Ein ähnlicher Unterschied ist für mich, ob ich im Laden etwas, was 2 Euro kostet, mit einer 2-Euro-Münze bezahle oder mit 2 1-Euro-Münzen. Das ist nicht dasselbe. Aber es ist äquivalent, und das akzeptiert der Verkäufer.
Warnung: Ich bin kein Grundlagenforscher und kein Logiker, vielleicht bin ich auf einem Irrweg.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:46 Fr 03.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo statler,
> Hallo Marcel!
>
> > > > [mm]\neg(\neg[/mm] A) = A
> > >
> > > Das stimmt nicht. Die Aussage 'Es ist nicht so, daß die
> > > Sonne nicht scheint.' ist ja doch anders als die Aussage
> > > 'Die Sonne scheint.'
> >
> > ehrlich gesagt ist mir das nicht ganz klar: Es gilt doch [mm]A \gdw \neg(\neg A)\,.[/mm]
> > Also "inhaltlich" ist das nix neues, sondern genau das
> > gleiche - woran unterscheidest Du denn dann die Aussagen?
>
> Für mich sind 2 Aussagen gleich genau dann wenn das k-te
> Wort der 1. Aussage gleich dem k-ten Wort der 2. Aussage
> ist für k von 1 bis n mit n = Anzahl der Wörter in
> beiden Aussagen. Naja, so etwa. Die Aussagen 'Die Sonne
> scheint.' und 'The sun is shining.' sind 2 verschiedene
> Aussagen. Im Sinne der Aussagenlogik sind sie allerdings
> äquivalent.
>
> Ein ähnlicher Unterschied ist für mich, ob ich im Laden
> etwas, was 2 Euro kostet, mit einer 2-Euro-Münze bezahle
> oder mit 2 1-Euro-Münzen. Das ist nicht dasselbe. Aber es
> ist äquivalent, und das akzeptiert der Verkäufer.
>
> Warnung: Ich bin kein Grundlagenforscher und kein Logiker,
> vielleicht bin ich auf einem Irrweg.
ich weiß es, ehrlich gesagt, auch nicht. Auch ich bin kein Logiker. Allerdings klingt das, was Du sagst, für mich schonmal "im Sinne eines Informatikers" absolut logisch. Im Sinne eines Mathematiker's forderst Du ein wenig viel:
"Heute ist's schön!"
ist demnach auch eine andere Aussage als
"Heute ist es schön!"
Als Mathematiker würde ich dazu neigen, hier zu versuchen, gewisse "Äquivalenzklassen" zu definieren...
Naja, aber mit Deiner Definition kann man sicher dennoch sehr gut arbeiten! Ob das die/eine allgemeingültige und gängige ist: Ich weiß es nicht!
Gruß,
Marcel
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