Girsanov-Theorem < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:55 Sa 27.12.2008 | | Autor: | cetin |
| Aufgabe | Hat man einen stochastischen Prozess [mm] \{ X_{t} | t \in [0,T] } [/mm] auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}) [/mm] gegeben, so kann man eine Abbildung X: [mm] \Omega \to [/mm] C[0,T] definieren, wobei [mm] X(\omega) [/mm] die Abbildung ist, die t [mm] \mapsto X_{t}(\omega) [/mm] leistet. C[0,T] soll dabei den Raum der auf [0,T] stetigen Funktionen bezeichnen.
Jetzt kann man einen neuen Wahrscheinlichkeitsraum ( C[0,T], [mm] \mathcal{B}, \mathbf{Q}) [/mm] betrachten, wobei [mm] \mathcal{B} [/mm] die Borelalgebra auf dem Raum C[0,T] bezeichnet und [mm] \mathbf{Q}(A):= \mathbf{P}(X^{-1}(A)), [/mm] das vom Prozess [mm] {X_{t}} [/mm] Wahrscheinlichkeitsmaß ist.
Das einfache Girsanov-Theorem besagt jetzt folgendes:
Ist [mm] \{ B_{t}| t \in [0,T] \}( [/mm] T < [mm] \infty) [/mm] eine Brownsche Bewegung auf [mm] (\Omega, \mathcal{F},\mathbf{P}) [/mm] und [mm] X_{t} [/mm] definiert durch [mm] X_{t}=B_{t}+ \mu \cdot [/mm] t , [mm] \mu \in \mathbb{R}, [/mm] und Q das vom Prozess [mm] X_{t} [/mm] induzierte Wahrscheinlichkeitsmaß, dann gilt für jede beschränkte messbare Funktion W auf C[0,T], dass
[mm] \mathbb{E}_{\mathbf{Q}}[W] [/mm] = [mm] \mathbb{E}_{\mathbf{P}}[W \cdot M_{T}], [/mm] wobei
[mm] M_{T} [/mm] = [mm] \exp \left( \mu B_{T} - \mu ^2 T /2 \right) [/mm] ist.
[mm] \mathbb{E}_{\mathbf{Q}} [/mm] bezeichnet dabei den Erwartungswert, der mit [mm] \mathbf{Q} [/mm] gebildet wird |
Meine Frage:
Ist der Ausdruck [mm] \mathbb{E}_{\mathbf{P}}[W \cdot M_{T}], [/mm] überhaupt definiert? Immerhin ist ja W eine Funktion auf C[0,T] und [mm] \mathbf{P} [/mm] ein Maß auf [mm] \Omega. [/mm] Wie kann man also den Erwartungswert bilden.
Ich glaube irgendwie, dass ich etwas falsch verstanden habe. Meine Quelle für das Girsanov Theorem ist das Buch von Steele: Stochastic Calculus and Financial Applications.
Ich glaube ich brauche Hilfe.
MfG
Cetin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 02.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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