Gibt es eine Stammfunktion? < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Besitzt f(z) auf [mm]R = \{z\in\IC | |z|>2\} [/mm] eine Stammfunktion?
[mm] f(z)=\bruch{3}{(z-2)(z+1)} [/mm] |
Die Laurententwicklung erhält man durch Partialbruchzerlegung und die geometrische Reihe, es ist[mm] f(z) = \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}+ 2^{n}}{n!}*z^{-n-1}[/mm].
Die Laurentreihe enthält also einen Summanden mit [mm]z^{-1}[/mm], diese Funktion hat aber keine Stammfunktion, damit hat ganz f keine Stammfunktion. Ist das richtig so?
Vielen Dank,
LG
Nico
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 00:39 Di 14.08.2007 | | Autor: | Gilga |
Stammfunktion von [mm] z^{-1} [/mm] ist ln(z)
also -ln(z+1)+ln(z-2)
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 09:07 Di 14.08.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Gilga
> Stammfunktion von [mm]z^{-1}[/mm] ist ln(z)
Das stimmt leider nur fuer Gebiete in [mm] $\IC$, [/mm] die $0$ inklusive einem Weg von $0$ nach [mm] $\infty$ [/mm] nicht enthalten. Ansonsten erhaelst du (wie in meiner Antwort beschrieben) einen Widerspruch. Auf ganz [mm] $\IC \setminus \{ 0 \}$ [/mm] kann man den Logarithmus nicht als holomorphe (und ebenfalls nicht als stetige!) Funktion definieren.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Di 14.08.2007 | | Autor: | Gilga |
Sorry. Ihr hab natürlich recht. Kam mir auch schon verdächtig einfach vor...
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Da bin ich mir aber nicht so sicher, dass das eine Stammfunktion von 1/z ist. Wir sind soch im Komplexen und da gibt es keinen eindeutigen log. Deswegen hat die Funktion doch keine Stammfunktion, das habe ich so zumindest gelernt.
Meine Frage wäre demnach immer noch nicht beantwortet, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Di 14.08.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Da bin ich mir aber nicht so sicher, dass das eine
> Stammfunktion von 1/z ist. Wir sind soch im Komplexen und
> da gibt es keinen eindeutigen log.
Genau! Zumindest nicht auf zusammenhaengenden Gebieten mit Loch, in derem Loch die 0 enthalten ist.
> Deswegen hat die
> Funktion doch keine Stammfunktion, das habe ich so
> zumindest gelernt.
Genau, deswegen hat [mm] $z^{-1}$ [/mm] dort keine Stammfunktion. Was allerdings erstmal (ohne weitere Begruendungen) noch nicht als Begruendung reicht, warum $f$ dort keine Stammfunktion hat (es sei denn ihr hattet ein Ergebnis in die Richtung).
Man kann hier allerdings anders formulieren: nimm dir irgendeinen geschlossenen Weg innerhalb von $R$, der das Loch einmal umrundet (ein Kreis mit Radius 3 oder ein Rechteck). Wenn $f$ eine Stammfunktion auf $R$ hat, etwa $F$ mit $F' = f$, dann ist [mm] $\int_\gamma [/mm] f [mm] \; [/mm] dz = [mm] \int_0^1 f(\gamma(t)) \gamma'(t) \; [/mm] dz = [mm] \int_0^1 F'(\gamma(t)) \gamma'(t) \; [/mm] dz = [mm] \int_0^1 [/mm] (F [mm] \circ \gamma)'(t) \; [/mm] dz = [mm] F(\gamma(1)) [/mm] - [mm] F(\gamma(0)) [/mm] = 0$, da [mm] $\gamma(1) [/mm] = [mm] \gamma(0)$ [/mm] ist. Also ist das Integral gleich 0.
Jetzt kannst du das Integral aber auch mit dem Residuensatz ausrechnen: dazu musst du die Residuen von $f$ (das man ja auch auf ganz [mm] $\IC \setminus \{ 2, -1 \}$ [/mm] definieren kann) in $2$ und $-1$ berechnen. Und wenn da etwas [mm] $\neq [/mm] 0$ herauskommt, dann hast du somit einen Widerspruch zur Existenz einer Stammfunktion.
LG Felix
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Die Funktion lässt sich zerlegen in eine Summe, nämlich in
[mm] f(x)=\bruch{1}{z-2}-\bruch{1}{z+1}. [/mm] Löcher befinden sich bei z=-1 und z=2, die jeweiligen Residuen der jeweiligen Laurententwicklung um das jeweilige Loch sind 1 und -1.
Linker Teil der Skizze unten:
Jede geschlossene Kurve, die keines der Löcher enthält, hat den Integralwert 0. Fährt man aber um das Loch z=-1 herum, hat das Integral den Wert [mm] 2\pi [/mm] i für den geschlossenen Weg, und daher gibt es keine Stammfunktion (je nach Weg kommt ja bei gleichem Start- und Endpunkt 0 oder [mm] 2\pi [/mm] i heraus). Fährt man nun gleichsinnig orientiert um den Punkt z=2 herum, ergibt sich der Wert [mm] -2\pi [/mm] i für den geschlossenen Weg (das Residuum ist ja -1).
Fazit: Fährt man gleichzeitig um beide Löcher herum, ist das Integral wieder 0 (Summe aus [mm] 2\pi [/mm] i und [mm] -2\pi [/mm] i).
Rechter Teil der Skizze unten:
In der Aufgabenstellung wird nun |z|>2 verlangt, d.h., jeder geschlossene Weg verläuft so, dass er entweder gar kein Loch oder sofort beide Löcher umfahren muss und damit immer den Wert 0 als Integral ergibt. Das bedeutet aber Wegunabhängigkeit für jedes Integral, also auch für nicht-geschlossene Kurven, und damit die Existenz einer Stammfunktion.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Di 14.08.2007 | | Autor: | artic3000 |
Vielen Dank für Eure Mühe, ich habs mir schon fast gedacht, aber im Staatsexamen bin ich leider nicht drauf gekommen. Naja, dafür weiß ich es jetzt 
Lg
Nico
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