Gibt es ein Potential? Vektorf < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben ist das Vektorfeld(Kraftfeld) F: R²->R² mit F(x,y) = (2x,2y). Gibt es ein Potential? Wenn ja, wie heißt es? |
Ich kann leider mit der Frage überhaupt nichts anfangen. Kann mir jemand beim lösen helfen?
ich hab eine Formel gefunden im Papula. Diese sagt:
rot [mm] \overrightarrow{F} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0} [/mm] =
[mm] \bruch{ \delta Fx}{ \delta y} [/mm] = [mm] \bruch{ \delta Fy}{ \delta x}
[/mm]
sprich Fx nach y abgeleitet = Fy nach x abgeleitet
(2x)'dy = 0
und
(2y)'dx = 0
also
[mm] \bruch{ \delta Fx}{ \delta y} [/mm] = [mm] \bruch{ \delta Fy}{ \delta x} [/mm] = 0
was sagt mir das ?
das heist doch das rot [mm] \overrightarrow{F} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0} [/mm] = 0 ist und somit ein Potentialfeld?
Kann man das so sagen ?
Vielen Dank schonmal.
LG Anja
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Do 25.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> Gegeben ist das Vektorfeld(Kraftfeld) F: R²->R² mit F(x,y)
> = (2x,2y). Gibt es ein Potential? Wenn ja, wie heißt es?
> Ich kann leider mit der Frage überhaupt nichts anfangen.
> Kann mir jemand beim lösen helfen?
Ein Potential heißt: gibt es eine Funktion f, so dass gilt [m]gard(f)=F[/m]? Auf einem Sterngebiet ist dies äquivalent dazu, dass die Rotation des Vektorfeldes verschwindet.
SEcki
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also wenn ich von dem Vektorfeld das Potential errechne.
kommt y² raus integriert ergibt das 2y ... ?
Ich verstehe nur Bahnhof^^
LG Anja
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Do 25.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> also wenn ich von dem Vektorfeld das Potential errechne.
>
> kommt y² raus integriert ergibt das 2y ... ?
Bitte was? Eher andersrum! Du hast folgende zwei Gleichungen: [m]\partial_x f(x,y) = 2*x[/m] und [m]\partial_y f(x,y) = 2*x[/m]. Du musst also eine Funktion f finden, die abgeleitet nach x dann [m]2*x[/m] ergibt, nach y dann [m]2*y[/m].
SEcki
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oops ja ich meine ich habe [mm] y^2 [/mm] herausbekommen. Integriert ergibt das natürlich 1/3 [mm] y^3 [/mm] und abgeleitet 2y.
also f= [mm] x^2+y^2
[/mm]
Aber woher weis ich denn von Anfang an ob es ein Potential gibt im Vektorfeld?
Lg Anja
Danke schonmal an deine Mühe mit mir :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:55 Fr 26.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Aber woher weis ich denn von Anfang an ob es ein Potential
> gibt im Vektorfeld?
Wenn dar Definitionsbereich sternförmig ist, das Vektorfeld [mm] $f:\IR^n\to\IR^n$ [/mm] stetig differenzierbar und gilt [mm] $$\frac{\partial f_k}{\partial x_j}=\frac{\partial f_j}{\partial x_k}\qquad \forall 1\le j,k\le [/mm] n$$ dann gibt es ein Potential. Das ist die sog. Integrabilitätsbedingung.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Fr 26.06.2009 | | Autor: | superkato |
achso ok!
also es kommt bei beiden 0 raus somit existiert ein Potential
dieses habe ich ja dann ausgerechnet und ergibt [mm] y^2 [/mm]
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:35 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Calli |
Hi,
das Potenzial soll [mm] U=y^2 [/mm] sein ?![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]")
Dann bilde mal von diesem Potenzial den Gradienten:[mm] \vec F=\nabla U [/mm]!
Und übrigens: Wo ist hier die "Integrationskonstante" geblieben ?
Ciao Calli
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Hmm..
also ich hab das so ausgerechnet:
F=(2x;2y)
2x nach x integriert ergibt [mm] x^2 [/mm] + f(y)
[mm] x^2+f(y) [/mm] nach y abgeleitet ergibt 0+f'(y)
das dann mit 2y gleichsetzen um f'(y) zu errechnen:
0+f'(y)=2y
f'(y)=2y
f'(y) integrieren um f(y) zu erhalten:
2y dy => [mm] y^2+C
[/mm]
somit lautet das Potential [mm] 0+y^2+C
[/mm]
kann es sein das, dass mein Fehler darin liegt das ich
[mm] x^2+f(y) [/mm] falsch nach y abgeleitet habe ?
muss das [mm] x^2+f'(y) [/mm] sein statt 0+f'(y)
oder was ganz anderes?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Fr 26.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei P ein Potential von f
Dann : [mm] $P_x [/mm] = 2x , [mm] P_y [/mm] = 2y$
Somit: $P [mm] =x^2+g(y)$, [/mm] folglich ist $2y = [mm] P_y [/mm] = g'y)$, also $g(y) = [mm] y^2+C$
[/mm]
Fazit: $P(x,y) = [mm] x^2+y^2+C$
[/mm]
FRED
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