Gewöhnl. DGLn 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 So 11.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
In einem Prüfungsprotokoll ist die folgende Frage gestellt worden:
Was ist eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung? Wie sehen diese aus und wie ist die Lösung definiert?
Als Antwort würde ich jetzt einfach die Definition einer explizit gewöhnlichen Differentailgleichung 1. Ordnung hinschreiben.
Da wir aber in der Vorlesung verschieden Beispiele von gewöhlichen DGLn 1. Ordnung besprochen haben und deren Lösungen aufgeschrieben haben, weiß ich jetzt nicht genau, wie ich den zweiten Teil der Frage beantworten würde :-(. Muss ich da wirklich ALLE verschiedenen Beispiele aufschreiben und erläutern???
Viele liebe Grüße
Irmchen
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Hallo Irmchen,
> Guten Abend!
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> In einem Prüfungsprotokoll ist die folgende Frage gestellt
> worden:
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> Was ist eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung?
> Wie sehen diese aus und wie ist die Lösung definiert?
>
> Als Antwort würde ich jetzt einfach die Definition einer
> explizit gewöhnlichen Differentailgleichung 1. Ordnung
> hinschreiben.
Das ist auch ok.
[mm]y'+a\left(x\right)*y=b\left(x\right)[/mm]
Oder etwas allgemeiner: [mm]y'=f\left(x,y\right)[/mm]
>
> Da wir aber in der Vorlesung verschieden Beispiele von
> gewöhlichen DGLn 1. Ordnung besprochen haben und deren
> Lösungen aufgeschrieben haben, weiß ich jetzt nicht genau,
> wie ich den zweiten Teil der Frage beantworten würde :-(.
> Muss ich da wirklich ALLE verschiedenen Beispiele
> aufschreiben und erläutern???
Nein. Es gibt aber ein allgemeines Lösungsschema.
Zunächst bestimmt man die Lösung der homogenen DGL:
[mm]y'+a\left(x\right)=0[/mm]
Dann bestimmt man die Lösung der inhomogen DGL durch ![[]](/images/popup.gif) Variation der Konstanten.
>
> Viele liebe Grüße
> Irmchen
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 So 11.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank für die schnelle Anwort!
Viele Grüße
Irmchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 So 03.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend alle zusammen!
Als ich damals diese Frage ins Forum geschrieben habe und eine Antwort erhielt, dachte ich , dass ich nun diese Frage beantworten kann...
Und jetzt hänge ich wieder da und bin mir nicht sicher...
Die Frage lautete ja:
" Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung, wie sehen die aus, und wie ist die Lösung definiert ?"
Ich würde dazu Folgendes schreiben:
1. Sei U offen in [mm] \mathbb R^2 [/mm] , [mm] f: U \to \mathbb R [/mm] stetig. Sei I ein offenes Intervall und [mm] \phi: I \to \mathbb R [/mm] eine differenzierbare Funktion mit:
a) Für alle [mm] x \in I [/mm] ist [mm] (x, \phi(x) ) \in U [/mm]
b) Für alle [mm] x \in I [/mm] ist [mm] \phi ' (x) = f (x, \phi (x) ) [/mm].
Dann heißt [mm] \phi [/mm] eine Lösung der Differentialgleichung
(*) [mm] y ' = f (x,y) [/mm]
Man nennt (*) eine explizite gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung.
Zu den Teil der Frage, nach der Lösung , würde ich dies schreiben. Jedoch
weiß ich nicht wirklich, ob das richtig ist,was ich schreiben werde, denn dieses steht bei mir im Skript unter der Überschrift " Homogene lineare Differetialgleichung" Das irritiert mich, und zwar der Begriff linear....
Im Falle einer homogenen DGL:
Sein I ein offenes Intervall, [mm] a: I \to \mathbb R [/mm] sei stetig.
Definiere [mm] f: I \times \mathbb R \to \mathbb R [/mm] druch
[mm] f (x,y) = a(x) \cdot y [/mm].
Die DGL lautet also : [mm] y' = a(x) \cdot y [/mm].
Sei [mm] (x_0, y_0 ) \in I \times \mathbb R [/mm]. Dann existiert
genau eine Lösung [mm] \phi : I \to \mathbb R [/mm] von
[mm] y ' = a(x) \cdot y [/mm] mit [mm] \phi (x_0 ) = y_0 [/mm],
nämlich
[mm] \phi (x) = y_0 \cdot exp ( \integral_{x_0}^x a(t) dt ) [/mm]
Im Falle einer nicht homogenen DGL:
Sei I ein offenes Intervall , [mm] a,b : I \to \mathbb R [/mm] stetig.
Definiere [mm] f: I \times \mathbb R \to \mathbb R [/mm] durch [mm] f(x,y ) = a(x)y + b(x) [/mm].
Dann würde man erst die zugehörige homogene DGL berechnen und dann mit dem Methode " Variation der Konstanten" weiter arbeiten.
Wäre das richtig?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 So 03.08.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Irmchen,
Deine erste Definition der "expliziten gewöhnlichen DGl 1. Ordnung" ist o.k., soweit Definitionen korrekt sein können. Es wurde aber an alles gedacht, Definitionsbereiche, Voraussetzungen, etc.
Aber: Es handelt sich um eine explizite DGl, d.h. sie ist von der Form
y'(x) = f(x,y(x)). Man kann dies aber noch verallgemeinern auf die Form
f(x,y(x),y'(x)) = 0 und würde dann von einer impliziten DGl sprechen. Als einfaches Beispiel betrachte [mm] (y')^{2} [/mm] = 4*y(x).
Für beide Fälle gibt es allgemein keine Lösungsformel oder einen verbindlichen Lösungsweg, der immer zum Ziel führt, sondern die gibt es nur in Spezialfällen.
Eine "lineare gewöhnliche Dgl 1. Ordnung" ist andererseits eine Spezialisierung der "expliziten gewöhnlichen DGl 1. Ordnung" auf den Fall, dass f(x,y(x)) = a(x) * y(x) + b(x) ist (linear, weil y und natürlich y' nur linear vorkommen). Im Falle b(x) = 0 spricht man zusätzlich von einer homogenen linearen gewöhnlichen DGl 1. Ordnung. Hier kennt man einen Lösungsweg (nämlich die Trennung der Variablen, ein Verfahren, dass man immer anwenden kann, wenn f(x,y) die Form f(y)*g(x) hat), die auf das bei Dir angegebene Integral führt:
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] y_{0} \cdot exp(\integral_{x_{0}}^{x}{a(t) dt}) [/mm] (*)
wobei dies sogar schon die Lösung der Anfangswertaufgabe mit
[mm] \phi(x_{0}) [/mm] = [mm] y_{0} [/mm] ist. Ob das Integral geschlossen lösbar ist, hängt natürlich von a(t) ab, was bedeutet, dass es nicht selbstverständlich ist nachher wirklich eine Funktion [mm] \phi(x) [/mm] als Lösung da stehen zu haben. Aber für einen Differentialgleichungslöser ist die Arbeit mit (*) getan, den Rest sollen die Integrallöser leisten. 
Und dann benutzt man die "Variation der Konstanten" um eine Lösung der inhomogenen DGl (also mit b(x) [mm] \not= [/mm] 0) zu erhalten.
Aber bitte, dies alles geht nur bei linearen DGl!
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 03.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Uli!
Danke für die Antwort!
Ich fasse mal zusammen, und schaue, ob ich es richtig verstanden habe.
Also, müsste ich bei der Frage, wie die Gewöhnlich DGL 1. Ordnung ausschaut, die explizite nennen, und dann nochmal auf die lineare aufmerksam machen.
Und bei der Frage wie die Lösung dort definiert ist, kann ich bei der homogenen linearen DGL und der nicht homogenen linearen DGl meine Antwort verwenden?
Und bei der expliziten DGL, also der von der Form y'(x) = f(x,y(x)) gibt es keine allgemeine Lösungsformel...
Habe ich das jetzt so richtig verstanden?
Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 So 03.08.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Irmchen,
nochmal der Hinweis: in Deiner Lösung wird die Anfangswertaufgabe zur homogenen lineare DGL gelöst; die homogene lineare DGL hat die allg. Lösung:
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] c\cdot exp(\integral_{x_{0}}^{x}{a(t) dt}) [/mm] mit c [mm] \in \IR
[/mm]
Diese Konstante c wird dann auch in der Variation der Konstanten als c(x) variiert.
Ansonsten aber sind Deine Aussagen so korrekt.
Gruß
Uli
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