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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Do 08.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
| Aufgabe | In einer Population (Menschen, Tiere) der Gesamtgröße P wüte eine Epidemie. I(t) sei die Zahl der infizierten Mitglieder zur Zeit t. Die Zahl der Neuinfizierten pro Tag sei proportional zu I(P−I), während durch ärztliche Behandlung q Mitglieder pro Tag geheilt werden. Sei [mm] I_{0} [/mm] die Zahl der Infizierten zur Zeit t = 0. Dann gilt
[mm] \bruch{dI}{dt}=r*I*(P-I)-q, I(0)=I_{0}
[/mm]
mit r,q, [mm] I_{0} [/mm] > 0.
(a) Bestimmen Sie in den Fällen q/r < [mm] P^{2}/4, [/mm] q/r = [mm] P^{2}/4, [/mm] q/r > [mm] P^{2}/4 [/mm] jeweils
(a1) die konstanten Lösungen.
(a2) das qualitative Verhalten der anderen Lösungen für verschiedeneWerte von [mm] I_{0} [/mm] (die Lösung nicht ausrechnen!). Skizzieren Sie die Graphen. (Zwei Lösungen dürfen
sich nicht kreuzen oder berühren. Warum nicht?)
(a3) dieWerte von [mm] I_{0}, [/mm] in Abhängigkeit von q, für welche schlußendlich wieder alle Mitglieder gesund werden.
(b) Berechnen Sie die allgemeine Lösung im Fall q/r > [mm] P^{2}/4 [/mm] und bestimmen Sie für [mm] I_{0} [/mm] = P, wie lange es dauert, bis alle gesund sind, d.h. bis I = 0. |
Hallo ihr!
Zu obiger Aufgabe ... Irgendwie werde ich nicht schlau daraus!
Ich habe versucht, die Gleichung mal umzuschreiben in
y'=r*y*(P-y)-q
wobei r, P und q ja konstant > 0 sind *!?*
Folglich hätte ich ja eine x-freie DGL!
Was mich auch stört, ist, dass ich eine Ableitung nach der Zeit habe aber auf der rechten Gleichunsseite keine Zeit mehr auftaucht!
Und dann die Sache mit q/r <=> [mm] P^{2}/4??? [/mm] Wie muss ich das einsetzen um konstante Lösungen zu finden?
Eigentlich kommt mir die gesamte Aufgabe seltsam vor!
Vll. hat ja jemand ein paar Tips, damit ich überhaupt weiß was man rechnen soll und vielleicht auch wie!
Vlg, Kübi
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Hi kübi,
> In einer Population (Menschen, Tiere) der Gesamtgröße P
> wüte eine Epidemie. I(t) sei die Zahl der infizierten
> Mitglieder zur Zeit t. Die Zahl der Neuinfizierten pro Tag
> sei proportional zu I(P−I), während durch ärztliche
> Behandlung q Mitglieder pro Tag geheilt werden. Sei [mm]I_{0}[/mm]
> die Zahl der Infizierten zur Zeit t = 0. Dann gilt
>
> [mm]\bruch{dI}{dt}=r*I*(P-I)-q, I(0)=I_{0}[/mm]
>
> mit r,q, [mm]I_{0}[/mm] > 0.
>
> (a) Bestimmen Sie in den Fällen q/r < [mm]P^{2}/4,[/mm] q/r =
> [mm]P^{2}/4,[/mm] q/r > [mm]P^{2}/4[/mm] jeweils
> (a1) die konstanten Lösungen.
> (a2) das qualitative Verhalten der anderen Lösungen für
> verschiedeneWerte von [mm]I_{0}[/mm] (die Lösung nicht ausrechnen!).
> Skizzieren Sie die Graphen. (Zwei Lösungen dürfen
> sich nicht kreuzen oder berühren. Warum nicht?)
> (a3) dieWerte von [mm]I_{0},[/mm] in Abhängigkeit von q, für welche
> schlußendlich wieder alle Mitglieder gesund werden.
> (b) Berechnen Sie die allgemeine Lösung im Fall q/r >
> [mm]P^{2}/4[/mm] und bestimmen Sie für [mm]I_{0}[/mm] = P, wie lange es
> dauert, bis alle gesund sind, d.h. bis I = 0.
> Hallo ihr!
>
> Zu obiger Aufgabe ... Irgendwie werde ich nicht schlau
> daraus!
>
> Ich habe versucht, die Gleichung mal umzuschreiben in
>
> y'=r*y*(P-y)-q
>
> wobei r, P und q ja konstant > 0 sind *!?*
>
> Folglich hätte ich ja eine x-freie DGL!
richtig!
>
> Was mich auch stört, ist, dass ich eine Ableitung nach der
> Zeit habe aber auf der rechten Gleichunsseite keine Zeit
> mehr auftaucht!
oben hast du noch von $x$ gesprochen, du solltest dich für x oder t entscheiden... üblicherweise sagt man bei GDGs $y=y(x)$ bzw. $x=x(t)$
wie dem auch sei: in deiner GDG taucht auf der rechten seite nur die funktion selbst als variable auf, das ist richtig. und sogar vorteilhaft, weil du dann relativ leicht eine trennung der variablen durchführen kannst...
> Und dann die Sache mit q/r <=> [mm]P^{2}/4???[/mm] Wie muss ich das
> einsetzen um konstante Lösungen zu finden?
eigentlich gar nicht: lösung konstant [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ableitung der lösung gleich ....
> Eigentlich kommt mir die gesamte Aufgabe seltsam vor!
Mir nicht. 
VG
Matthias
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hallo,
> Okay, ich habe also eine x-freie DGL y'=ry(I-y)-q.
> Soweit so gut!
> Leider kann ich mit den Aufgaben trotzdem noch nicht viel
> anfangen!
>
> > lösung konstant [mm]\Rightarrow[/mm] ableitung der lösung gleich
> ...
>
> Okay, das ist klar! Aber wie verwerte ich um eine konstante
> Lösung zu finden diese Bedingungen q/r <,=,> [mm]P^{2}/4[/mm] (*)?
anscheinend ist es nicht klar, sonst würdest du sehen, wo die bedingungen ins spiel kommen. wie ist denn dein ansatz, um die konstanten lösungen zu finden?
>
> Ich habe da keine Ahnung! Genausowenig wie ich in a2 ohne
> die Lösung zu berechnen die Graphen skizzieren soll für
> verschiedene [mm]I_{0}[/mm] und diese Bedingungen (*).
eine möglichkeit wäre, dir das richtungsfeld der gleichung zu skizzieren und dort feldlinien zu suchen.
>
> > Eigentlich kommt mir die gesamte Aufgabe seltsam vor!
>
> > Mir nicht.
>
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Do 08.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
hey ho!
mit dem klar meinte ich, dass es klar ist, dass für verschiedene konstante Lösungen die Ableitung gleich ist! Eine Erkenntnis, die man schon in der Schule haben sollte!
So langsam fällt mir aber auf, dass ich gar nicht weiß, wie ich an eine konstante Lösung rankomme! Weshalb ich wahrscheinlich auch nicht weiter weiß mit diesen Bedingungen!
Die Sache mit dem Richtungsfeld: Soll ich dann für r,P und q einfach Werte vorgeben, die den Bedinugen entsprechen und dann mal draufloszeichnen?
Nochmals Danke im Vorab!
Lg, Kübi
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so,
> hey ho!
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> mit dem klar meinte ich, dass es klar ist, dass für
> verschiedene konstante Lösungen die Ableitung gleich ist!
das ist lustig, denn das meinte ich gar nicht....  sondern:
lösung konstant [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ableitung der lösung = ??? .
> Eine Erkenntnis, die man schon in der Schule haben sollte!
>
>
> So langsam fällt mir aber auf, dass ich gar nicht weiß, wie
> ich an eine konstante Lösung rankomme! Weshalb ich
> wahrscheinlich auch nicht weiter weiß mit diesen
> Bedingungen!
siehe die ??? oben....
>
> Die Sache mit dem Richtungsfeld: Soll ich dann für r,P und
> q einfach Werte vorgeben, die den Bedinugen entsprechen und
> dann mal draufloszeichnen?
das wäre eine idee.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Do 08.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
The show must go on!
Aha, was man mit mitteilen möchte ist also
y'=ry(P-y)-q=0=k (k=konstant), oder? (Hoffe ich jetzt stark!)
Okay, muss ich dann diese Gleichung nach y auflösen um die konstante Lösung zu bekommen? (Ziemlich doofer Ausdruck kommt da raus! Und diese Bedingungen, ich schnalls noch immer nicht!)
Im übrigen, wie soll ich ein Richtungsfeld zeichnen wenn ich eine DGL ohne x habe? Wie verwende ich da meine x-Koordinaten des Richtungsfeldes?
Lg, Kübi
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> The show must go on!
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> Aha, was man mit mitteilen möchte ist also
>
> y'=ry(P-y)-q=0=k (k=konstant), oder? (Hoffe ich jetzt
> stark!)
>
richtig, das k ist allerdings überflüssig. außerdem [mm] $y=y_k$ [/mm] konstant. dh. du kriegst deine konstanten lösungen klassisch durch lösen der oben genannten quadratischen gleichung.
> Okay, muss ich dann diese Gleichung nach y auflösen um die
> konstante Lösung zu bekommen? (Ziemlich doofer Ausdruck
> kommt da raus! Und diese Bedingungen, ich schnalls noch
> immer nicht!)
diskriminante? klingelts jetzt?
>
> Im übrigen, wie soll ich ein Richtungsfeld zeichnen wenn
> ich eine DGL ohne x habe? Wie verwende ich da meine
> x-Koordinaten des Richtungsfeldes?
das R-feld hängt halt nur vom y-wert ab, ist also in x-richtung konstant.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Do 08.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
Dank deiner Engelsgeduld beginnt es langsam zu klingeln, ja ...
Also, als Diskriminante der Lösung von [mm] -r*y^{2}+p*r*y-q=0 [/mm] erhalte ich
[mm] p^{2}*r-4*q [/mm] (schonmal sehr schön!).
1. Bedingung: [mm] q/r
2. Bedingung: [mm] q/r=p^{2}/4 [/mm] <=> [mm] 4q=4P^{2} [/mm] => Diskriminante Null
3. Bedingung: [mm] q/r>p^{2}/4 [/mm] <=> [mm] 4q>4P^{2} [/mm] => Diskriminante negativ
(das alles weil zusätzlich r,q>0)
Folglich müsste ich ja für Bedingung 3 keine reelle konstante Lösung bekommen, für Bedingung 2 die Null als konstante Lösung und für Bedinung 1 bin ich mir noch nicht so ganz sicher, was ich damit anfangen soll!
Ist das soweit i.O.?
Lg, Kübi
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> Dank deiner Engelsgeduld beginnt es langsam zu klingeln, ja
> ...
>
> Also, als Diskriminante der Lösung von [mm]-r*y^{2}+p*r*y-q=0[/mm]
> erhalte ich
>
> [mm]p^{2}*r-4*q[/mm] (schonmal sehr schön!).
>
> 1. Bedingung: [mm]q/r
> positiv
> 2. Bedingung: [mm]q/r=p^{2}/4[/mm] <=> [mm]4q=4P^{2}[/mm] => Diskriminante
> Null
> 3. Bedingung: [mm]q/r>p^{2}/4[/mm] <=> [mm]4q>4P^{2}[/mm] => Diskriminante
> negativ
>
> (das alles weil zusätzlich r,q>0)
ich vermisse bei den [mm] $4P^2$-Termen [/mm] ein wenig das $r$....
>
> Folglich müsste ich ja für Bedingung 3 keine reelle
> konstante Lösung bekommen,
jep.
> für Bedingung 2 die Null als
> konstante Lösung
wieso das?
> und für Bedinung 1 bin ich mir noch nicht
> so ganz sicher, was ich damit anfangen soll!
wie wärs mit: die quadratische gleichung lösen? (gilt im übrigen auch für variante 2)
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 08.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
Okay, nun noch zur a3) und b) ...
Alle gesund heißt ja I=0.
Muss ich dann hier mit den konstanten Lösungen rechnen oder nicht?
und die b), da muss ich ja dann die DGL allg. lösen zuerst (taucht dann im Lösungsweg auch wieder irgendwas auf wo ich die Bedingung verwursten kann?)
Lg, Kübi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Do 08.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo kuebi
Wenn die Dikr. 0 ist, ist I nicht 0!sondern I'! Konstante Lösung heisst dass der Anfangswert ,also I(0) sich nicht ändert.
Wenn der also "richtig ist, also Lösg. der quadrat. Gleichung hast du immer gleich viel Kranke!
Wenn du zu irgendeinem Zeitpkt diese Zahl erreichtest, änderte sich ab dann nichts mehr, also ist das ne mögliche Assymptote deiner Lösugen. der kann man sich von oben und unten nähern! oder drumrumwackeln. Jetzt überleg mal selber weiter.
Gruss leduart
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