Gewinnmaximierung < Ökonomische Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 Mi 09.01.2008 | | Autor: | clover84 |
| Aufgabe | Die Preisabsatzfunktion eines Monopolisten lautet p=100-x. Die Kostenfunktion lautet: [mm] K(x)=x^{3}+10x+100
[/mm]
a) Maximiere den Gewinn und den Umsatz.
b) Wie hoch ist die Nachfrageelastizität im jeweiligen Opitmum |
Hallo,
mein Ansatz zu dieser Aufgabe würde lauten:
Ich würde zunächst die Gewinnfunktion bestimmen.
[mm] G(x)=p-K(x)=100-x-(x^{3}+10x+100)= -x^{3}-11x
[/mm]
Um den Gewinn und den Umsatz zu bestimmen, bilde ich die erste Ableitung von G(x) und setze dann G'(x)=0
[mm] G'(x)=-3x^{2}-11
[/mm]
[mm] 0=-3x^{2}-11
[/mm]
Hier erhalte ich aber eine negative Zahl unter der Wurzel.
Bin hier falsch vorgegangen??
Könnte mir bitte jemand helfen??
Danke
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> Die Preisabsatzfunktion eines Monopolisten lautet p=100-x.
> Die Kostenfunktion lautet: [mm]K(x)=x^{3}+10x+100[/mm]
>
> a) Maximiere den Gewinn und den Umsatz.
> mein Ansatz zu dieser Aufgabe würde lauten:
>
> Ich würde zunächst die Gewinnfunktion bestimmen.
Die Idee ist gut.
> [...]
> Bin hier falsch vorgegangen??
Ja.
Weil Du wieder ohne den gesunden Menschenverstand losgerechnet hast.
Du hast hier eine Preisabsatzfunktion p(x):=100-x.
Die gibt Dir den Zusammenhang zwischen ausgebrachter Menge und zu erzielendem Preis an.
Preis! Nicht Erlös...
Der Gewinn berechnet sich aber aus der Differenz zwischen Kosten und Erlös.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 15.01.2008 | | Autor: | clover84 |
Hallo,
die Erlösfunktion erhalte ich doch durch [mm] E(x)=x*p=-x^{2}+100x
[/mm]
und die Gewinnfunktion durch [mm] G(x)=E(x)-K(x)=100x-x^{2}-(x^{3}+10x+100)=-x^{3}-x^{2}+90x-100
[/mm]
In der Aufgabe steht nun, dass man den Gewinn und den Umsatz maximieren soll.
Um den Gewinn zu maximieren, würde ich die erste Ableitung bilden und davon die Nullstellen berechnen.
Aber wie gehe ich vor, wenn ich den Umsatz maximieren soll??
Könnte mir da bitte jemand weiter helfen?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Di 15.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
>
> die Erlösfunktion erhalte ich doch durch
> [mm]E(x)=x*p=-x^{2}+100x[/mm]
>
> und die Gewinnfunktion durch
> [mm]G(x)=E(x)-K(x)=100x-x^{2}-(x^{3}+10x+100)=-x^{3}-x^{2}+90x-100[/mm]
>
> In der Aufgabe steht nun, dass man den Gewinn und den
> Umsatz maximieren soll.
>
> Um den Gewinn zu maximieren, würde ich die erste Ableitung
> bilden und davon die Nullstellen berechnen.
Das ist korrekt so. Du muss nachher aber auch zeigen, dass es ein Hochpunkt der Gewinnfunktion ist.
Und welche Koordinate von Hochpunkt von G ist dann der maximale Gewinn?
>
> Aber wie gehe ich vor, wenn ich den Umsatz maximieren
> soll??
Da musst du die Umsatzfunktion erstellen, und davon dann das Maximum bestimmen.
>
> Könnte mir da bitte jemand weiter helfen?
>
> Danke
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Di 15.01.2008 | | Autor: | clover84 |
> > Hallo,
> >
> > die Erlösfunktion erhalte ich doch durch
> > [mm]E(x)=x*p=-x^{2}+100x[/mm]
> >
> > und die Gewinnfunktion durch
> >
> [mm]G(x)=E(x)-K(x)=100x-x^{2}-(x^{3}+10x+100)=-x^{3}-x^{2}+90x-100[/mm]
> >
> > In der Aufgabe steht nun, dass man den Gewinn und den
> > Umsatz maximieren soll.
> >
> > Um den Gewinn zu maximieren, würde ich die erste Ableitung
> > bilden und davon die Nullstellen berechnen.
>
> Das ist korrekt so. Du muss nachher aber auch zeigen, dass
> es ein Hochpunkt der Gewinnfunktion ist.
> Und welche Koordinate von Hochpunkt von G ist dann der
> maximale Gewinn?
>
> >
> > Aber wie gehe ich vor, wenn ich den Umsatz maximieren
> > soll??
>
> Da musst du die Umsatzfunktion erstellen, und davon dann
> das Maximum bestimmen.
Ist eigentlich die Umsatzfunktion=Erlösfunktion?
> >
> > Könnte mir da bitte jemand weiter helfen?
> >
> > Danke
>
> Marius
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Di 15.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
>
> Ist eigentlich die Umsatzfunktion=Erlösfunktion?
>
Ich vermute, ![[]](/images/popup.gif) ja
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Di 15.01.2008 | | Autor: | clover84 |
> >
> > Ist eigentlich die Umsatzfunktion=Erlösfunktion?
> >
>
> Ich vermute, ja
>
> Marius
Hallo,
ich hab die Erkösfunktion [mm] E(x)=-x^{2}+100x
[/mm]
Um nun den Umsatz zu maximieren bestimme ich die erste Ableitung und erhalte E'(x)=-2x+100. Nun bestimme ich die Nullstellen der ersten Ableitung und erhalte x=50. Und nun überprüfe ich ob es sich hier um ein Maximum handelt. Dafür bestimme ich die 2.Ableitung und erhalte E''(x)=-2
Wie überprüfe ich nun ob x=50 ein Maximum ist, wenn in der 2.Abl. kein x mehr vorhanden ist?
Hab ich da was falsch gemacht??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Di 15.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
>
> ich hab die Erkösfunktion [mm]E(x)=-x^{2}+100x[/mm]
>
> Um nun den Umsatz zu maximieren bestimme ich die erste
> Ableitung und erhalte E'(x)=-2x+100. Nun bestimme ich die
> Nullstellen der ersten Ableitung und erhalte x=50. Und nun
> überprüfe ich ob es sich hier um ein Maximum handelt. Dafür
> bestimme ich die 2.Ableitung und erhalte E''(x)=-2
>
> Wie überprüfe ich nun ob x=50 ein Maximum ist, wenn in der
> 2.Abl. kein x mehr vorhanden ist?
>
> Hab ich da was falsch gemacht??
Nein, denn auch da kann ich x=50 "einsetzen", denn E''(x)=-2 ist auch eine Funktion (Der Graph ist eine Parallele zur x-Achse)
E(50)=-2 (Laut Vorschrift der 2. Ableitung)
Also: Was ist der Punkt P(50/E(50))?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Di 15.01.2008 | | Autor: | clover84 |
> >
> > ich hab die Erkösfunktion [mm]E(x)=-x^{2}+100x[/mm]
> >
> > Um nun den Umsatz zu maximieren bestimme ich die erste
> > Ableitung und erhalte E'(x)=-2x+100. Nun bestimme ich die
> > Nullstellen der ersten Ableitung und erhalte x=50. Und nun
> > überprüfe ich ob es sich hier um ein Maximum handelt. Dafür
> > bestimme ich die 2.Ableitung und erhalte E''(x)=-2
> >
> > Wie überprüfe ich nun ob x=50 ein Maximum ist, wenn in der
> > 2.Abl. kein x mehr vorhanden ist?
> >
> > Hab ich da was falsch gemacht??
>
> Nein, denn auch da kann ich x=50 "einsetzen", denn
> E''(x)=-2 ist auch eine Funktion (Der Graph ist eine
> Parallele zur x-Achse)
>
> E(50)=-2 (Laut Vorschrift der 2. Ableitung)
>
> Also: Was ist der Punkt P(50/E(50))?
>
> Marius
Um ehrlich zu sein, weiß ich es nicht, weil ich es irgendwie nicht verstehe. Ich muss doch x=50 in die 2.Abl. einsetzen können um dann zu bestimmen ob es ein maximum oder minimum ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Di 15.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Da die 2. Ableitung konstant -2 ergibt, und damit immer (Egal für welches x) kleiner als 0 ist, ist die hinreichende Bedingung E''(x)<0 auf jeden Fall erfüllt, also auch für x=50 und somit liegt an der Stelle x=50 ein Maximum vor.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Di 15.01.2008 | | Autor: | clover84 |
Danke für deine Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Di 15.01.2008 | | Autor: | clover84 |
Hallo,
ich hab nun folgende Werte:
Bei der Gewinnfunktion habe ich als Maximum x=5,16 und der Gewinn beträgt G(5,16)=200,39
Und das Optimum der Umsatzfunktion beträgt E(50)=2500.
Wie muss ich aber beim Aufgabenteil b vorgehen um die Nachfrageelastizität zu bestimmen?
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> Bei der Gewinnfunktion habe ich als Maximum x=5,16 und der
> Gewinn beträgt G(5,16)=200,39
>
> Und das Optimum der Umsatzfunktion beträgt E(50)=2500.
>
>
> Wie muss ich aber beim Aufgabenteil b vorgehen um die
> Nachfrageelastizität zu bestimmen?
Hallo,
wenn ich mich recht entsinne, ist die Elastizität der Nachfrage
[mm] \varepsilon(p)=\bruch{dx}{dp}\bruch{p}{x(p)}.
[/mm]
(Überprüf' bitte, ob es wirklich stimmt!!! Das ist das, was ich mal als Preiselastizität der Nachfrage gelernt habe.)
Du benötigst also die Nachfrage x in Abhängigkeit vom Preis und berechnest dann
[mm] \varepsilon(p)=x'(p) \bruch{p}{x(p)}.
[/mm]
Dann mußt Du natürlich noch herausfinden, wie p im Optimum ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Di 15.01.2008 | | Autor: | clover84 |
>
> Hallo,
>
> wenn ich mich recht entsinne, ist die Elastizität der
> Nachfrage
>
> [mm]\varepsilon(p)=\bruch{dx}{dp}\bruch{p}{x(p)}.[/mm]
>
> (Überprüf' bitte, ob es wirklich stimmt!!! Das ist das, was
> ich mal als Preiselastizität der Nachfrage gelernt habe.)
>
> Du benötigst also die Nachfrage x in Abhängigkeit vom Preis
> und berechnest dann
>
> [mm]\varepsilon(p)=x'(p) \bruch{p}{x(p)}.[/mm]
>
> Dann mußt Du natürlich noch herausfinden, wie p im Optimum
> ist.
>
> Gruß v. Angela
Hallo,
die von dir angegebene Formel zu Elastizität stimmt.
In der Aufgaist p mit p=100-x gegeben. Ich weiß aber nicht, wie man, dass in x(p) umschreibt. Heißt das etwa x*p??
Gruß, clover
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> > [mm]\varepsilon(p)=x'(p) \bruch{p}{x(p)}.[/mm]
> Hallo,
>
> die von dir angegebene Formel zu Elastizität stimmt.
>
> In der Aufgaist p mit p=100-x gegeben. Ich weiß aber nicht,
> wie man, dass in x(p) umschreibt. Heißt das etwa x*p??
Nein.
Wenn da steht p=100-x, hast Du p in Abhängigkeit von x gegeben, also p(x)=100-x.
Wenn Du das nun x(p) willst, mußt Du p=100-x nach x auflösen, was sehr leicht ist: x=100-p,
also x(p)=100-p.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Di 15.01.2008 | | Autor: | clover84 |
>
> > > [mm]\varepsilon(p)=x'(p) \bruch{p}{x(p)}.[/mm]
>
> > Hallo,
> >
> > die von dir angegebene Formel zu Elastizität stimmt.
> >
> > In der Aufgaist p mit p=100-x gegeben. Ich weiß aber nicht,
> > wie man, dass in x(p) umschreibt. Heißt das etwa x*p??
>
> Nein.
>
> Wenn da steht p=100-x, hast Du p in Abhängigkeit von x
> gegeben, also p(x)=100-x.
>
> Wenn Du das nun x(p) willst, mußt Du p=100-x nach x
> auflösen, was sehr leicht ist: x=100-p,
>
> also x(p)=100-p.
>
> Gruß v. Angela
>
Hallo,
wenn ich nun die gegebenen Werte in die Formel einsetze, erhalte ich:
[mm] \varepsilon(p)=-1 [/mm] * [mm] \bruch{100-x}{100-p}
[/mm]
x'(p)=-1
Ist das soweit richtig?
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> >
> > > > [mm]\varepsilon(p)=x'(p) \bruch{p}{x(p)}.[/mm]
> > Wenn da steht p=100-x, hast Du p in Abhängigkeit von x
> > gegeben, also p(x)=100-x.
> >
> > Wenn Du das nun x(p) willst, mußt Du p=100-x nach x
> > auflösen, was sehr leicht ist: x=100-p,
> >
> > also x(p)=100-p.
> >
>
> Hallo,
>
> wenn ich nun die gegebenen Werte in die Formel einsetze,
> erhalte ich:
>
> [mm]\varepsilon(p)=-1[/mm] * [mm]\bruch{100-x}{100-p}[/mm]
>
> x'(p)=-1
>
> Ist das soweit richtig?
Nicht ganz.
Das [mm] \varepsilon [/mm] soll ja in Abhängigkeit von p sein. Da, wo Du 100-x stehen hast, gehört einfach nur p hin.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 15.01.2008 | | Autor: | clover84 |
> > >
> > > > > [mm]\varepsilon(p)=x'(p) \bruch{p}{x(p)}.[/mm]
>
> > > Wenn da steht p=100-x, hast Du p in Abhängigkeit von x
> > > gegeben, also p(x)=100-x.
> > >
> > > Wenn Du das nun x(p) willst, mußt Du p=100-x nach x
> > > auflösen, was sehr leicht ist: x=100-p,
> > >
> > > also x(p)=100-p.
>
> > >
> >
> > Hallo,
> >
> > wenn ich nun die gegebenen Werte in die Formel einsetze,
> > erhalte ich:
> >
> > [mm]\varepsilon(p)=-1[/mm] * [mm]\bruch{100-x}{100-p}[/mm]
> >
> > x'(p)=-1
> >
> > Ist das soweit richtig?
>
> Nicht ganz.
>
> Das [mm]\varepsilon[/mm] soll ja in Abhängigkeit von p sein. Da, wo
> Du 100-x stehen hast, gehört einfach nur p hin.
>
> Gruß v. Angela
>
Das heißt also:
[mm] \varepsilon(p)=-1\bruch{p}{100-p}
[/mm]
Muss ich nun aus dieser Gleichung noch einen bestimmten Zahlenwert erhalten? Wahrscheinlich ja, oder?
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> Das heißt also:
>
> [mm]\varepsilon(p)=-1\bruch{p}{100-p}[/mm]
[mm] =\bruch{p}{p-100}
[/mm]
>
> Muss ich nun aus dieser Gleichung noch einen bestimmten
> Zahlenwert erhalten? Wahrscheinlich ja, oder?
Wenn ich die Aufgabenstellung richtig erinnere, dann ja.
Ging es nicht um's Gewinn- und Umsatzoptimum?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Di 15.01.2008 | | Autor: | clover84 |
>
> > Das heißt also:
> >
> > [mm]\varepsilon(p)=-1\bruch{p}{100-p}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{p}{p-100}[/mm]
>
> >
> > Muss ich nun aus dieser Gleichung noch einen bestimmten
> > Zahlenwert erhalten? Wahrscheinlich ja, oder?
>
> Wenn ich die Aufgabenstellung richtig erinnere, dann ja.
>
> Ging es nicht um's Gewinn- und Umsatzoptimum?
>
> Gruß v. Angela
>
DAs Umsatzoptimum war E(50)=2500 und das Gewinnoptimum G(5,16)=200,39
Muss ich nun die Werte 2500 und 200,39 bei p in die Elastizitäts-Gleichung einsetzen??
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> >
> > > Das heißt also:
> > >
> > > [mm]\varepsilon(p)=-1\bruch{p}{100-p}[/mm]
> >
> > [mm]=\bruch{p}{p-100}[/mm]
>
> DAs Umsatzoptimum war E(50)=2500 und das Gewinnoptimum
> G(5,16)=200,39
>
> Muss ich nun die Werte 2500 und 200,39 bei p in die
> Elastizitäts-Gleichung einsetzen??
Hallo,
bei solchen Aufgaben muß man schon das Gehirn ein bissele einschalten, Stufe 2 vielleicht.
Wenn Du dort die Elastizität in Abhängigkeit vom Preis p stehen hast, ist es sicher nicht sinnvoll, für den Preis den maximalen Umsatz oder den maximalen Gewinn einzusetzen. Für den Preis ist natürlich der Preis einzusetzen - der Preis in den von Dir errechneten Punkten.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:14 Di 15.01.2008 | | Autor: | clover84 |
> > >
> > > > Das heißt also:
> > > >
> > > > [mm]\varepsilon(p)=-1\bruch{p}{100-p}[/mm]
> > >
> > > [mm]=\bruch{p}{p-100}[/mm]
>
> >
> > DAs Umsatzoptimum war E(50)=2500 und das Gewinnoptimum
> > G(5,16)=200,39
> >
> > Muss ich nun die Werte 2500 und 200,39 bei p in die
> > Elastizitäts-Gleichung einsetzen??
>
Muss dann für p jeweils 50 und 5,16 eingesetzt werden?
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> Muss dann für p jeweils 50 und 5,16 eingesetzt werden?
Sind das die Preise, bei denen Gewinn bzw. Umsatz optimal sind?
Wenn ja: einsetzen.
Wenn nein: nicht einsetzen.
Wir sind hier übrigens nicht beim heiteren Zahlenraten...
Vielleicht solltest Du die Aufgabe nochmal von Anfang an durchgehen und Dir vergegenwärtigen, was Du eigentlich getan und errechnet hast.
Gruß v. Angela
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> Muss dann für p jeweils 50 und 5,16 eingesetzt werden?
Wie gesagt: nein.
Aber Du kannst natürlich p mithilfe dieser Werte ermitteln.
Gruß v. Angela
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