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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Mo 14.05.2007 | | Autor: | drehspin |
Hallo, habe hier folgende Aufgabe: Gewinnanalyse
Ein Unternehmen stellt Motoren her. Es wird davon ausgegangen, dass die gesamte monatliche Produktion auch tatsächlich abgesetzt werden kann. Die monatlichen Gesamtkosten für die Produktion hängen von der Anzahl der produzierten Motoren x ab und werden in Abhängigkeit von dieser Anzahl durch die Kostenfunktion K beschrieben. Über die Kostenentwicklung sind folgende Informationen bekannt:
Produktion von x Motren pro Manat: 0 50 100
Gesamtkosten K(x) in Euro pro Monat: 500 000 757 500 940 000
a) Bestätigen sie anhand der gegebenen Informationen, dass die Gesamtkosten nicht durch die Gleichung einer linearen Funktion dargestellt werden können.
b) Den Produktionsplanern ist bekannt, dass bei einer Produktion von 100 Motoren der Kostenzuwachs pro zusätzlich produziertem Motor (Grenzkosten) 3000 Euro/Stück beträgt. Bestätigen sie nun, dass K(x)= [mm] 0,02x^3 [/mm] - [mm] 18x^2 [/mm] + 6000x + 500 000, x element aus N
, unter den oben genannten Vorgaben die Gleichung einer "passenden" Kostenfunktion darstellt.
Zu den jeweiligen Antworten Sollen wir dann noch argumentieren.
Zu A) Würde ich folgendes schreiben. Wenn die Gesamtkosten durch eine lin. Funktion beschrieben werden könnte, dann müsste die Differenz zwischen Produktion von 0 und 50 Motoren, die gleiche Differenz sein, wie zwischen 50 und 100 Motoren. Die Differenz zwischen 0 und 50 Motoren, beträgt: 257 500. Wenn die Funtion linar wäre, müssten 100 Motoren: 1.015.000 btragen. Er liegt jedoch bei 940 000. Die Funktion ist also nicht linear.
Zub) Wenn man 101 und 102 in die Kostenfunktion eingibt, ist schon zu sehen, dass die Gesamtkosten um ca. je 3000Euro pro Stück, wchsen. Es könnte daher je sein, dass die Kostenfunktion ab 100 Motoren, einer linearen Funktion ähnelt. Weshalb das so ist, kann ich jedoch nicht sagen. Aus irgendeinem Grund wir die Steigung ab 100 relativ konstant.
Sind meine Antworten richtig? Kann man es besser formulieren, oder könnte man eventuell etwas besseres antworten oder mehr?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Mo 14.05.2007 | | Autor: | ron |
Hallo,
die Antwort auf Teil a) ist aus meiner Sicht durchaus nachvollziehbar und bringt die richtige Idee ins Spiel. Als Wirtschaftsmathematiker könnte ich diese Argumentation anbieten:
Die Steigung einer linearen Funktion läßt sich über das Steigungsdreieck mit dem Bruch aus Delta y (Gesamtkosten) und Delta x (Produktionsmenge) bestimmen (variable Kosten pro Stück). Anschließend muss dergleiche Fixkostenblock bei unterschiedlichen Prouktionsmengen berechnet werden, da die Gesamtkosten bekannt sind, das wird hier auch schief gehen! In diesem Sinne ist die gelieferte Antwort richtig.
Zu Teil b)
Kann ich nur emphelen aus mathematischer Sicht Bestimmungsgleichungen aufstellen und dann über Lineares Gleichungssystem (LGS) die Unbekannten berechnen.
Welche Gleichungen hat mann hier für die Bestimmung der Kostenfunktion:
f(0)=500000
f(50)=757500
f(100)=940000
f'(100)=3000 (Grenzkosten bestimmen über die erste Ableitung)
Zusammen sind es jetzt vier Gleichungen, damit können maximal vier Unbekannte in der Kostenfunktion stehen!!!
Ansatz:
K(x)= [mm] ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
[mm] K'(x)=3ax^2+2bx+c
[/mm]
Also eine rationale Funktion dritten Grades, was auch übereinstimmt mit der Lösung in der Aufgabe. Nun noch die Werte einsetzen von Oben und nach a,b,c,d auflösen (Gauss-Verfahren!!!)
Hoffe die Antwort hilft, auch wenn ich in Teil b) nix vorrechne.
Bitte fragen bei Unklarheiten.
Ron
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Di 15.05.2007 | | Autor: | drehspin |
Hi, danke für die Antwort! Kann man bei a sozusagen dazu einfach noch hinschreiben: , dass bei einer Gerade die Steigung immer gleich ist, und man die so berechnet: deltay /delta x
Hier müsste [mm] \bruch{757500}{50} [/mm] = [mm] \bruch{940000}{100} [/mm] sein und das ist es nicht, also ist es keine lineare Funktion?
Und zu teilb : Hab ich nicht verstanden. Man soll doch nur betätigen, dass K(x) eine passende kostenfunktion darstellt!?
Danke
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Hallo drehspin!
> Hi, danke für die Antwort! Kann man bei a sozusagen dazu
> einfach noch hinschreiben: , dass bei einer Gerade die
> Steigung immer gleich ist, und man die so berechnet: deltay
> /delta x
> Hier müsste [mm]\bruch{757500}{50}[/mm] = [mm]\bruch{940000}{100}[/mm] sein
> und das ist es nicht, also ist es keine lineare Funktion?
>
> Und zu teilb : Hab ich nicht verstanden. Man soll doch nur
> betätigen, dass K(x) eine passende kostenfunktion
> darstellt!?
>
> Danke
Bei a) sollst lediglich zeigen, dass die drei dir gegebenen Punkte der Kostenfunktion nicht auf einer Geraden liegen. Dazu musst du lediglich aus Punkten eine lineare Funktion erstellen und dann nachweisen, dass der dritte Punkt nicht zu dieser Funktion gehört, indem du ihn in die ermittelte lineareunktion einsetzt und nachweist, dass keine wahre Aussage entsteht.
Bei b) würde ich lediglich die gegebenen drei Punkte in die genannte Kostenfunktion einsetzen und prüfen ob wahre Aussagen entstehen. Weiterhin würde ich die Grenzkostenfunktion (erste Ableitung der Kostenfunktion) bilden, dort die Ausbringungsmenge von 100 einsetzen und prüfen, ob die gegebenen Kosten von 3.000 Euro/Stk. entstehen.
Wenn alles in wahren Aussagen endet, hat man nachgewiesen, daß die gegebene Kostenfunktion zum Sachverhalt passen könnte.
Gruß,
Tommy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Di 15.05.2007 | | Autor: | drehspin |
Wie bilde ich denn die lineare Funktion aus den Punkten: (0/50000) und (50/757500) ?
Dsas wäre doch: m*x+500000
Doch was ist m?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Di 15.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du hast die beiden Punkte [mm] P_{1}=(\underbrace{0}_{x_{1}}/\underbrace{50.000}_{y_{1}}) [/mm] und
[mm] P_{2}=(\underbrace{50}_{x_{2}}/\underbrace{757.500}_{y_{2}})
[/mm]
Und willst eine lineare Funktion f(x)=mx+b bekommen.
Jetzt bestimmst du m mit:
[mm] m=\bruch{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}
[/mm]
Und theoretisch könntest du erst dann das b bestimmen, indem du einen der gegebenen Punkte einsetzt. Hier hast du Glück, weil der Punkt (0/f(0)) gegeben ist.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Di 15.05.2007 | | Autor: | drehspin |
> Bei b) ..... Weiterhin würde ich die
> Grenzkostenfunktion (erste Ableitung der Kostenfunktion)
> bilden, dort die Ausbringungsmenge von 100 einsetzen und
> prüfen, ob die gegebenen Kosten von 3.000 Euro/Stk.
> entstehen.
Der Teil ist mir noch unklar. Was meinst du mit Ausbringungsmenge und was bringt mir hier die Ableitung?
Also ich habe sie gebildet und es stimmt, dass 3000 herauskommt. aber woher weiß ich, dass dies immer so weitergeht, also bei 106 Motoren der Kostenzuwachs 18000 beträgt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Di 15.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es ist nirgends gefragt, ob die funktion linear weitergeht, Das tut sie auch sicher nicht!
Du bist auch nicht nach der linearen Funktion zwischen 50 und 100 gefragt.
Die einzige Frage ist , ob die angegebene Funktion alle Bedingungen, die man weiss erfüllt.
Dazu müssen 1. die 3 gegebenen Punkte die Gleichung erfüllen und 2. die Steigung (also Ableitung) bei 100 (und nur dort!) 3000 sein.
mehr ist in b nicht gefragt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Di 15.05.2007 | | Autor: | drehspin |
Aber weshalb muss die steigung bei 100 = 3000 sein? In der Aufgabe steht doch, dass der Kostenzuwachs pro zusätzlich produziertem Motor 3000/ Stück beträgt!
dANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Di 15.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Änderung pro Stück ist praktisch die Steigung bzw. die Ableitung.
Bei Preis und Stückzahlen ist es nicht ganz natürlich eine Funktion K(x) anzugeben, die mathematisch für jedes x Sinn macht also auch etwa für [mm] x=\wurzel{2}, [/mm] aber praktisch natürlich keine kontinuierliche Funktion ist, sondern nur an den ganzzahligen Stellen x=0,1,.....100,101... usw. einen Sinninhalt hat, denn niemand produziert [mm] \wurzel{2} [/mm] Maschinen!
Deshalb macht genau genommen auch die Ableitung, in der ja ein GW Deltax gegen 0 steckt keinen ecten Sinn.
trotzdem benutzt man die Ableitung um die Änderung pro Stück anzugeben:
mathematisch [mm] f'(x0)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h}
[/mm]
praktisch für kleine h :
[mm] f'(x0)=\bruch{f(x0+h)-f(x0}{h} [/mm] bei dir ist x0=100,h=1
natürlich kannst du auch einfach statt f'(100) auszurechnen f(101)-f(100) rechnen, und durch 1 Stück dividieren, das ist beinahe dasselbe, ist aber meist ne längere Rechnung.
Gruss leduart
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