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| Aufgabe | First-oder autonomus initial value problem:
[mm] $$\dot x=f(x),\quad x(0)=x_0,$$
[/mm]
where $f$ is such that the solutions are unique (e.g. [mm] $f\in C^1$).
[/mm]
(i) If [mm] $f(x_0)=0$ [/mm] then [mm] $x(t)=x_0$ [/mm] for all $t$.
(ii) If [mm] $f(x_0)\neq [/mm] 0$, then $x(t)$ converges to the first zero left [mm] ($f(x_0)<0$) [/mm] respectively right [mm] ($f(x_0)>0$) [/mm] of [mm] $x_0$. [/mm] If there ist no such zero the solution converges to [mm] $-\infty$, [/mm] respectively [mm] $\infty$. [/mm] |
Guten Abend zusammen,
ich muss für eine Präsentation die oben stehenden Aussagen beweisen und bin mir bei (ii) etwas unsicher.
(i) Ist klar. Hier ist ja die Aussage einfach, dass die Ruhelage einer autonomen gew. DGL 1. Ord. schon durch die Nullstellen von $f$ gegeben ist. Dies gilt, da für [mm] $f(x_0)=0$ [/mm] offensichtlich [mm] $x\equiv x_0$ [/mm] (eindeutige) Lösung des AWPs ist.
Bei (ii) habe ich mir folgendes gedacht:
Sei also [mm] $x_0$ [/mm] mit [mm] $f(x_0)<0$ [/mm] und existiere eine Nullstelle [mm] $x^\ast$ [/mm] von $f$ links neben [mm] $x_0$, [/mm] dann gilt natürlich $dx/dt=f(x)<0$ für [mm] $x\in (x^\ast,x_0)$, [/mm] d.h. $x$ fällt streng monoton in diesem Intervall. Damit finden wir ein [mm] $t^\ast$ [/mm] so groß, dass für [mm] $X(t):=x(t)-x^\ast$ [/mm] gilt: [mm] $|n(t)|\ll [/mm] 1$ für [mm] $t>t^\ast$ [/mm] und damit können wir linearisieren (+Taylor) und erhalten
[mm] $$dX(t)/dt\approx X(t)f'(x^\ast)\quad $\Rightarrow X(t)\propto \exp(f'(x^\ast)t)$$
[/mm]
Nun ist es klar, falls $f$ bei [mm] $x^\ast$ [/mm] einen Vorzeichenwechsel hat, damit hier also von - nach + und damit [mm] $f'(x^\ast)<0$, [/mm] womit [mm] $X(t)\to [/mm] 0$ und damit [mm] $x(t)\to x^\ast$ [/mm] für [mm] $t\to \infty$ [/mm] gilt.
Wenn aber nun aber $f$ die $x$-Achse an der Stelle [mm] $x^\ast$ [/mm] nur berührt? Dann funktioniert das oben ja nicht?
Würde mich sehr über Hilfe freuen
Liebe Grüße
DudiPupan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:04 Di 21.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> First-oder autonomus initial value problem:
> [mm]\dot x=f(x),\quad x(0)=x_0,[/mm]
> where [mm]f[/mm] is such that the
> solutions are unique (e.g. [mm]f\in C^1[/mm]).
> (i) If [mm]f(x_0)=0[/mm] then
> [mm]x(t)=x_0[/mm] for all [mm]t[/mm].
> (ii) If [mm]f(x_0)\neq 0[/mm], then [mm]x(t)[/mm] converges to the first
> zero left ([mm]f(x_0)<0[/mm]) respectively right ([mm]f(x_0)>0[/mm]) of [mm]x_0[/mm].
> If there ist no such zero the solution converges to
> [mm]-\infty[/mm], respectively [mm]\infty[/mm].
>
> Guten Abend zusammen,
>
> ich muss für eine Präsentation die oben stehenden
> Aussagen beweisen und bin mir bei (ii) etwas unsicher.
>
> (i) Ist klar. Hier ist ja die Aussage einfach, dass die
> Ruhelage einer autonomen gew. DGL 1. Ord. schon durch die
> Nullstellen von [mm]f[/mm] gegeben ist. Dies gilt, da für [mm]f(x_0)=0[/mm]
> offensichtlich [mm]x\equiv x_0[/mm] (eindeutige) Lösung des AWPs
> ist.
>
> Bei (ii) habe ich mir folgendes gedacht:
> Sei also [mm]x_0[/mm] mit [mm]f(x_0)<0[/mm] und existiere eine Nullstelle
> [mm]x^\ast[/mm] von [mm]f[/mm] links neben [mm]x_0[/mm], dann gilt natürlich
> [mm]dx/dt=f(x)<0[/mm] für [mm]x\in (x^\ast,x_0)[/mm], d.h. [mm]x[/mm] fällt streng
> monoton in diesem Intervall.
O.K.
> Damit finden wir ein [mm]t^\ast[/mm] so
> groß, dass für [mm]X(t):=x(t)-x^\ast[/mm] gilt: [mm]|n(t)|\ll 1[/mm]
Was ist n(t) ??????
> für
> [mm]t>t^\ast[/mm] und damit können wir linearisieren (+Taylor) und
> erhalten
> [mm]dX(t)/dt\approx X(t)f'(x^\ast)\quad $\Rightarrow X(t)\propto \exp(f'(x^\ast)t)[/mm]
Was bedeutet [mm] X(t)\propto \exp(f'(x^\ast)t) [/mm] ????
FRED
>
> Nun ist es klar, falls [mm]f[/mm] bei [mm]x^\ast[/mm] einen Vorzeichenwechsel
> hat, damit hier also von - nach + und damit [mm]f'(x^\ast)<0[/mm],
> womit [mm]X(t)\to 0[/mm] und damit [mm]x(t)\to x^\ast[/mm] für [mm]t\to \infty[/mm]
> gilt.
>
> Wenn aber nun aber [mm]f[/mm] die [mm]x[/mm]-Achse an der Stelle [mm]x^\ast[/mm] nur
> berührt? Dann funktioniert das oben ja nicht?
>
> Würde mich sehr über Hilfe freuen
>
> Liebe Grüße
> DudiPupan
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Halo Fred,
> > First-oder autonomus initial value problem:
> > [mm]\dot x=f(x),\quad x(0)=x_0,[/mm]
> > where [mm]f[/mm] is such that
> the
> > solutions are unique (e.g. [mm]f\in C^1[/mm]).
> > (i) If [mm]f(x_0)=0[/mm]
> then
> > [mm]x(t)=x_0[/mm] for all [mm]t[/mm].
> > (ii) If [mm]f(x_0)\neq 0[/mm], then [mm]x(t)[/mm] converges to the first
> > zero left ([mm]f(x_0)<0[/mm]) respectively right ([mm]f(x_0)>0[/mm]) of [mm]x_0[/mm].
> > If there ist no such zero the solution converges to
> > [mm]-\infty[/mm], respectively [mm]\infty[/mm].
> >
> > Guten Abend zusammen,
> >
> > ich muss für eine Präsentation die oben stehenden
> > Aussagen beweisen und bin mir bei (ii) etwas unsicher.
> >
> > (i) Ist klar. Hier ist ja die Aussage einfach, dass die
> > Ruhelage einer autonomen gew. DGL 1. Ord. schon durch die
> > Nullstellen von [mm]f[/mm] gegeben ist. Dies gilt, da für [mm]f(x_0)=0[/mm]
> > offensichtlich [mm]x\equiv x_0[/mm] (eindeutige) Lösung des AWPs
> > ist.
> >
> > Bei (ii) habe ich mir folgendes gedacht:
> > Sei also [mm]x_0[/mm] mit [mm]f(x_0)<0[/mm] und existiere eine Nullstelle
> > [mm]x^\ast[/mm] von [mm]f[/mm] links neben [mm]x_0[/mm], dann gilt natürlich
> > [mm]dx/dt=f(x)<0[/mm] für [mm]x\in (x^\ast,x_0)[/mm], d.h. [mm]x[/mm] fällt streng
> > monoton in diesem Intervall.
>
> O.K.
>
> > Damit finden wir ein [mm]t^\ast[/mm] so
> > groß, dass für [mm]X(t):=x(t)-x^\ast[/mm] gilt: [mm]|n(t)|\ll 1[/mm]
>
> Was ist n(t) ??????
Oh, das ist ein Tippfehler. Sollte natürlich [mm] $|X(t)|\ll [/mm] 1$ heißen.
>
>
> > für
> > [mm]t>t^\ast[/mm] und damit können wir linearisieren (+Taylor) und
> > erhalten
> > [mm]dX(t)/dt\approx X(t)f'(x^\ast)\quad $\Rightarrow X(t)\propto \exp(f'(x^\ast)t)[/mm]
>
>
> Was bedeutet [mm]X(t)\propto \exp(f'(x^\ast)t)[/mm] ????
Das soll heißen, dass sich $X(t)$ propotrional zu $ [mm] \exp(f'(x^\ast)t)$ [/mm] verhält.
>
>
> FRED
> >
> > Nun ist es klar, falls [mm]f[/mm] bei [mm]x^\ast[/mm] einen Vorzeichenwechsel
> > hat, damit hier also von - nach + und damit [mm]f'(x^\ast)<0[/mm],
> > womit [mm]X(t)\to 0[/mm] und damit [mm]x(t)\to x^\ast[/mm] für [mm]t\to \infty[/mm]
> > gilt.
> >
> > Wenn aber nun aber [mm]f[/mm] die [mm]x[/mm]-Achse an der Stelle [mm]x^\ast[/mm] nur
> > berührt? Dann funktioniert das oben ja nicht?
> >
> > Würde mich sehr über Hilfe freuen
> >
> > Liebe Grüße
> > DudiPupan
>
Und vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Liebe Grüße
Dudi
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> > > Bei (ii) habe ich mir folgendes gedacht:
> > > Sei also [mm]x_0[/mm] mit [mm]f(x_0)<0[/mm] und existiere eine
> Nullstelle
> > > [mm]x^\ast[/mm] von [mm]f[/mm] links neben [mm]x_0[/mm], dann gilt natürlich
> > > [mm]dx/dt=f(x)<0[/mm] für [mm]x\in (x^\ast,x_0)[/mm], d.h. [mm]x[/mm] fällt streng
> > > monoton in diesem Intervall.
Oder ist es hier vielleicht besser mit Monotonie und Beschränktheit zu argumentieren?
Denn gäbe es hier einen Zeitpunkt [mm] $t^\ast$ [/mm] mit [mm] $x(t^\ast)=x^\ast$, [/mm] dann wäre [mm] $\bar{x}(t):=x(t+t^\ast)$ [/mm] die Lösung der DGL [mm] $\frac{d\bar{x}}{dt}(t)=\frac{dx}{dt}(t+t^\ast)=f(x(t+t^\ast))=f(\bar{x}(t))$ [/mm] und damit müsste nach (i) gelten [mm] $\bar{x}(t)= x^\ast$ [/mm] für alle t und damit auch [mm] $x\equiv x^\ast$. [/mm] Dies ist nun aber ein Widerspruch zu [mm] $f(x_0)\neq [/mm] 0$, da dann [mm] $f(x_0)=f( x^\ast)=0. [/mm]
Damit gilt [mm] $x(t)>x^\ast$ [/mm] und da $x$ für [mm] $x^\ast
Ich denke dieser Ansatz wird sinnvoller sein, als der erste den ich hatte mit der Linearisierung.
Würde mich sehr über ein Feedback freuen
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 22.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 22.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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