Gew. Dgl. 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 So 22.11.2009 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung
Gegeben ist die Differentialgleichung
xy' = [mm] 3x^2 [/mm] * [mm] y^2 [/mm] − 2y.
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe der Substitution
z (x) = [mm] x^2 [/mm] * y (x) . |
Hallo,
ich hab grad versucht z(x) irgendwie umzuformen und sinnvoll zu substituiren, finde aber nichts...
und welche methode soll och hier anwenden, eigentlich sind wir gerade bei treenung der variablen, aber wie geht das, wenn da eine summe steht?
danke für eure hilfe!
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Hallo cracker,
> Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung
> Gegeben ist die Differentialgleichung
>
> xy' = [mm]3x^2[/mm] * [mm]y^2[/mm] − 2y.
>
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung mit Hilfe der Substitution
>
> z (x) = [mm]x^2[/mm] * y (x) .
> Hallo,
>
> ich hab grad versucht z(x) irgendwie umzuformen und
> sinnvoll zu substituiren, finde aber nichts...
> und welche methode soll och hier anwenden, eigentlich sind
> wir gerade bei treenung der variablen, aber wie geht das,
> wenn da eine summe steht?
> danke für eure hilfe!
Ich verstehe dein Problem nicht so ganz. Die Substitution ist doch angegeben! (Und das musst du realisiert haben, denn du hast die Aufgabe ja hierher geschrieben).
Also, um die Aufgabe zu lösen, sollst du substituieren: $z = [mm] x^{2}*y$
[/mm]
Nun musst du erstmal alle y in der DGL durch z ersetzen (natürlich nur in obiger Form: $z = [mm] x^{2}*y \gdw [/mm] y = [mm] \frac{z}{x^{2}}$.
[/mm]
Beginne damit, y' auszurechnen:
$y' = [mm] \left(\frac{z}{x^{2}}\right)' [/mm] = ...$
Bedenke, dass z eine Funktion in Abhängigkeit von x ist, also ist die Ableitung von z erstmal nur z'.
Zusammen mit diesem Ergebnis kannst du dann alle y und y' in deiner DGL durch Terme mit z ersetzen, und du wirst sehen, es kommt genau so eine DGL raus, wie du sie gern haben möchtest.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 So 22.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du deine Dgl erst mit x multiplizierst, siehst du besser, was die Substitution bringt!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 So 22.11.2009 | | Autor: | Dath |
Eine kleine historische Anmerkung: Das ist eine Riccati-Differentialgleichung. Vgl. dazu auch den Wikipedia-Artikel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 So 22.11.2009 | | Autor: | cracker |
hm..ich komme jetzt auf die dgl. mit substitution:
z'(x) = 3x * [mm] z^2(x)
[/mm]
ist das richtig?
mein endergebnis für z ist: z = [mm] \wurzel[3]{2/9x^2}.
[/mm]
danke für die schnellen antworten!!
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Hallo cracker,
> hm..ich komme jetzt auf die dgl. mit substitution:
>
> z'(x) = 3x * [mm]z^2(x)[/mm]
Ich komme auf $z'(x) = [mm] \frac{3*z^{2}}{x}$.
[/mm]
> mein endergebnis für z ist: z = [mm]\wurzel[3]{2/9x^2}.[/mm]
Das ist demzufolge leider falsch. Prüfe nochmal deine Rechnung, wie du auf die obige DGL gekommen bist.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 So 22.11.2009 | | Autor: | cracker |
hab ein [mm] x^2 [/mm] übersehen...
komme jetzt auf:
z = [mm] \wurzel[3]{-1/9x}
[/mm]
ist aber denke ich auch nicht richtig wegen dem - unter der wurzel:(
wie sieht denn die lösung aus?
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Hallo!
> hab ein [mm]x^2[/mm] übersehen...
> komme jetzt auf:
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> z = [mm]\wurzel[3]{-1/9x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> ist aber denke ich auch nicht richtig wegen dem - unter der
> wurzel:(
Ja, das ist leider auch falsch. Ich weiß nicht genau, aber du musst schon am Anfang deiner Berechnung etwas falsch machen, denn es müsste eigentlich die Exponentialfunktion bei dir auftauchen. Ich mach' dir mal die ersten zwei Schritte:
$z'(x) = \frac{3*z^{2}}{x}}$
$\Rightarrow \frac{dz}{dx} = \frac{3*z^{2}}{x}}$
$\Rightarrow \frac{1}{3*z^{2}}\ dz = \frac{1}{x}\ dx$
$\Rightarrow \int\frac{1}{3*z^{2}}\ dz = \int\frac{1}{x}\ dx$
Nun bist du wieder dran... Vergiss die Integrationskonstante nicht, die du nach dem Integrieren auf einer der beiden Seiten dazuaddieren solltest! Sonst erhältst du nur eine spezielle Lösung der DGL, meistens sind aber alle gesucht!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 So 22.11.2009 | | Autor: | cracker |
irgendwie steh ich auf dem schlauch...
wenn ich das integriere dann bekomme ich doch
[mm] \bruch{- z^{-3}}{3} [/mm] = ln x + C
und wenn ich darauf die e-funkt. anwende :
[mm] 3e^z [/mm] = [mm] e^{-1/3} [/mm] + 1/x
was mache ich damit?
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Hallo cracker,
> wenn ich das integriere dann bekomme ich doch
>
> [mm]\bruch{- z^{-3}}{3}[/mm] = ln x + C
Bitte wende noch mit ein wenig mehr Hingabe den Formeleditor an. Im Übrigen hast du auf der linken Seite abgeleitet, nicht integriert.
Auf ein Neues 
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 So 22.11.2009 | | Autor: | cracker |
die stammfunktion von [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] ist doch ln x???
sorrx, hatte vorhin die klammern verwechselt...
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Hallo,
> die stammfunktion von [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
> ist doch ln x???
Ja, das ist richtig, aber die Stammfunktion von [mm] \frac{1}{z^{2}} [/mm] hat nichts mit [mm] \frac{1}{z^{3}} [/mm] zu tun, wie du oben behauptest. Es ist
[mm] $\int{}\frac{1}{3*z^{2}}\ [/mm] dx = [mm] \frac{-1}{3*z}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 So 22.11.2009 | | Autor: | cracker |
oh:) sorry..linke seite, ja:)
also ist z= -3ln x
damit ist y
y(x) = C * [mm] \bruch{-3ln x}{x^2}
[/mm]
und das ist meine lösung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 So 22.11.2009 | | Autor: | cracker |
ähm, stimmt auch nicht:(
[mm] z^{-1} [/mm] = -3 * ln x
darauf die e-fnkt. angewandt ergibt:
[mm] -e^z [/mm] = [mm] x^{-3}
[/mm]
mit z= [mm] x^2*y
[/mm]
[mm] -e^{x^2*y} [/mm] = [mm] x^{-3 }
[/mm]
darauf wieder der ln angewandt wäre:
[mm] -x^2*y [/mm] = -3 ln x
also y = [mm] \bruch{3ln x}{x^2}
[/mm]
aber wie ist das mit der e-funktion, die brauche ich doch normalerweise in der lösung, oder?
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Hallo cracker,
> ähm, stimmt auch nicht:(
>
> [mm]z^{-1}[/mm] = -3 * ln x
> darauf die e-fnkt. angewandt ergibt:
Okay, das dürfte jetzt richtig sein. Rechts gehört wieder eine Integrationskonstante dazu:
[mm] $\frac{1}{z} [/mm] = [mm] -3*\ln(x) [/mm] + C$
Bedenke, wir wollen nach z auflösen, schließlich ist z zunächst unsere Funktion. Wir erhalten:
$z = [mm] \frac{1}{C-3*\ln(x)}$
[/mm]
Und nun Rücksubstitution:
$y = [mm] \frac{z}{x^{2}} [/mm] = [mm] \frac{1}{x^{2}*(C-3*\ln(x))}$
[/mm]
Zugegebenermaßen, ich habe schon schönere Funktionen gesehen. Aber das ist nun das Endergebnis.
Grüße,
Stefan
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