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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:33 Do 10.12.2009 | | Autor: | nikinho |
| Aufgabe | Seien { [mm] X_{i} [/mm] }i=1,2,... reelle Zufallsvariablen mit E(Xi)=a, Var(Xi) = [mm] \delta_{i}² [/mm] , Cov(Xi,Xj)=0 für i,j [mm] \in \IN [/mm] , |i-j|>m und [mm] \delta_{i}² \le \alpha*i^{\beta} [/mm] für i [mm] \in \IN [/mm] , wobei m [mm] \in \IN, \alpha [/mm] >0 und [mm] \beta [/mm] <1 feste Konstanten sind. Zeigen Sie dass [mm] {X_{i}} [/mm] dem Gesetz der großen Zahlen genügt, d.h.
1/n * [mm] \summe_{i=1}^{n} (X_{i}-a) \to [/mm] 0 für n [mm] \to \inf [/mm] (stochastische Konvergenz) |
Hallo, wieder eine Übungsaufgabe.
Habe damit angefangen mal die Unterschiede zu den Vorraussetzungen zu unserem Satz herauszuschreiben:
In der Aufgabe haben die Zufallsvariablen nicht alle dieselbe Varianz und die Zufallsvariablen sind auch nicht paarweise unkorreliert, sondern nur wenn [mm] X_{i} [/mm] und [mm] X_{j} [/mm] genügend weit, nämlich mindestens m voneinander entfernt sind.
Wenn man die Varianzen anschaut sieht man, dass die obere Schranke wächst. Gut soweit meine Vorüberlegungen... beziehungsweise mein Versuch die ganzen Vorraussetzungen zu verstehen. Aber wie fang ich an das jetzt zu zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Bibijana |
Ich finde ebenfalls keinen Ansatz zu dieser Aufgabe. Wir haben als Tipp noch bekommen dass man die Tschebychev-Ungleichung verwenden soll, dann Fallunterscheidung für [mm] \beta [/mm] und die Kovarianz abschätzen. Hilft mir aber auch alles nicht weiter
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Meine bisherige Überlegung
Ich will [mm] zeigen:\limes_{n\rightarrow\infty}P(|1/n\summe_{i=1}^{n}(X_{i}-a)|\ge\varepsilon)=0
[/mm]
[mm] Betr:P(|1/n\summe_{i=1}^{n}(X_{i}-a)|\ge\varepsilon)=P(|1/n\summe_{i=1}^{n}X_{i}-a|\ge\varepsilon)\le1/\varepsilon^{2}Var(1/n\summe_{i=1}^{n}X_{i})
[/mm]
[mm] =1/\varepsilon^{2}(1/n^{2}Var(\summe_{i=1}^{n}X_{i}))=1/\varepsilon^{2}*1/n^{2}(\summe_{i=1}^{n}Var(X_{i})+2\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=i+1}^{n}Cov(X_{i},X_{j}))
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{j=i+1}^{n}Cov(X_{i},X_{j}))=\summe_{i=1}^{n-1}Cov(X_{i},X_{i+1})+...+\summe_{i=1}^{n-m}Cov(X_{i},X_{i+m}),weil Cov(X_{i},X_{j})=0 [/mm] für |i-j|>m
[mm] \le\summe_{i=1}^{n-1}\wurzel{Var(X_{i})}\wurzel{Var(X_{i+1})}+...+\summe_{i=1}^{n-m}\wurzel{Var(X_{i})}\wurzel{Var(X_{i+m})}=...
[/mm]
[mm] \le\alpha^{2}\summe_{i=1}^{n-1}i^{\beta}(i+1)^{\beta}+...+\alpha^{2}\summe_{i=1}^{n-m}i^{\beta}(i+m)^{\beta}
[/mm]
Ich weiß nicht an welcher Stelle man für [mm] \beta [/mm] eine Fallunterscheidung machen muß (hatten wir als Tipp) und wie ich das jetzt weiter gegen eine obere Schranke abschätze.
Brauche doch im Prinzip sowas wie [mm] \le [/mm] n*M, damit am Ende der Grenzwert der gesamten Gleichung gegen 0 geht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 So 13.12.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
steht da $ [mm] \delta_{i}² \le \alpha\cdot{}i^{\beta} [/mm] $ oder vielmehr $ [mm] \delta_{i}² \le \alpha\cdot{}{\beta}^i [/mm] $ ?
vg Luis
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> Moin,
>
> steht da [mm]\delta_{i}² \le \alpha\cdot{}i^{\beta}[/mm] oder
> vielmehr [mm]\delta_{i}² \le \alpha\cdot{}{\beta}^i[/mm] ?
>
> vg Luis
Nach Aufgabenstellung gilt die Abschätzung Var [mm] (X_{i})\le\alpha i^{\beta}, [/mm] für i aus [mm] \IN, \alpha>0, \beta<1. [/mm] Wir sollen eine Fallunterscheidung für [mm] \beta<0 [/mm] und [mm] \beta [/mm] aus dem Intervall von 0 bis 1 machen.??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 15.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Di 15.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 14.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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