Geschlossene Formel < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Mo 25.06.2007 | | Autor: | mariluz |
| Aufgabe | Sei [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] die Folge reeller Zahlen, die rekursiv definiert ist durch:
[mm] x_{1}:=1, x_{2}:=1, x_{n+2}:=x_{n+1}+x_{n} \forall n\in\IN [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt:
Wie kann ich finden eine geschlossene Formel für [mm] x_{n} [/mm] von der Form
[mm] x_{n}=a(\lambda_{1})^n+b(\lambda_{2})^n
[/mm]
Sollen nicht die [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] die Eigenwerte sein, wobei [mm] \lambda_{1}=[1+(5)^1/2]/2 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=[1-(5)^1/2]/2?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Mo 25.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Mariluz!
> Sei [mm](x_{n})_{n\in\IN}[/mm] die Folge reeller Zahlen, die
> rekursiv definiert ist durch:
> [mm]x_{1}:=1, x_{2}:=1, x_{n+2}:=x_{n+1}+x_{n} \forall n\in\IN[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> Wie kann ich finden eine geschlossene Formel für [mm]x_{n}[/mm] von
> der Form
>
> [mm]x_{n}=a(\lambda_{1})^n+b(\lambda_{2})^n[/mm]
Schreib doch mal eine Formel [mm] $(x_{n+1}, x_n)^t [/mm] = A [mm] (x_n, x_{n-1})^t$ [/mm] auf mit einer $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix $A$.
> Sollen nicht die [mm]\lambda_{1}[/mm] und [mm]\lambda_{2}[/mm] die Eigenwerte
> sein,
Es sind die Eigenwerte der Matrix $A$.
> wobei [mm]\lambda_{1}=[1+(5)^1/2]/2[/mm] und
> [mm]\lambda_{2}=[1-(5)^1/2]/2?[/mm]
Das kann wohl sein. Stell doch erstmal die Matrix $A$ auf. Du kannst jetzt [mm] $(x_{n+1}, x_n)^t [/mm] = A [mm] (x_n, x_{n-1})^t [/mm] = [mm] A^2 (x_{n-1}, x_{n-2}) [/mm] = [mm] \dots$ [/mm] schreiben. Druecke hiermit mal [mm] $(x_{n+1}, x_n)$ [/mm] durch $A$ und [mm] $(x_1, x_2)$ [/mm] aus.
Als naechstes diagonalisierst du die Matrix und berechnest insbesondere die Transformationsmatrix und deren Invereses. Kannst du damit die eben erhaltende Gleichung vereinfachen? Oder sogar eine explizite Formel fuer [mm] $x_n$ [/mm] herleiten?
Wenn du nicht weiterkommst, schreib erstmal hier hin was du gemacht/herausgefunden hast.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Di 26.06.2007 | | Autor: | mariluz |
vielen vielen Dank!!!
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