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| Aufgabe | Man verwende Gerschgorin Kreisscheiben um die Lage der Eigenwerte der folgenden Matrizen anzugeben.
A = [mm] \pmat{ 3 & -\bruch{1}{2} & -\bruch{1}{3}& 0 \\ 0 & 6 & 1 & 0 \\ \bruch{1}{3} & -\bruch{1}{3} & 5 & \bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{2} & \bruch{1}{4} & -\bruch{1}{4} & 4} [/mm] |
[mm] r_{1} [/mm] = [mm] \bruch{5}{6} [/mm] = 0,833
[mm] r_{2} [/mm] = 1
[mm] r_{3} [/mm] = 1
[mm] r_{4} [/mm] = 1
[mm] c_{1} [/mm] = [mm] \bruch{5}{6} [/mm] = 0,833
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{13}{12} [/mm] = 1,0833
[mm] c_{3} [/mm] = [mm] \bruch{19}{12} [/mm] = 1,5833
[mm] c_{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = 0,3333
[mm] R_{1} [/mm] = [mm] \{z\in\IC ||z-3| \le 0,833 \}
[/mm]
[mm] R_{2} [/mm] = [mm] \{z\in\IC ||z-6| \le 1 \}
[/mm]
[mm] R_{3} [/mm] = [mm] \{z\in\IC ||z-5| \le 1 \}
[/mm]
[mm] R_{4} [/mm] = [mm] \{z\in\IC ||z-4| \le 1 \}
[/mm]
[mm] C_{1} [/mm] = [mm] \{z\in\IC ||z-3| \le 0,833 \}
[/mm]
[mm] C_{2} [/mm] = [mm] \{z\in\IC ||z-6| \le 1,0833 \}
[/mm]
[mm] C_{3} [/mm] = [mm] \{z\in\IC ||z-5| \le 1,5833 \}
[/mm]
[mm] C_{4} [/mm] = [mm] \{z\in\IC ||z-4| \le 0,3333 \}
[/mm]
Die Kreise R 1-4 sind nicht voneinander disjunkt daher [mm] R_{1} \cup R_{2} \cup R_{3} \cup R_{4} [/mm] Hier liegen 4 Eigenwerte Weil alle kreise liegen au der linie und überschneiden sich. Keiner is disjunkt von der Vereinigung der anderen.
Die Kreise c 1-4 sind nicht voneinander disjunkt daher [mm] C_{1} \cup C_{2} \cup C_{3} \cup C_{4} [/mm] Hier liegen 4 Eigenwerte Weil alle kreise liegen au der linie und überschneiden sich. Keiner is disjunkt von der Vereinigung der anderen.
so jetzt noch die frage ^^ Darf ich das so machen? stimmt das so oder hab ich da was falsch gemacht?
mfg
bonzai
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Hallo bonzai0710,
> Man verwende Gerschgorin Kreisscheiben um die Lage der
> Eigenwerte der folgenden Matrizen anzugeben.
> A = [mm]\pmat{ 3 & -\bruch{1}{2} & -\bruch{1}{3}& 0 \\ 0 & 6 & 1 & 0 \\ \bruch{1}{3} & -\bruch{1}{3} & 5 & \bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{2} & \bruch{1}{4} & -\bruch{1}{4} & 4}[/mm]
>
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> [mm]r_{1}[/mm] = [mm]\bruch{5}{6}[/mm] = 0,833
> [mm]r_{2}[/mm] = 1
> [mm]r_{3}[/mm] = 1
> [mm]r_{4}[/mm] = 1
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> [mm]c_{1}[/mm] = [mm]\bruch{5}{6}[/mm] = 0,833
> [mm]c_{2}[/mm] = [mm]\bruch{13}{12}[/mm] = 1,0833
> [mm]c_{3}[/mm] = [mm]\bruch{19}{12}[/mm] = 1,5833
> [mm]c_{4}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = 0,3333
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> [mm]R_{1}[/mm] = [mm]\{z\in\IC ||z-3| \le 0,833 \}[/mm]
> [mm]R_{2}[/mm] = [mm]\{z\in\IC ||z-6| \le 1 \}[/mm]
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> [mm]R_{3}[/mm] = [mm]\{z\in\IC ||z-5| \le 1 \}[/mm]
> [mm]R_{4}[/mm] = [mm]\{z\in\IC ||z-4| \le 1 \}[/mm]
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> [mm]C_{1}[/mm] = [mm]\{z\in\IC ||z-3| \le 0,833 \}[/mm]
> [mm]C_{2}[/mm] = [mm]\{z\in\IC ||z-6| \le 1,0833 \}[/mm]
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> [mm]C_{3}[/mm] = [mm]\{z\in\IC ||z-5| \le 1,5833 \}[/mm]
> [mm]C_{4}[/mm] = [mm]\{z\in\IC ||z-4| \le 0,3333 \}[/mm]
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> Die Kreise R 1-4 sind nicht voneinander disjunkt daher
> [mm]R_{1} \cup R_{2} \cup R_{3} \cup R_{4}[/mm] Hier liegen 4
> Eigenwerte Weil alle kreise liegen au der linie und
> überschneiden sich. Keiner is disjunkt von der Vereinigung
> der anderen.
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> Die Kreise c 1-4 sind nicht voneinander disjunkt daher
> [mm]C_{1} \cup C_{2} \cup C_{3} \cup C_{4}[/mm] Hier liegen 4
> Eigenwerte Weil alle kreise liegen au der linie und
> überschneiden sich. Keiner is disjunkt von der Vereinigung
> der anderen.
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> so jetzt noch die frage ^^ Darf ich das so machen? stimmt
> das so oder hab ich da was falsch gemacht?
>
Es ist doch so, daß alle Eigenwerte einer Matrix A
in der Vereinigung der Gerschgorin-Kreise liegen.
Die Aufgabe ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> mfg
> bonzai
>
Gruss
MathePower
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