Gerschgorin-Kreise < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Di 01.09.2009 | | Autor: | tynia |
Hallo. Ich versuche gerade zu verstehen, wie das mit den Gerschgorin-Kreisen funktioniert, jedoch ohne erfolg. Ich hbae mir auch den Artikel dazu bei Wikipedia durchgelesen, versteh aber nicht, wie man auf die Werte kommt. Vielleicht kann mir das hier jemand an einem Beispiel erklären?
Das wäre echt sehr nett. Ich danke schonmal im Voraus.
Ich poste einfach mal die Matrix von Wikipedia.
A= [mm] \begin{pmatrix}2 & 1 & 0.5\\0.2 & 5 & 0.7\\1 & 0 & 6\end{pmatrix}
[/mm]
Wie man auf die Gerschgorin-Kreise kommt, weiß ich, aber nicht wie man jetzt herausfindet, in welchem Kreis sich die Eigenwerte befinden.
Die Kreise sind ja:
für das Diagonalelement [mm] a_{11}: [/mm] S(1,1.2) und S(2,1.5)
für das Diagonalelement [mm] a_{22}: [/mm] S(5,1) und S(5,0.9)
für das Diagonalelement [mm] a_{33}: [/mm] S(6,1.2) und S(6,1)
Wie mache ich das jetzt mit den Mengendurchschnitten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Di 01.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo. Ich versuche gerade zu verstehen, wie das mit den
> Gerschgorin-Kreisen funktioniert, jedoch ohne erfolg. Ich
> hbae mir auch den Artikel dazu bei Wikipedia durchgelesen,
> versteh aber nicht, wie man auf die Werte kommt. Vielleicht
> kann mir das hier jemand an einem Beispiel erklären?
Du meinst sicher ![[]](/images/popup.gif) diesen Artikel hier.
> Das wäre echt sehr nett. Ich danke schonmal im Voraus.
>
> Ich poste einfach mal die Matrix von Wikipedia.
>
> A= [mm]\begin{pmatrix}2 & 1 & 0.5\\0.2 & 5 & 0.7\\1 & 0 & 6\end{pmatrix}[/mm]
>
> Wie man auf die Gerschgorin-Kreise kommt, weiß ich, aber
> nicht wie man jetzt herausfindet, in welchem Kreis sich die
> Eigenwerte befinden.
>
> Die Kreise sind ja:
>
> für das Diagonalelement [mm]a_{11}:[/mm] S(1,1.2) und S(2,1.5)
> für das Diagonalelement [mm]a_{22}:[/mm] S(5,1) und S(5,0.9)
> für das Diagonalelement [mm]a_{33}:[/mm] S(6,1.2) und S(6,1)
>
> Wie mache ich das jetzt mit den Mengendurchschnitten?
Am besten zeichnest du die Kreise erstmal auf bzw. skizzierst sie. Siehe das Bild hier. Dann siehst du sofort, welche sich enthalten und welche nicht.
Um zu schauen, ob sich zwei Kreise [mm] $S(a_1, r_1)$ [/mm] und [mm] $S(a_2, r_2)$ [/mm] schneiden oder nicht, musst du [mm] $|a_1 [/mm] - [mm] a_2|$ [/mm] mit [mm] $r_1 [/mm] + [mm] r_2$ [/mm] vergleichen. Gilt [mm] $|a_1 [/mm] - [mm] a_2| [/mm] > [mm] r_1 [/mm] + [mm] r_2$, [/mm] so schneiden sie sich nicht. Andernfalls schneiden sie sich.
Damit siehst du $S(1, 1.2) [mm] \cap [/mm] S(5, 1) = [mm] \emptyset [/mm] = S(1, 1.2) [mm] \cap [/mm] S(6, 1.2)$, womit $S(1, 1.2) [mm] \cap [/mm] (S(5, 1) [mm] \cup [/mm] S(6, 1.2)) = [mm] \emptyset$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Di 01.09.2009 | | Autor: | tynia |
Aber woher weiß ich, dass in S(2,1.2) genau ein Eigenwert liegt?
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Hallo tynia,
> Aber woher weiß ich, dass in S(2,1.2) genau ein Eigenwert
> liegt?
Da hier die Vereinigung nur aus einem Kreis besteht,
enthält diese auch genau einen Eigenwert.
Gruss
MathePower
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![[]](http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Gerschgorin_A.png){kind=small}
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