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| Aufgabe | Die vier Punkte A(-1/-3/-2) B ( 7/9/-8) C ( 17/23/13) und D ( 5/5/22) liegen in der Ebene mit der Gleichung [mm] \vektor{84\\ -57\\ -2}*\vec{x}= [/mm] 10
a) Zeigen sie , dass das viereck ABCD ein Trapenz ist. Entscheiden sie ob das Trapez symmetrisch ist.
b) Eine geradenschar gk hat die Darstellung
gk: [mm] \vec{x}= \vektor{2\\ 1\\ 9} [/mm] + t* [mm] \vektor{19\\28\\ k} [/mm] mit k element R
Untersuche sie allgemein in abhängigkeit von k die lagebeziehungen zwischen der ebene und den Geraden der Schar gk.
Berechnen sie für den Fall, dass sich eine Gerade der Schar und die Ebene E schneiden die Koordinaten des Schnittpunkts
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hi kann mir jemand tipps zu den aufgaben geben?... ich stehe momentan total auch den schlauch und weiß nets mit der ebengleichung anzufangen da ich diese form net kenn und ich weiß auch net mehr wie man die lagebeziehung rechnen kann... kann mir jemand tipps geben?? vllt hilft mir das dann weiter
danke im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Fr 16.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und [willommenmr]
> Die vier Punkte A(-1/-3/-2) B ( 7/9/-8) C ( 17/23/13) und D
> ( 5/5/22) liegen in der Ebene mit der Gleichung
> [mm]\vektor{84\\ -57\\ -2}*\vec{x}=[/mm] 10
Das ist nur das "nicht ausgeschriebene Skalarprodukt", diese Form heisst Normalenform.
[mm] E:\vektor{84\\ -57\\ -2}*\vec{x}=10
[/mm]
ist nicht anderes als [mm] E:84x_{1}-57x_{2}-2x_{3}=10
[/mm]
> a) Zeigen sie , dass das viereck ABCD ein Trapenz ist.
Dazu muss entweder [mm] \overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{CD} [/mm] sein, oder [mm] \overrightarrow{BC}\parallel\overrightarrow{AD} [/mm]
> Entscheiden sie ob das Trapez symmetrisch ist.
Dazu berechne mal den Schnittpunkt der beiden Diagonalen. Teilt diese die Diagonalen jeweils im gleichen Verhältnis auf, so ist das Trapez symmetrisch.
> b) Eine geradenschar gk hat die Darstellung
> gk: [mm]\vec{x}= \vektor{2\\ 1\\ 9}[/mm] + t* [mm]\vektor{19\\28\\ k}[/mm]
> mit k element R
> Untersuche sie allgemein in abhängigkeit von k die
> lagebeziehungen zwischen der ebene und den Geraden der
> Schar gk.
> Berechnen sie für den Fall, dass sich eine Gerade der
> Schar und die Ebene E schneiden die Koordinaten des
> Schnittpunkts
Hier setze mal die Gerade in die Koordinatenform ein.
Also:
[mm] gk:\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=\vektor{2\\1\\9}+t*\vektor{19\\28\\k}
[/mm]
In E eingesetzt:
[mm] 84(2+19t)-57(1+28t)-2(9+t\cdot{}k)=10
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] t=... (Noch in Abhängigkeit von k)
(Evtl gibt es hier Sonderfälle, die du betrachten musst, wenn du beispielsweise durch (k-1) teilen würdest, müsstest du k=1 gesondert betrachten, da du nicht durch Null teilen darfst.
Diesen Wert kannst du jetzt mal in g einsetzen, um den Schnittpunkt S zu ermitteln. Jetzt kannst du evtl. auch Werte für k ermitteln, für die es keinen Schnittpunkt gibt.
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Fr 16.05.2008 | | Autor: | susimausi |
danken das hat mir sehr geholfen...wenn ich noch weitere fragen habe meld ich mich
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für t habe ich jetzt 41,5/k raus und das muss ich nun in die geradengleichung einsetzen ... und dann habe ich die lagebezeihung in abhängigkeit von k? wie ist dann denn die lagebeziehung?? irgendwie verstehe ich das wohl doch nicht so ganz
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Hallo susimausi,
> für t habe ich jetzt 41,5/k raus und das muss ich nun in
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> die geradengleichung einsetzen ... und dann habe ich die
> lagebezeihung in abhängigkeit von k? wie ist dann denn die
> lagebeziehung?? irgendwie verstehe ich das wohl doch nicht
> so ganz
Für [mm]k \not=0[/mm] schneiden sich demnach [mm]g_{k}[/mm] und E.
Den Schnittpunkt bekommst Du, wie Du richtig erkannt hast, durch einsetzen von [mm]t=\bruch{41,5}{k}[/mm] in die Geradengleichung.
Die Frage ist nun, wie die Lagebeziehung für k=0 ist.
Untersuche hier z.B. wann der Richltungsvektor der Geraden [mm]g_{k}[/mm] senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene steht. Dazu muß das Skalarprodukt beider Vektoren 0 sein:
[mm]\pmat{84 \\ -57 \\ -2} \* \pmat{19 \\ 28 \\ k}=0 \Rightarrow k= \dots[/mm]
Für dieses k, sofern es existiert, ist dann [mm]g_{k}[/mm] entweder parallel zur Ebene E oder liegt in E.
Das bekommst Du heraus, in dem Du den Abstand des Aufpunktes von [mm]g_{k}[/mm] zur Ebene E ermittelst.
Gruß
MathePower
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okay danke.. ich hab aber nochmal zu was anderem eine frage.. habe noch nicht genau verstanden wann das trapez symmetrisch ist...
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Hallo susimausi,
> okay danke.. ich hab aber nochmal zu was anderem eine
> frage.. habe noch nicht genau verstanden wann das trapez
> symmetrisch ist...
>
M.Rex hat es ja schon geschrieben:
"Dazu berechne mal den Schnittpunkt der beiden Diagonalen. Teilt diese die Diagonalen jeweils im gleichen Verhältnis auf, so ist das Trapez symmetrisch."
Bilde also die Geraden
[mm]h:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+\lambda*\overrightarrow{AC}[/mm]
[mm]k:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OB}+\mu*\overrightarrow{BD}[/mm]
Und berechne den Schnittpunkt dieser beiden Geraden.
Bekommst Du hier für beide Parameter den gleichen Wert, dann ist das Trapez symmetrisch.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Fr 16.05.2008 | | Autor: | susimausi |
ja okay.. das mit den paramerten wusste ich nicht.. danke
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