Geradengleichung bestimmen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 So 18.12.2005 | | Autor: | Sparrow |
| Aufgabe | a) Geben sie eine Parallelebene zu E durch P an.
E= [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + 2 [mm] x_{3} [/mm] - 2 = 0
P (2|0|6)
b) Geben sie eine Gerade g an die P enthält und parallel ist zur Ebene. (selbe gleichung)
c.) Geben sie eine gerade h an die A (1|1|1) enthält und zu g windschief ist. |
Meine Überlegungen nun.
Aufgabenteil a:
Normalform --> Parameterform:
E= [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + 2 [mm] x_{3} [/mm] - 2 = 0
--> E = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{1 \\ 0 \\ -2}
[/mm]
Parallel bedeutet dass beide richtungsvektoren linear abhängig sein müssen.
Das heißt ich nehme als Aufhängepunkt einfach den Punkt P und dann noch 2 linear abhängige Vektoren oder?
Beispielslösung:
[mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 6} [/mm] + [mm] \nu \vektor{2 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{2 \\ 0 \\ -4}
[/mm]
Aufgabenteil b:
Normalform --> Parameterform:
E= [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + 2 [mm] x_{3} [/mm] - 2 = 0
--> E = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{1 \\ 0 \\ -2}
[/mm]
(habe [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \mu [/mm] gesetzt.)
Nun zur Aufgabe: Die Gerade muss Parallel zur Ebene sein und durch den Punkt P (2|0|6) gehen.
Parallel heisst die Richtungsvektoren müssen linear abhängig sein.
Also nehme ich nun für dei Gerade den Aufhängepunkt P und einen linear abhängigen Vektor zu einen der Ebenen vekttoren. Ist dies richtig?
Mögliche Lösung: g =
[mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 6} [/mm] + [mm] \nu \vektor{2 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
Aufgabenteil c:
windschief = linear unabhängig + kein Schnittpunkt.
Das heißt die beiden Vektoren der zwei Geraden müssen unabhängig sein.
g =
[mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 6} [/mm] + [mm] \nu \vektor{2 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
--> h =
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \nu \vektor{2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Wie kann ich schnell und einfach überprüfen damit die Gerdaden keinen Schnitt liefern und windschief sind, ausser gleichzusetzen und zu schauen ob ein schnittpunkt rauskommt???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 So 18.12.2005 | | Autor: | dominik |
Hallo Sparrow
Deine Lösungen sind machbar, man kann die Aufgaben auch einfacher angehen; hier meine Vorschläge:
> a) Geben sie eine Parallelebene zu E durch P an.
$E: [mm] x_{1}-x_{2}+2x_{3}-2 [/mm] = 0, P (2|0|6)$
Ansatz: $F: [mm] x_{1}-x_{2}+2x_{3}+k [/mm] = 0$ enthält $P(2|0|6)$: Koordinaten von P einsetzen:
$2-0+2*6+k=0 [mm] \Rightarrow [/mm] k=-14 [mm] \Rightarrow [/mm] F: [mm] x_{1}-x_{2}+2x_{3}-14=0$
[/mm]
Begründung: E//F [mm] \Rightarrow n_E [/mm] = [mm] n_F [/mm] (parallele Ebenen haben den gleichen oder kolliniearen [parallelen] Normalenvektor).
Falls du zuerst eine Parameterdarstellung wählst - was natürlich auch geht, aber ein bisschen aufwändiger ist -, dann beachte, dass $(1/0/0)$ nicht in der Ebene E liegt (die Gleichung wird nicht erfüllt)!
Nimme zum Beispiel die drei Punkte $A(0/0/1), B(0/-2/0), C(2/0/0)$ und bilde daraus die Richtungsvektoren [mm] \overrightarrow{BA}= \vektor{0 \\ 2 \\1} [/mm] und [mm] \overrightarrow {CA}=\vektor{2 \\ 0 \\ -1} [/mm]
Damit ergibt sich die Ebene E:
$E: [mm] \vec{r}= \vektor{0 \\ 0 \\1}+u*\vektor{0 \\ 2 \\1}+v*\vektor{2 \\ 0 \\ -1}$
[/mm]
Für F nimmst du als Stützvektor ganz einfach denjenigen zu P; die Richtungsvektoren von E können einfach übernommen werden:
$F:E: [mm] \vec{r}= \vektor{2 \\ 0 \\6}+u*\vektor{0 \\ 2 \\1}+v*\vektor{2 \\ 0 \\ -1}$
[/mm]
> b) Geben sie eine Gerade g an die P enthält und parallel ist zur Ebene.
Auch das geht einfacher: Als Richtungsvektor der Geraden g nimmst du einen der beiden Richtungsvektoren der Ebene E:
[mm] $g:\vec{r}= \vektor{2 \\ 0 \\6}+t*\vektor{0 \\ 2 \\1}$
[/mm]
Wie du siehst, ist die Gleichung von g fast identisch mit derjenigen von F; es fehlt einfach der zweite Richtungsvektor. Da der Punkt P nicht in E liegt (seine Koordinaten erfüllen die Gleichung von E nicht), ist g paralle zu E.
> c.) Geben sie eine gerade h an die A (1|1|1) enthält und zu g windschief ist. Windschief = linear unabhängig + kein Schnittpunkt. Das heißt die beiden Vektoren der zwei Geraden müssen unabhängig sein.
>
> [mm] $g:\vec{r}=\vektor{2 \\ 0 \\ 6}+\nu \vektor{2 \\ 2 \\ 0}$
[/mm]
>
> --> h =
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + [mm]\nu \vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
einverstanden, würde es auch so machen!
> Wie kann ich schnell und einfach überprüfen damit die Gerdaden keinen Schnitt liefern und windschief sind, ausser gleichzusetzen und zu schauen ob ein schnittpunkt rauskommt???
Meines Wissens gibt es keine andere Möglichkeit.
Viele Grüsse
dominik
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