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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Do 03.05.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe 1 | 6. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g durch den Punkt A (0/-1/2) mit dem Richtungsvektor: [mm] $\vec [/mm] v$ = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
Liegen die Punkte B (1/-2/4) und C (3/-2/4) auf dieser Geraden? |
| Aufgabe 2 | | 7. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden h durch die Punkte B und C aus Aufgabe 6. Wo schneiden sich die Geraden g und h? |
Hallo zusammen,
hier meine Lösung, wäre nett wenn es sich jemand kurz anschaut, ob es stimmt? Danke
g: [mm] $\vec [/mm] x$ = [mm] $\vec [/mm] a$ + lambda * [mm] $\vec [/mm] v$
g: [mm] $\vec [/mm] x$ = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + lambda * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] $\vec [/mm] b$ = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + lambda * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + lambda * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
1 = 0 + 1 * lambda, lambda = 1
-2 = -1 -1 * lambda, lambda = 1
4 = 2 + 2 * lambda, lambda = 1
Der Punkt B liegt auf der Geraden g.
[mm] $\vec [/mm] c$ = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + lambda * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + lambda * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
2 = 0 + 1 * lambda, lambda = 3
-2 = -1 -1 * lambda, lambda = 1
4 = 2 + 2 * lambda, lambda = 1
Der Punkt C liegt nicht auf der Geraden g.
7.
h: [mm] $\vec [/mm] x$ = [mm] $\vec [/mm] b$ + lambda * [mm] ($\vec [/mm] c$ - [mm] $\vec [/mm] b$)
h: [mm] $\vec [/mm] x$ = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + lambda * [mm] (\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix})
[/mm]
h: [mm] $\vec [/mm] x$ = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + lambda * [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
stimm das, gibt es eine reihenfolge wie ich die punkte einsetzten muss? kann ich bei [mm] $\vec [/mm] b$ auch [mm] $\vec [/mm] c$ einsetzen? wie bestimme ich nun den schnittpunkt der geraden g und h?
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Hallo itse!
Aufgabe 6 hast Du richtig gemacht! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo itse!
> h: [mm]\vec x[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm] + lambda * [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> stimm das, gibt es eine reihenfolge wie ich die punkte einsetzten muss?
> kann ich bei [mm]\vec b[/mm] auch [mm]\vec c[/mm] einsetzen?
Ja, das ist im Grunde egal. Aber wenn Du [mm] $\vec{c}$ [/mm] als Stützvektor nimmst, solltest Du für den Richtungsvektor auch konsequenterweise [mm] $\vec{b}-\vec{c}$ [/mm] rechnen.
> wie bestimme ich nun den schnittpunkt der geraden g und h?
Durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:
[mm] $\vektor{0\\-1\\2}+\lambda*\vektor{-1\\-1\\2} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\-2\\4}+\kappa*\vektor{2\\0\\0}$
[/mm]
Hieraus nun ein Gleichungssystem erstellen und nach [mm] $\lambda$ [/mm] bzw. [mm] $\kappa$ [/mm] umstellen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Do 03.05.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
danke für die antwort. nur bei dem gleichsetzen weiß ich noch nicht weiter. wenn ich es gleichsetze hab ich ja zwei unbekannte (lambda usw.), wie erstelle ich nun daraus ein gleichungssystem?
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Hallo itse!
Es ist richtig, dass Du hier nun zwei Unbekannte hast ... aber auch drei Bestimmungsgleichungen:
$ [mm] \vektor{0\\-1\\2}+\lambda\cdot{}\vektor{-1\\-1\\2} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\-2\\4}+\kappa\cdot{}\vektor{2\\0\\0} [/mm] $
[mm] $\gdw$ [/mm] $ [mm] \lambda\cdot{}\vektor{-1\\-1\\2}+\kappa\cdot{}\vektor{-2\\0\\0} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\-1\\2}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] [I] [mm] $-\lambda-2*\kappa [/mm] \ = \ 1$
[II] [mm] $-\lambda+0*\kappa [/mm] \ = \ -1$ [mm] $\gdw$ $-\lambda [/mm] \ = \ -1$
[III] [mm] $2*\lambda+0*\kappa [/mm] \ = \ 2$ [mm] $\gdw$ $2*\lambda [/mm] \ = \ 2$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Do 03.05.2007 | | Autor: | itse |
hallo,
hab es noch nicht ganz kapiert. dann ist $ [mm] -\lambda [/mm] $ = 1
wenn ich das in g und h einsetze kommt:
g: [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}
[/mm]
h: [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}
[/mm]
raus. stimmt das so? dann schneiden sich die geraden also nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Do 03.05.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo itse,
[mm] \lambda [/mm] ist 1
dann klappt das 
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Do 03.05.2007 | | Autor: | itse |
Hallo zusammen,
hab mich verschrieben wegen vorzeichenfehler. aber dann stimmt es dass sich die geraden nicht schneiden? stimmen die punkte die ich aus g und h berechnet hab? ich muss doch dann noch [mm] $\kappa$ [/mm] berechen? wenn ich in die erste Gleichung $ lambda = 1 $ einsetze und dann:
$ [mm] -1-2\cdot{}\kappa [/mm] \ = \ 1 $
$ [mm] \kappa [/mm] = -1/3$
h: $ [mm] \begin{pmatrix} 0,33 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] $
oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Do 03.05.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Hallo zusammen,
>
> hab mich verschrieben wegen vorzeichenfehler. aber dann
> stimmt es dass sich die geraden nicht schneiden? stimmen
> die punkte die ich aus g und h berechnet hab? ich muss doch
> dann noch [mm]\kappa[/mm] berechen? wenn ich in die erste Gleichung
> [mm]lambda = 1[/mm] einsetze und dann:
>
> [mm]-1-2\cdot{}\kappa \ = \ 1[/mm]
nun [mm] \red{+}1
[/mm]
[mm] -2*\kappa=2
[/mm]
[mm] \kappa=-1
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Do 03.05.2007 | | Autor: | itse |
dann kommt bei h: [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] raus? dann schneiden sich die geraden nicht, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Do 03.05.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
das Ergebnis für h habe ich auch, was ist mit g?
> dann kommt bei h: [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
> raus? dann schneiden sich die geraden nicht, oder?
da musst du dich irgendwo vertan haben, oder ich mich
lg
Herby
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Hallo itse!
Wenn Du - wie in unserem Falle - aus dem Gleichungssystem eine eindeutige Lösung für [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\kappa$ [/mm] erhalten hast, gibt es auch definitiv einen Schnittpunkt.
Wie Herby schon schrieb: setze nun auch den Wert für [mm] $\lambda$ [/mm] in die Geradengleichung von $g_$ ein und vergleiche die Ergebnisse.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:55 Do 03.05.2007 | | Autor: | itse |
hallo,
ich setze [mm] $\lambda$ [/mm] = 1 in g ein und bekomme:
$ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] $
das stimmt mit h nicht überein, also kein schnittpunkt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Do 03.05.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo itse!
Rechne mir das mal bitte genau vor ... ich erhalte jedenfalls dasselbe wie bei der Geraden $h_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Do 03.05.2007 | | Autor: | itse |
hallo,
also
g: $ [mm] \vec [/mm] x $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $ + [mm] $\lambda$ [/mm] * $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $
dann setze ich für [mm] $\lambda$ [/mm] = 1 ein
g: $ [mm] \vec [/mm] x $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $ + 1 * $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $
so ergeben sich drei vektrogleichungen:
0 + 1 * 1 = 1
-1 + 1 * (-1) = -2
2 + 1 * 2 = 4
g: $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] $
wo liegt der fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Do 03.05.2007 | | Autor: | itse |
ich find den fehler nicht, hab ich vielleicht das falsche g genommen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Do 03.05.2007 | | Autor: | itse |
und bei h ist [mm] $\lambda$ [/mm] = -1
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] $\lambda$ [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] - 1 * [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
1 - 1 * 2 = -1
-2 - 1 * 0 = -2
4 - 1 * 0 = 4
stimmt nich mit g überein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:40 Fr 04.05.2007 | | Autor: | itse |
hallo zusammen,
wo kommt das minus her? die geradengleichung g lautet doch so:
g: $ [mm] \vec [/mm] x $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $ + [mm] $\lambda$ [/mm] * $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] $
und dann für [mm] $\lambda$ [/mm] = 1 wie beim gleichsetzen ausgerechnet. und dann kommt g: $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ [/mm] raus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Fr 04.05.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Itse,
in eurer Rechnung ist euch ein Übertragungsfehler unterlaufen. Ihr seid von folgender Gleichung ausgegangen:
$ [mm] \vektor{0\\-1\\2}+\lambda\cdot{}\vektor{-1\\-1\\2} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\-2\\4}+\kappa\cdot{}\vektor{2\\0\\0} [/mm] $
Es muss aber
$ [mm] \vektor{0\\-1\\2}+\lambda\cdot{}\vektor{1\\-1\\2} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\-2\\4}+\kappa\cdot{}\vektor{2\\0\\0} [/mm] $
heißen.
Dann kommt $ [mm] \lambda [/mm] = 1$ und [mm] $\kappa [/mm] = 0$ heraus und damit klappt's.
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:21 Fr 04.05.2007 | | Autor: | itse |
danke!
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
genau
![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]"){kind=small}
-- ich hatte mich dummerweise auf das hier verlassen:
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
--
