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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Mi 22.11.2006 | | Autor: | mathegut |
Bestimmen sie die Zahl c so, dass die gerade
g: x-3y=c den Kreis k: x²+y²=10 berührt
leider habe ich keinen ansatz, wie ich das machen soll
bitte um hilfe
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> Bestimmen sie die Zahl c so, dass die gerade
> g: x-3y=c den Kreis k: x²+y²=10 berührt
>
> leider habe ich keinen ansatz, wie ich das machen soll
> bitte um hilfe
[mm] \text{Hi,}
[/mm]
[mm] \text{Du sollst Schnittpunkte bestimmen. Es soll ein Schnittpunkt mit dem Kreis, das ist die Berührung.}
[/mm]
[mm] \text{Was musst du zur Schnittpunktbestimmung machen? Richtig, die Geradengleichung in die Kreis-}
[/mm]
[mm] \text{gleichung einsetzen.}
[/mm]
[mm] $g:g(x)=\bruch{1}{3}x-\bruch{1}{3}c$
[/mm]
[mm] $k:x^2+y^2=10$
[/mm]
[mm] \text{Einsetzen:}
[/mm]
[mm] $x^2+\left(\bruch{1}{3}x-\bruch{1}{3}c\right)^2=10 \gdw x^2+\bruch{1}{9}x^2-\bruch{2}{9}cx+\bruch{1}{9}c^2=10 \gdw 1\bruch{1}{9}x^2-\bruch{2}{9}cx+\bruch{1}{9}c^2-10=0 \gdw x^2-\bruch{18}{90}cx+\bruch{9}{90}c-\bruch{90}{10}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2-\bruch{1}{5}cx+\bruch{1}{10}c-9=0 \gdw x_{1;2}=\bruch{1}{10}c\pm\wurzel{\left(-\bruch{1}{10}c\right)^2-\bruch{1}{10}c+9}$
[/mm]
[mm] \text{Es gibt nur einen Schnittpunkt, wenn die Diskriminante (der Term unter der Wurzel) gleich 0 ist. Klar, warum?}
[/mm]
[mm] $\left(-\bruch{1}{10}c\right)^2-\bruch{1}{10}c+9=0 \gdw \bruch{1}{100}c^2-\bruch{1}{10}c+9=0 \gdw c^2-10c+900=0 \gdw c_{1;2}=5\pm\wurzel{25-900}$
[/mm]
[mm] \text{Nur frag' ich mich jetzt gerade, wo ich einen Fehler gemacht habe ...}
[/mm]
[mm] \text{Stefan.}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Stefan,
> [mm]x^2+\left(\bruch{1}{3}x-\bruch{1}{3}c\right)^2=10 \gdw x^2+\bruch{1}{9}x^2-\bruch{2}{9}cx+\bruch{1}{9}c^2=10 \gdw 1\bruch{1}{9}x^2-\bruch{2}{9}cx+\bruch{1}{9}c^2-10=0 \gdw x^2-\bruch{18}{90}cx+\bruch{9}{90}c-\bruch{90}{10}=0[/mm]
Hier ist Dein Fehler:
[mm] \bruch{9}{90}c [/mm] müsste richtig [mm] \bruch{9}{90}c\red{^{2}}
[/mm]
heißen!
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Brinki |
Die Kreisgleichung beschreibt einen Kreis um den Koordinatenursprung mit dem Radius [mm] $\wurzel{10}$.
[/mm]
Nun solltest du die Geradengleichung nach y auflösen und beachten, dass der Berührradius senkrecht auf der Tangenten steht.
Probiers damit mal.
Grüße
Brinki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mi 22.11.2006 | | Autor: | mathegut |
zufällig weiß ich von dem lehrer, dass c=10 rauskommt wie kann das sein?
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Hi, mathegut,
nach Verbesserung von Stefans Leichtsinnsfehler (siehe meine obige Antwort) lautet die Diskriminante:
[mm] (-\bruch{1}{10}c)^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{10}c^{2} [/mm] + 9
Die wird =0 gesetzt und umgeformt:
[mm] \bruch{1}{100}c^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{10}c^{2} [/mm] + 9 = 0
[mm] -\bruch{9}{100}c^{2} [/mm] + 9 = 0
[mm] \bruch{9}{100}c^{2} [/mm] = 9
[mm] c^{2} [/mm] = 100; [mm] c_{1/2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 10
Also gibt es 2 Lösungen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mi 22.11.2006 | | Autor: | mathegut |
die rechnung ist mir bis zu dem punkt klar, wo auf einmal das x wegfällt, und man nur nach c auflöst, warum ist das so, warum darf man das?
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Hi, mathegut,
bei sog. "Diskriminantenproblemen" geht's nur noch darum, was bei der Mitternachtsformel "in der Wurzel" steht. Dabei sind 3 Fälle möglich:
(1) Die Diskriminante (also "das, was in der Wurzel steht") ist positiv.
Dann hat die anfangs betrachtete Gleichung ZWEI verschiedene Lösungen für x. Die zugehörigen Geraden schneiden Deinen Kreis in jeweils zwei Punkten.
(2) Die Diskriminante ist negativ. Dann kann man die Wurzel nicht ausrechnen, denn Wurzeln aus negativen Zahlen gibt's nicht.
Die zugehörigen Geraden sind "Passanten" zu Deinem Kreis, treffen ihn also nicht.
(3) Die Diskriminante ist gleich null, die Wurzel fällt weg. Es gibt also nur EINE Lösung für unser x, aber die ist doppelt. Die zugehörige(n) Gerade(n) berühren Deinen Kreis in jeweils genau 1 Punkt.
(Dieses ist der in Deiner Aufgabenstellung "gewünschte" Fall!)
Alles klar?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Mi 22.11.2006 | | Autor: | mathegut |
klasse, danke an alle!!
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Ich bin der Meinung, dass es für c unendlich viele Werte geben kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, schlaumeier,
dann begründe uns dies stichhaltig - und wir werden es Dir glauben!
mfG!
Zwerglein
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