Geraden und Ebenen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben seinen die Punkte
[mm] p_1 =\vektor{-1 \\ -3 \\ 0} p_2 =\vektor{0 \\ 0 \\ 1} p_3 =\vektor{4 \\ 12 \\ 5}
[/mm]
(a) Bestimmen Sie die Parameterdarstellung und die Gleichungsdarstellung von [mm] L_1:= p_1 \vee p_2 \vee p_3
[/mm]
(b) Bestimmen sie die Gleichungsdarstellung von
[mm] L_2 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 4} [/mm] + [mm] \IR\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \IR\vektor{-3 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
(c) Bestimmen Sie [mm] L_1\cap L_2 [/mm] mit Hilfe der Gleichungsdarstellungen von [mm] L_1 [/mm] und [mm] L_2
[/mm]
(d) Sei [mm] L_3 =\vektor{3 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ -5 \\ -1}. [/mm] Bestimmen Sie [mm] L_1 \vee L_2 [/mm] in Parameterdarstellung und Gleichungsdarstellung |
Hallo!
Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter.
(a) Die Parameterdarstellung:
[mm] U_{L_1} [/mm] = [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2+U_3+ \IR \overrightarrow{p_1p_2}+ \IR \overrightarrow{p_1p_3} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -3\\ 0}+ \IR \vektor{1 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
Die Gleichungsdarstellung:
Normalenvektor: [mm] n=\vektor{-3 \\ 1 }
[/mm]
Es muss gelten: na=nx wenn [mm] a=\vektor{-1 \\ -3\\ 0}
[/mm]
Also [mm] \vektor{-3 \\ 1 }*\vektor{-1 \\ -3} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 1 }*\vektor{x_1 \\ x_2 }
[/mm]
Damit: [mm] 1=-3x_1+x_2
[/mm]
Somit [mm] L_1= [/mm] { [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 } \in \IR^3 [/mm] | [mm] -3x_1+x_2=1 [/mm] }
Hier bin ich mir schon nicht sicher...
(b) Gleichungsdarstellung
[mm] \vec{n}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} \times \vektor{-3 \\ 2 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Es muss gelten: [mm] \vec{n} \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{n} \vec{a} [/mm] mit [mm] \vec{a}=\vektor{-1 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
Also : [mm] 2x_1+x_2+x_3= [/mm] -2+2+4
Somit: [mm] L_2= [/mm] { [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 } \in \IR^3 [/mm] | [mm] 2x_1+x_2+x_3= [/mm] 4 }
(c) Bestimmung des UVR [mm] U_S [/mm] von [mm] L_1\cap L_2
[/mm]
[mm] \pmat{ -3 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 0} \to \pmat{ -3 & 1 & 0 & 0\\ 5 & 0 & 1 & 0} \Rightarrow [/mm] als mögl. Lösung [mm] x_1=1, x_2=3 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] = -5
Somit [mm] U_S=\IR \vektor{1 \\ 3 \\ -5 }
[/mm]
spezielle Lösung von [mm] \pmat{ -3 & 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 4} [/mm] : [mm] x_1=1, x_2=4 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] = -1
Somit: [mm] L_1\cap L_2=\vektor{1 \\ 4 \\ -1 }+\IR \vektor{1 \\ 3 \\ -5 }
[/mm]
Dieses Ergebnis müsste falsch sein, da der Punkt [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 4} [/mm] aus [mm] L_2 [/mm] beispielsweise nicht drin liegt. Ich weiß nur nicht wo mein Fehler ist.
Wär super, wenn mir jemand helfen könnte!!
Vielen Dank!
VG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Do 08.01.2015 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Gegeben seinen die Punkte
>
> [mm]p_1 =\vektor{-1 \\ -3 \\ 0} p_2 =\vektor{0 \\ 0 \\ 1} p_3 =\vektor{4 \\ 12 \\ 5}[/mm]
>
> (a) Bestimmen Sie die Parameterdarstellung und die
> Gleichungsdarstellung von [mm]L_1:= p_1 \vee p_2 \vee p_3[/mm]
>
> (b) Bestimmen sie die Gleichungsdarstellung von
> [mm]L_2[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 4}[/mm] + [mm]\IR\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}[/mm] +
> [mm]\IR\vektor{-3 \\ 2 \\ 4}[/mm]
>
> (c) Bestimmen Sie [mm]L_1\cap L_2[/mm] mit Hilfe der
> Gleichungsdarstellungen von [mm]L_1[/mm] und [mm]L_2[/mm]
>
> (d) Sei [mm]L_3 =\vektor{3 \\ 1 \\ 2}[/mm] + [mm]\vektor{1 \\ -5 \\ -1}.[/mm]
> Bestimmen Sie [mm]L_1 \vee L_2[/mm] in Parameterdarstellung und
> Gleichungsdarstellung
> Hallo!
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter.
>
> (a) Die Parameterdarstellung:
> [mm]U_{L_1}[/mm] = [mm]U_1[/mm] + [mm]U_2+U_3+ \IR \overrightarrow{p_1p_2}+ \IR \overrightarrow{p_1p_3}[/mm]
> = [mm]\vektor{-1 \\ -3\\ 0}+ \IR \vektor{1 \\ 3 \\ 1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es ist also eine Gerade.
>
> Die Gleichungsdarstellung:
Leider weis ich nicht, was du unter einer Gleichungsdarstellung verstehst,
aber eine Gerade im 3-dimensionalen Raum lässt sich nicht in Normalenform darstellen.
> Normalenvektor: [mm]n=\vektor{-3 \\ 1 }[/mm]
> Es muss gelten:
> na=nx wenn [mm]a=\vektor{-1 \\ -3\\ 0}[/mm]
> Also [mm]\vektor{-3 \\ 1 }*\vektor{-1 \\ -3}[/mm]
> = [mm]\vektor{-3 \\ 1 }*\vektor{x_1 \\ x_2 }[/mm]
> Damit:
> [mm]1=-3x_1+x_2[/mm]
> Somit [mm]L_1= \{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 } \in \IR^3 |
> -3x_1+x_2=1 \} [/mm]
>
> Hier bin ich mir schon nicht sicher...
>
> (b) Gleichungsdarstellung
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} \times \vektor{-3 \\ 2 \\ 4}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Es muss gelten: [mm]\vec{n} \vec{x}[/mm] = [mm]\vec{n} \vec{a}[/mm] mit
> [mm]\vec{a}=\vektor{-1 \\ 2 \\ 4}[/mm]
>
> Also : [mm]2x_1+x_2+x_3=[/mm] -2+2+4
>
> Somit: [mm]L_2= \left\{ \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 } \in \IR^3 | 2x_1+x_2+x_3=4 \right\} [/mm]
>
>
> (c) Bestimmung des UVR [mm]U_S[/mm] von [mm]L_1\cap L_2[/mm]
> [mm]\pmat{ -3 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 0} \to \pmat{ -3 & 1 & 0 & 0\\ 5 & 0 & 1 & 0} \Rightarrow[/mm]
> als mögl. Lösung [mm]x_1=1, x_2=3[/mm] und [mm]x_3[/mm] = -5
> Somit [mm]U_S=\IR \vektor{1 \\ 3 \\ -5 }[/mm]
>
> spezielle Lösung von [mm]\pmat{ -3 & 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 4}[/mm]
> : [mm]x_1=1, x_2=4[/mm] und [mm]x_3[/mm] = -1
>
> Somit: [mm]L_1\cap L_2=\vektor{1 \\ 4 \\ -1 }+\IR \vektor{1 \\ 3 \\ -5 }[/mm]
Das verstehe ich nicht.
Die Schnittmenge einer Ebene und einer Geraden kann entweder leer sein,
oder die Gerade, oder ein Punkt.
Ich bekomme [mm] $L_1 \cap L_2 [/mm] = [mm] \left\{ \vektor{ \bruch{1}{2} \\ \bruch{3}{2} \\ \bruch{3}{2}} \right\}$.
[/mm]
>
>
>
> Dieses Ergebnis müsste falsch sein, da der Punkt
> [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 4}[/mm] aus [mm]L_2[/mm] beispielsweise nicht drin
> liegt. Ich weiß nur nicht wo mein Fehler ist.
> Wär super, wenn mir jemand helfen könnte!!
Ist [mm] $L_3$ [/mm] ok, wie es in der Aufgabe steht, oder müsste es
[mm] $L_3 [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] \IR \vektor{1 \\ -5 \\ -1}$ [/mm] heißen?
>
>
> Vielen Dank!
> VG
>
Gruß
meili
|
|
|
|
