Geraden gleicher Steigung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:01 Di 10.01.2006 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | 1) Bestimmen Sie die Gerade g durch die Punkte A(1|2|3) und B(3|-1|2). Untersuchen Sie, in welchem Winkel g die x-y-Ebene schneidet. Zeigen Sie, dass C(7|7|7) nicht auf g liegt.
2) Geben Sie die Gleichung einer Geraden h an, die durch Punkt C verläuft, die die Gerade g schneidet und die mit der x-y-Ebene im gleichen Winkel schneidet wie h. Bestimmen Sie den Schnittpunkt von g und h. |
Also Aufgabe 1 ist kein Problem, denke ich. Für g erhalte ich die Gleichung
$$ [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\3}+w\vektor{2\\-3\\-1}.$$
[/mm]
Für die x-y-Ebene E durch den Ursprung erhalte ich die Gleichung
[mm] $$\vec{x}=r\vektor{1\\0\\0}+s\vektor{0\\1\\0}$$
[/mm]
und damit die Koordinatenform z=0. Der Schnittwinkel von g und E bekomme ich 15,5 Grad. Dass C nicht auf g liegt, ist mir auch klar.
Aber Aufgabe 2 ist ja wohl der Hammer. Gesucht ist offensichtlich der Richtungsvektor, da man den Stützvektor von h weiß. Welche Bedingung muss der Richtungsvektor denn erfüllen, damit h die gleiche Steigung hat wie g, obwohl die Geraden ja offensichtlich nicht parallel sind?
Wär lieb, wenn mir jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Di 10.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ed
Das Skalarprodukt des gesuchten Einheitsvektors mit e=v/|v| [mm] v=\vektor{r \\ s \\0} [/mm] muss cos15,5 sein,
Von der Vorstellung her, es gibt einen Kegel mit Spitze in C, Öffnungswinkel 180-2*15,5° auf dessen Mantel alle möglichen Geraden liegen.
Eigentlich find ich das keinen "Hammer"
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Di 10.01.2006 | | Autor: | MasterEd |
Hallo und erstmal Danke für die schnelle Hilfe. Das mit dem Kegel klingt einleuchtend, dennoch habe ich keine Ahnung, wie ich die vielen Variablen ausrechnen soll, die da auftreten. Kannst Du mir vielleicht schreiben, auf welche Gleichung(en) ich da komme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Di 10.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ed
Ich muss müde gewesen sein, als ich dir empfahl das Skalarprodukt mit einem Ebenen vektor zu bilden! Natürlich brauchst du das Skalarprodukt mit der Normalen, hier also der z-Achse. Deine Gerade durch P ist also g2: P+r* [mm] \vektor{x1 \\ y1\\cos\delta}, \delta [/mm] =winkel von g1 zur zAchse.
[mm] \vektor{x1 \\ y1\\cos\delta}muss [/mm] den Betrag 1 haben, also am besten [mm] x1=sin\delta*sin\phi; x2=sin\delta*cos\phi. [/mm]
Jetzt kannst du die Gerade mit g1 schneiden und hast [mm] r,\phi [/mm] und den parameter von g1 als 3 Unbekannte.
Einfacher geht es, wenn du den Kegel um P beschreibst:
[mm] ((x-xp)^{2}+(y-yp)^{2})*cos^{2}\delta-(z-zp)^{2}sin^{2}\delta=0.
[/mm]
diesen mit g1 schneidest, ergibt ne qu. Gl für den Parameter von g1 wenn die lösbar ist kann ich nen Schnittpkt kriegen.
Mein falscher Rat tut mir leid, habs erst gemerkt, als ichs aufschreiben wollte.
(also doch Hammer!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mi 11.01.2006 | | Autor: | MasterEd |
Hallo und danke für die Antwort! Jetzt habe ich nur noch zwei kleine Probleme:
1.) Woher hast Du diese Formel für die Kegelgleichung? In meinem Buch steht die nicht und irgendwie muss ich meinem Lehrer erklären, wie ich drauf gekommen bin 
2.) Setze ich als Winkel in der Formel den Schnittwinkel der Geraden g1 mit der x-y-Ebene ein, oder das Doppelte davon? Du hattest ja gesagt, dass der Öffnungswinkel das Doppelte des vorgegebenen Winkels ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Mi 11.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ed
(das letzte posting hab ich lesbarer gemacht)
Mach doch mal ne Schnittskizze in der x-z oder y-z Ebene, dann siehst du, dass der halbe Öffnungswinkel des Kegels gleich dem Winkel [mm] \delta [/mm] mit der z-Achse ist.
Ausserdem weisst du, dass die Schnitte des Kegels mit Ebenen z=const Kreise sind mit Mittelpunkt (xp,yp) also [mm] $(x-xp)^2+(y-yp)^2=r^2$
[/mm]
r kannst du wieder aus deiner Skizze ablesen: [mm] tan\delta=\bruch{r}{|z-zp|}. [/mm] daraus [mm] $r^2=(z-zp)^2*tan^2\delta [/mm] $. und für tan=sin/cos oder tan stehen lassen gibt den Kegel! Ist doch schön und einfach.
Wenn du die Geradenschar verstanden hast kannst du damit auch den Kegel finden, indem du r und [mm] \phi [/mm] eliminierst.
also auch erst [mm] $(x-xp)^2+(y-yp)^2 =r^2 sin^2\delta$ [/mm] und [mm] $z^2=r^2cos^2\delta [/mm] $ dann r eliminieren.
Ich find den ersten Weg einfacher.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Di 10.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo MasterEd!
Zum "Hammer": Tröste dich, ich hätte die Aufgabe auch als Mathematiker nicht hingekriegt, schon alleine aus Gründen riesengroßer Unlust an solchen Problemen der Analytischen Geometrie, die mich schon in der Schule extrem genervt haben und mich fast vom Mathestudium abgehalten hätten...
Liebe Grüße
Stefan
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