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| Aufgabe | Seien G und H die Geraden aus Aufgabe 48). Finden Sie reelle Zahlen a,b,c,d,e und f so, dass
[mm] G=\{(x,y)|ax+by=c\}
[/mm]
und
[mm] H=\{(x,y)|dx+ey=f\}
[/mm]
ist, und berechnen Sie die Lösungsmenge des durch die Matrix [mm] \pmat{ a & b \\ d & e } [/mm] und die Spalte [mm] \vektor{c \\ f} [/mm] gegebenen Systems linearer Gleichungen. |
Guten Abend.
In Aufgabe 48) war der Schnittpunkt 2er Geraden zu suchen. Die beiden Geraden sehen so aus:
G [mm] =\vektor{3 \\ -5}+c_1\vektor{2 \\ 1 }
[/mm]
H [mm] =\vektor{4 \\ -1}+c_2\vektor{2 \\ \bruch{3}{5}}
[/mm]
Mein Hauptproblem bei der Aufgabe ist, dass ich nicht mal weiß, was genau ich machen soll. Darum weiß ich auch nicht, ob der Titel passend ist.
Ich habe mal probiert, G und H zu "vereinfachen", dass nur [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] da steht:
[mm] G=\vektor{2c_1+3 \\ c_1-5}
[/mm]
[mm] H=\vektor{2c_2+4 \\ \bruch{3}{5}c_2-1}
[/mm]
Und jetzt die x- und y-Koordinaten in beide Gleichungen in der Aufgabenstellung eingesetzt:
[mm] G=\{(x,y)|a(2c_1+3)+b(c_1-5)=c\}
[/mm]
[mm] H=\{(x,y)|d(2c_2+4)+e(\bruch{3}{5}c_2-1)=f\}
[/mm]
Leider bringt mir das aus meinem Standpunkt nicht weiter. Ich vermute ganz stark, dass ich hier in die falsche Richtung arbeite.
Könnt ihr mir erklären, was ich hier genau machen soll?
Vielen Dank und schönes Wochenende
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> Seien G und H die Geraden aus Aufgabe 48). Finden Sie
> reelle Zahlen a,b,c,d,e und f so, dass
> [mm]G=\{(x,y)|ax+by=c\}[/mm]
> und
> [mm]H=\{(x,y)|dx+ey=f\}[/mm]
> ist, und berechnen Sie die Lösungsmenge des durch die
> Matrix [mm]\pmat{ a & b \\ d & e }[/mm] und die Spalte [mm]\vektor{c \\ f}[/mm]
> gegebenen Systems linearer Gleichungen.
> Guten Abend.
>
> In Aufgabe 48) war der Schnittpunkt 2er Geraden zu suchen.
Hallo,
hast Du ihn gefunden?
Wie lautet er?
> Die beiden Geraden sehen so aus:
Schreibe die Geradengleichungen richtig auf:
> [mm] G\red{:\qquad \vec{x}}[/mm] [mm]=\vektor{3 \\ -5}+c_1\vektor{2 \\ 1 }[/mm]
> [mm] H\red{:\qquad \vec{x}}[/mm] [mm]=\vektor{4 \\ -1}+c_2\vektor{2 \\ \bruch{3}{5}}[/mm]
>
> Mein Hauptproblem bei der Aufgabe ist, dass ich nicht mal
> weiß, was genau ich machen soll. Darum weiß ich auch
> nicht, ob der Titel passend ist.
Er ist nicht ganz unpassend.
> Ich habe mal probiert, G und H zu "vereinfachen", dass nur
> [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] da steht:
> [mm]G\red{:\qquad \vektor{x \\ y}}=\vektor{2c_1+3 \\ c_1-5}[/mm]
> [mm]H\red{:\qquad \vektor{x \\ y}}=\vektor{2c_2+4 \\ \bruch{3}{5}c_2-1}[/mm]
Gut.
Du hast für G nun
x=2c+3
y=c-5.
Eliminiere in einer Gleichung das c, setze es in die andere ein, schon hast Du, was gesucht ist: die Koordinatenform der Geradengleichung.
Auf G liegen alle Punkte (x|y), die diese Gleichung lösen.
Für H machst Du es auch so.
Und dann geht's weiter...
LG Angela
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> > In Aufgabe 48) war der Schnittpunkt 2er Geraden zu
> suchen.
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> Hallo,
>
> hast Du ihn gefunden?
> Wie lautet er?
Ja ich habe ihn gefunden. Der Schnittpunkt lautet: [mm] \overrightarrow{S}=\vektor{\bruch{43}{2} \\ \bruch{17}{4}}
[/mm]
>
> > Die beiden Geraden sehen so aus:
>
> Schreibe die Geradengleichungen richtig auf:
> > [mm]G\red{:\qquad \vec{x}}[/mm] [mm]=\vektor{3 \\ -5}+c_1\vektor{2 \\ 1 }[/mm]
>
> > [mm]H\red{:\qquad \vec{x}}[/mm] [mm]=\vektor{4 \\ -1}+c_2\vektor{2 \\ \bruch{3}{5}}[/mm]
Stimmt, danke für den Hinweis. :)
>
> Gut.
>
> Du hast für G nun
> x=2c+3
> y=c-5.
>
> Eliminiere in einer Gleichung das c, setze es in die andere
> ein, schon hast Du, was gesucht ist: die Koordinatenform
> der Geradengleichung.
Eine kleine Zwischenfrage: Ich habe kurz nach meinem Posting noch probiert, die "Parameterform" in die "implizite Form" umzuwandeln. Ist die "Koordinatenform" = "implizite Form"?
>
> Auf G liegen alle Punkte (x|y), die diese Gleichung
> lösen.
>
> Für H machst Du es auch so.
>
> Und dann geht's weiter...
Ok vielen Dank. das hat mir bis hierhin sehr geholfen. Jetzt versuche ich allerdings schon seit Stunden, die Aufgabe zu verstehen. Wie ist das mit a,b,c,d,e und f zu verstehen? Ich habe eine Vermutung, dass ich die "Steigung" der Geraden so verändern soll, dass die beiden nichtparallelen Geraden G und H parallel werden.
Begründung:
Wenn [mm] a_1,a_2,b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] Elemente von K sind mit [mm] a_1\not=0 [/mm] oder [mm] a_2\not=0, [/mm] dann sind die Mengen [mm] \{(x,y)|a_1x+a_2y=b_1\} [/mm] und [mm] \{(x,y)|a_1x+a_2y=b_2\}
[/mm]
Dies steht 1 zu 1 so im Skriptum. Leider hat er das nur so vorgelesen, aber kein Beispiel mit uns gemacht.
Mfg
Patrik
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Sa 30.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
angela hat doch gesagt, dass du a,b,c so finden musst, das G in Koordinaten bzw impliziter Form da steht, dasselbe mit e,f,g für H
d.h. am Ende stehen da Zahlen statt a,b,c
du sollst NICHTS an den geraden ändern nur die Art sie darzustellen.
Gruß leduart
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> Hallo
> angela hat doch gesagt, dass du a,b,c so finden musst, das
> G in Koordinaten bzw impliziter Form da steht, dasselbe mit
> e,f,g für H
> d.h. am Ende stehen da Zahlen statt a,b,c
> du sollst NICHTS an den geraden ändern nur die Art sie
> darzustellen.
> Gruß leduart
Vielen Dank leduart und angela. Ich glaube, dass ich die Aufgabe jetzt verstanden habe.
Für G würde das jetzt so aussehen:
[mm] x=2c_1+3
[/mm]
[mm] y=c_1-5 \Rightarrow c_1=y+5 [/mm] Dies setzt ich in die erste Gleichung ein:
[mm] x=2(y+5)+3\Rightarrow x=2y+13\Rightarrow -x+2y=-13\
[/mm]
Dann kann ich direkt a,b und c ablesen:
[mm] a=-1\\ [/mm] , [mm] b=2\\ [/mm] und [mm] c=-13\
[/mm]
Als Probe habe ich für x und y den Vektor [mm] \vektor{3 \\ -5} [/mm] eingesetzt und als Ergebnis [mm] -13=-13\\ [/mm] erhalten
Ist die Aufgabe also jetzt gelöst( für G )?
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Hallo,
> Ist die Aufgabe also jetzt gelöst( für G )?
nein, zumindest wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe (wovon ich ausgehe). Das gleiche, also die Umformung in die Koordinatenform ist jetzt für die Gerade H vorzunehmen und anschließend das so entstandene LGS in (x,y) zu lösen.
Gruß, Diophant
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Ich möchte mich bei allen 3 Antwortenden bedanken. Ich habe die Aufgabe lösen können.
Vielen Dank nochmal und schönes Wochenende :)
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