Geraden < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Sa 21.04.2007 | | Autor: | jane882 |
Betrachtet werden die Punkte 0 (0/0/0), A(1/0/0), B(0/1/0) und C(0/0/1) sowie die Punkte P (t/0/t) und Q(1-2t/t/t) mit t Element R.
Schneiden sich die Geraden durch B und P sowie durch O und Q, wenn man t=1/2 wählt?
...Also ich habe erstmal Geradengleichungen aufgestellt:
B(0/1/0), P(t/0/t)
P-B=( 1/2 ...-1...1/2) als Richtungsvektor
also g1:x= ( 0 1 0) + Lamnda (1/2 -1 1/2)
O(0/0/0), Q(1-2t/t/t)
Q-O=(0...1/2...1/2) als Richtungsvektor
also g2:x= (0 0 0)+ Mü (0 1/2 1/2)
Jetzt ein Gleichungssystem mit den beiden Geraden aufstellen:
1/2 Lamnda= 0 -> Lamnda= 0
1-1Lamnda= 1/2 Mü
1/2 Lamnda= 1/2 Mü
Lamnda= 0 in 2 Gleichung einsetzen:
1-1*(0)= 1/2 Mü
1= 1/2 Mü /:1/2
Mü =2
Lamnda= 0 und Mü= 2 in 3 Gleichung einsetzen:
1/2* 0= 1/2* 2
0= 1-> unwahre Aussage, Geraden schneiden sich nicht, sondern sind windschief zueinander.
Ist das so richtig???
Nächste Aufgabe:
Gibt es ein t Element R, sodass die Richtungsvektoren der Geraden durch B und P sowie die Gerade durch 0 und P linear abhängig sind?
Also ich habe es jetzt die ganze Zeit versucht, aber es klappt nicht :( Deshalb wahrscheinlich nein, aber wie kann man das mathematisch begründen? Bzw. wie berechnet man das?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Jane,
> ...
> Betrachtet werden die Punkte 0 (0/0/0), A(1/0/0), B(0/1/0)
> und C(0/0/1) sowie die Punkte P (t/0/t) und Q(1-2t/t/t) mit
> t Element R.
>
> Schneiden sich die Geraden durch B und P sowie durch O und
> Q, wenn man t=1/2 wählt?
>
> ...Also ich habe erstmal Geradengleichungen aufgestellt:
> B(0/1/0), P(t/0/t)
>
> P-B=( 1/2 ...-1...1/2) als Richtungsvektor
>
> also g1:x= ( 0 1 0) + Lamnda (1/2 -1 1/2)
>
> O(0/0/0), Q(1-2t/t/t)
>
> Q-O=(0...1/2...1/2) als Richtungsvektor
> also g2:x= (0 0 0)+ Mü (0 1/2 1/2)
>
> Jetzt ein Gleichungssystem mit den beiden Geraden
> aufstellen:
>
> 1/2 Lamnda= 0 -> Lamnda= 0
> 1-1Lamnda= 1/2 Mü
> 1/2 Lamnda= 1/2 Mü
>
> Lamnda= 0 in 2 Gleichung einsetzen:
> 1-1*(0)= 1/2 Mü
> 1= 1/2 Mü /:1/2
> Mü =2
>
> Lamnda= 0 und Mü= 2 in 3 Gleichung einsetzen:
> 1/2* 0= 1/2* 2
> 0= 1-> unwahre Aussage, Geraden schneiden sich nicht,
> sondern sind windschief zueinander.
> Ist das so richtig???
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich habe keinen Fehler gefunden.
>
> Nächste Aufgabe:
> Gibt es ein t Element R, sodass die Richtungsvektoren der
> Geraden durch B und P sowie die Gerade durch 0 und P linear
> abhängig sind?
>
> Also ich habe es jetzt die ganze Zeit versucht, aber es
> klappt nicht :( Deshalb wahrscheinlich nein, aber wie kann
> man das mathematisch begründen? Bzw. wie berechnet man das?
Wenn die Vektoren linear abhängig sind, dann gibt es ein [mm] \lambda, [/mm] so dass
$ [mm] \lambda \vektor{t \\ -1 \\ t} [/mm] = [mm] \vektor{t \\ 0 \\ t} [/mm] $
Diese Gleichung wird nur durch $ [mm] \lambda [/mm] = 0 $ und $ t = 0 $ gelöst.
Dann wäre der 2. Vektor aber der Nullvektor und der kann kein Richtungsvektor einer Geraden sein.
Gruß
Sigrid
>
> Danke!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Sa 21.04.2007 | | Autor: | jane882 |
Kann man das bei der zweiten Aufgabe so machen?
u = (t / -1 / t) ; v = (t / 0 / t)
r*u = v ; r Element IR
1) t*r = t <=> r = t/t
2) -r = 0 <=> r = 0
3) r*t = t <=> r = t/t
u: (t/-1/t), v: (1-2t/t/t)
t*r= 1-2t -> r= 1-2t/ t
-r= t -> r=-t
r*t= t ->r= t/t
Da bei r nie das gleiche Ergebnis rauskommt, sind die halt nicht linear abhängig.
Hab mich übrigens vertippt:
Nächste Aufgabe:
Gibt es ein t Element R, sodass die Richtungsvektoren der Geraden durch B und P sowie die Gerade durch 0 und P linear abhängig sind?
...sowie die Gerade durch Q !!! und P linear abhängig sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 So 22.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
meines wissens ist lineare unabhängigkeit so definiert:
wenn die summe einer linearkombination von vektoren den nullvektor ergibt, und alle koeffizienten null sind, dann sind die vekotrne linear unabhängig.
ansatz:
r* [mm] \vec{u} [/mm] + s* [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
wenn als einzige lösung dieser gleichung nur
die lösung mit r=0 und s=0 exisitiert, sind die vektoren linear unabhängig.
in deinem beispiel gibt es aber eine lösung, bei der s beliebig ist => für t=0 und r=0 und s [mm] \ne [/mm] 0 ist die gleichung lösbar...
r* [mm] \vektor{t\\-1 \\t} [/mm] + s* [mm] \vektor{0\\t\\t} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0}
[/mm]
daraus ergeben sich die gleichungen
r*t +s*0 =0 bzw. r*t = 0
r*(-1) +s*t =0 bzw. -r +s*t = 0
r*t +s*t =0
wenn ich für t=0 wähle erhalte ich
0 =0
-r =0
0 +0 =0
=> r=0 aber s ist beliebig wählbar!!
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Di 24.04.2007 | | Autor: | jane882 |
Also ist mein Ansatz falsch?
Habe schon vestanden,was du gemacht hast...außer das:
Wie kommst du auf t= 0?
wenn ich für t=0 wähle erhalte ich
0 =0
-r =0
0 +0 =0
=> r=0 aber s ist beliebig wählbar!!
Und diese Schritte habe ich auch nicht verstanden:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Di 24.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
> ...
> Also ist mein Ansatz falsch?
> Habe schon vestanden,was du gemacht hast...außer das:
> Wie kommst du auf t= 0?
> wenn ich für t=0 wähle erhalte ich
>
> 0 =0
>
> -r =0
>
> 0 +0 =0
>
> => r=0 aber s ist beliebig wählbar!!
>
> Und diese Schritte habe ich auch nicht verstanden:(
>
>
r* [mm] \vektor{t\\-1\\t} [/mm] + s* [mm] \vektor{0\\t\\t} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
daraus ergeben sich die gleichungen
r*t +s*0 =0 bzw. r*t = 0
r*(-1) +s*t =0 bzw. -r +s*t = 0
r*t +s*t =0
soweit klar? ok, jetzt muss ich das gleichungssystem lösen.
ich könnte sicher auch anders vorgehen:
1. mein ansatz war ja: t=0 setzen und sehen, was passiert...
wenn ich für t=0 wähle erhalte ich
0 =0
-r =0
0 +0 =0
=> r=0
ergebnis, wenn t=0 ist muss r=0 sein, aber s ist beliebig wählbar!!
2. Weg
t*r = 0
-r +t*s = 0
t*r +t*s =0
matrix:
[mm] \pmat{ t & 0 & : 0 \\ -1 & t & : 0 \\ t & t & :0}
[/mm]
auf dreiecksform bringen...
III - I
[mm] \pmat{ t & 0 & : 0 \\ -1 & t & : 0 \\ 0 & t & :0}
[/mm]
II* t
[mm] \pmat{ t & 0 & : 0 \\ -t & t^2 & : 0 \\ 0 & t & :0}
[/mm]
II + I
[mm] \pmat{ t & 0 & : 0 \\ 0 & t^2 & : 0 \\ 0 & t & :0}
[/mm]
III* t
[mm] \pmat{ t & 0 & : 0 \\ 0 & t^2 & : 0 \\ 0 & t^2 & :0}
[/mm]
III - II
[mm] \pmat{ t & 0 & : 0 \\ 0 & t^2 & : 0 \\ 0 & 0 & :0}
[/mm]
hier kann ich s frei wählen
0*s = 0
[mm] t^2*s [/mm] = 0 für s=0 erfüllt, dann wäre aber auch t*r =0
oder für [mm] t^2 [/mm] =0 erfüllt [t=0]
dann wäre 0*r= 0
höffe, das hilft weiter!
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Di 24.04.2007 | | Autor: | jane882 |
wieso t= 0? kann man nicht auch t=2 oder jede x-beliebige zahl nehmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Di 24.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
ok, die aufgabe war:
Gibt es ein t Element R, sodass die Richtungsvektoren der Geraden durch B und P sowie die Gerade durch 0 und P linear abhängig sind?
*** ok, also --- korrigiert:
Gibt es ein t Element R, sodass die Richtungsvektoren der Geraden durch B und P sowie die Gerade durch 0 und P linear abhängig sind?
...sowie die Gerade durch Q !!! und P linear abhängig sind?
*** ändert das irgendetwas am Gesagten?
die richtungsvektoren der beiden geraden sind dann linear abhängig, wenn es eine linearkombination gibt für die gilt, dass mindestens ein parameter (r bzw. s) ungleich null ist!
r*u + s*v = [mm] \vec{0} [/mm]
lösungen bei denen r=0 [mm] \wedge [/mm] s=0 sind, bedeuten, dass u und v linear unabhängig sind. dies ist z.b. der fall, wenn t=1 ist.
r*t =0
[mm] s*t^2 [/mm] =0
also: t=1 r*1=0 => r=0
[mm] s*t^2 [/mm] =0 s*1 =0 => s=0
gruß
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Di 24.04.2007 | | Autor: | jane882 |
Gibt es ein t Element R, sodass die Richtungsvektoren der Geraden durch B und P sowie die Gerade durch 0 und P linear abhängig sind?
O UND Q ! :(
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