Gerade der Form kx+d < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Di 06.03.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Untersuche ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind und begründe die Antwort:
a: Man kann jede Gerade im [mm] \IR^2 [/mm] durch eine Gleichung der Form y=kx+d beschreiben
b: Jede Gleichung der Form y=kx+d beschreibt eine Gerade im [mm] \IR^2 [/mm] |
Hallo liebe Gemeinde!
Also bei a) habe ich:
Definition:
Eine Gerade g durch die Punkte P und Q sei die Menge
[mm] g:\{P+t(P-Q) : t \in \IR \}
[/mm]
Da wir im [mm] \IR^2 [/mm] sind haben die Punkte 2 Koordinaten und P-Q=Vektor A ebenfalls mit 2 Koordinaten.
Also:
[mm] g:\{ \vektor{x_1 \\ y_1} + t * \vektor{x_2 \\ y_2} }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] I: [mm] x=x_1+x_2*t [/mm] und II: [mm] y=y_1+y_2*t
[/mm]
multiplizieren wir I mit [mm] y_2 [/mm] und II mit [mm] x_2 [/mm] und subrahieren beide Gleichungen voneinander erhalten wir:
[mm] y_2*x-x_2*y=y_2*x_1-x_2*y_1
[/mm]
also [mm] y=\frac{y_2*x_1}{-x_2} [/mm] + y1 + [mm] \frac{y_2}{x_2}*x
[/mm]
wenn wir abstrahieren und denken [mm] \frac{y_2*x_1}{-x_2} [/mm] + y1 = d und [mm] \frac{y_2}{x_2}=k [/mm] erhalten wir:
y=k*x+d
aus der Definition der Geraden folgt also: Es gibt immer eine alternative Form einer Geraden der Form y=kx+d
was sagt ihr dazu??
zu b würde ich mal annehmen das es falsch ist, mit dem Beweis tu ich mir aber schwer, hat jemand eine Idee??
Danke
|
|
| |
|
> multiplizieren wir I mit $ [mm] y_2 [/mm] $ und II mit $ [mm] x_2 [/mm] $
und was wäre, wenn [mm] $y_2 [/mm] = 0$ oder [mm] $x_2 [/mm] = 0$?
Dann darfst du nicht so einfach damit multiplizieren.
Auch an den weiteren Stellen, wo du durch etwas teilst, musst du sicher stellen, dass es nicht 0 ist.
Als Tipp: Die a) ist falsch, die b) allerdings richtig.
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Mi 07.03.2012 | | Autor: | elmanuel |
danke shadowmaster!!
neuer versuch:
Definition:
Eine Gerade g durch die Punkte P und Q sei die Menge
[mm]g:\{P+t(P-Q) : t \in \IR \}[/mm]
Da wir im [mm]\IR^2[/mm] sind haben die Punkte 2 Koordinaten und
P-Q=Vektor A ebenfalls mit 2 Koordinaten.
Also:
[mm]g:\{ \vektor{x_1 \\ y_1} + t * \vektor{x_2 \\ y_2} \}[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] I: [mm]x=x_1+x_2*t[/mm] und II: [mm]y=y_1+y_2*t[/mm]
multiplizieren wir I mit [mm]y_2[/mm] und II mit [mm]x_2[/mm] und
subrahieren beide Gleichungen voneinander erhalten wir:
entweder den Fall [mm] y_2=0\not=x_2
[/mm]
also [mm] y=(y_1+y_2*t)/x_2
[/mm]
dieser Fall deckt alle waagerechten Geraden ab. Man kann sich diese Geraden aber auch in der Form y=0*x + d vorstellen und somit wäre die Bedingung erfüllt.
den Fall [mm] x_2=0\not=y_2
[/mm]
also [mm] x=(x_1+x_2*t)/y_2
[/mm]
dieser Fall deckt alle senkrechten Geraden ab.
die Senkrechten Geraden lassen sich aber nicht in die Form k*x+d bringen.
Somit ist a nicht erfüllt!
dann gibt es noch den Fall [mm] x_2 [/mm] ^ [mm] y_2\not=0 [/mm] :
[mm]y_2*x-x_2*y=y_2*x_1-x_2*y_1[/mm]
also [mm]y=\frac{y_2*x_1}{-x_2}[/mm] + y1 + [mm]\frac{y_2}{x_2}*x[/mm]
wenn wir abstrahieren und denken
[mm]\frac{y_2*x_1}{-x_2}[/mm] + y1 = d und [mm]\frac{y_2}{x_2}=k[/mm]
erhalten wir: y=k*x+d
aus der Definition der Geraden folgt also: Es gibt im Fall [mm] x_2 [/mm] ^ [mm] y_2\not=0
[/mm]
eine alternative Form einer Geraden und zwar : y=k*x+d
also kurz gesagt:
a ist falsch weil Gegenbeispiel: Gerade: x=0
b ist richtig weil jede lineare Gleichung eine Gerade ist...
oder wie kann ich bei b am besten argumentieren??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Do 08.03.2012 | | Autor: | elmanuel |
es wäre toll wenn noch jemand drüber schaun könnte über meinen ansatz... ich muss das morgen in der übung vortragen o.O
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Do 08.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) reicht ein einziges Gegenbeispiel. es sei denn, du willst zeigen dass es alle geraden, die nicht durch x=const gegeben sind so darstellbar sind, aber das war nicht gefragt.
b) ist so zu kurz, weil du ja zeigen musst, dass das durch genau 2 punkte bestimmt ist, am einfachsten durch P1=(0,b) und P2=(m+b,1)
d.h. du darfst nicht nur "linear" sagen, sondern musst auf eure def. von gerade zurückführen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Fr 09.03.2012 | | Autor: | elmanuel |
Danke leduart!
zu b:
ich hab leider nicht verstanden wie ich das durch 2 punkte P1=(0,b)
und P2=(m+b,1) allgemein zeigen kann... und auf folgende Definition zurückführen kann:
Definition:
Eine Gerade g durch die Punkte P und Q sei die Menge
[mm]g:\{P+t(P-Q) : t \in \IR \}[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
allerdings ist mir ein anderer Ansatz eingefallen:
Eine Eigenschaft die nur auf Geraden zutrifft ist offebar folgende:
- Jede Gerade hat eine konstante Steigung. (Die Steigung ist in jedem Punkt gleich)
Eine Ausnahme stellen die Geraden der Form x=constant dar *Anmerkung dazu weiter unten . Diese haben nämlich eine unendlich große Steigung. Für diese Geraden haben wir aber ohnehin schon gezeigt das sie der Form kx+d nicht genügen.
Jetzt kann ich die Funktion f(x)=k*x+d auf dieses Kriterium prüfen:
f'(x)=k
[mm] \Rightarrow [/mm] die Steigung ist konstant (nicht von x abhängig)
[mm] \Rightarrow [/mm] es handelt sich immer um eine Gerade
ist das hinreichend das als Begründung?
- bin für jeden Tipp dankbar :)
*Anmerkung:
Mir kam die Idee die Form x=c umzuschreiben in eine Form kx+d. Welches sich nur mit einer Division durch 0 lösen lässt:
Dabei interpretiere ich die interessante Lösung von WolframAlpha : x/0=complex infinity
x=c
1*x=0*y+c |-c
1*x-c=0*y | :0
y=(1/0) x + (-c/0)
sei (1/0) k und (-c/0) d
y=complex infinity * x + complex infinity
Betrachten wir den Graphen einer Senkrechten Gerade: also das die steigung unendlich groß ist sieht ja auch am graphen so aus... und der Abschnitt auf der y Achse ist ja auch unendlich groß sozusagen
Vermutlich sagt ihr jetzt das ist Nonsense ... aber ich finds logisch ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Fr 09.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Def bei euch für eine Gerade ist:
$ [mm] g:\{P+t(P-Q) : t \in \IR \} [/mm] $
jetz: y=mx+b geht durch P=(0,b) und Q=(1,m+b)
und hat die Form [mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{0\\ b}+x*\vektor{1 \\ m} x\in\IR
[/mm]
Was du mit dem"Komplex infinity" willst ist mir schleierhaft, es liegt nicht in [mm] \IR
[/mm]
ausserdem wie willst du x=3 von x=7 unterscheiden? ich denk wirklich dass mit [mm] \infty [/mm] zu rechnen wie du das machst ist relativer Unsinn.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 So 11.03.2012 | | Autor: | elmanuel |
danke leduart!
> Hallo
> die Def bei euch für eine Gerade ist:
> [mm]g:\{P+t(P-Q) : t \in \IR \}[/mm]
> jetz: y=mx+b geht durch
> P=(0,b) und Q=(1,m+b)
> und hat die Form [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{0\\ b}+x*\vektor{1 \\ m} x\in\IR[/mm]
also du nimmst einfach irgendwelche 2 allgemeinen punkte an und bringst die dann in parameterform... und das beweist mir jetzt das die funktion egal welche werte man wählt eine gerade ist? kannst du mir erklären warum?
könnte man das nicht auch bei anderen funktionen machen die keine geraden sind oder nur abschnittsweise (treppenfunktion...)
> ausserdem wie willst du x=3 von x=7 unterscheiden?
gar nicht... ich drücke ja in der Form nur y aus, und deswegen ist ja klar das nichts ordentliches rauskommen kann weil es unendlich viele Lösungen für das y gibt... ich meinte nur das in dieser form die steigung und der Abschnitt der y achse eigentlich sinnvoll ablesbar sind... es macht natürlich nicht viel sinn eine solche Gerade in diese form zu bringen aber es war ja auch nur eine Spielerei und auch als Anmerkung markiert... wer nicht spielt der nicht gewinnt.. neugierige anfänger die herumspielen kommen oft auf wunderbare dinge ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 So 11.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich nehme nicht 2 allgemeine punkte, sondern 2 die durch y=mx+b bestimmt sins. dann bestimme iich die durch die 2 punkte nach def. bestimmte gerade und sehe, es gilt auch da y=mx+b
oder anders geagt, ich kann y=mx+b
als P+t*Pq darstellen.
mit ner Treppenfkt oder ner anderen geht das sicher nicht.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:43 Di 13.03.2012 | | Autor: | elmanuel |
danke leduart! jetzt hab ich es geknissen ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
bei mir muss das manchmal bissl einsickern :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > multiplizieren wir I mit [mm]y_2[/mm] und II mit [mm]x_2[/mm]
>
> und was wäre, wenn [mm]y_2 = 0[/mm] oder [mm]x_2 = 0[/mm]?
> Dann darfst du
> nicht so einfach damit multiplizieren.
Gleichungen mit [mm] $0\,$ [/mm] zu multiplizieren ist kein Problem:
Aus [mm] $r=t\,$ [/mm] folgt [mm] $0=0*r=0*t=0\,.$ [/mm] Nur ist das keine Äquivalenzumformung.
Problematisch wird die Nullmultiplikation, wenn man Ungleichungen hat oder "Ungleichheitszeichen erhalten" will:
Aus $1 < [mm] 2\,$ [/mm] folgt ja nicht $0*1 < [mm] 0*2\,,$ [/mm] weil ja NICHT $0 < [mm] 0\,$ [/mm] gilt.
Ebenso liefert $2 [mm] \not=4$ [/mm] natürlich nicht $2*0 [mm] \not=4*0\,,$ [/mm] da [mm] $0=0\,$ [/mm] gilt. Also am besten ist einfach, bei allem, was man tut, zu überdenken: Gilt die Folgerung? Und wenn man etwas äquivalent umformen will, muss man sich halt überlegen, ob auch die Folgerung in der anderen Richtung gilt.
So gilt beispielsweise für $x [mm] \ge [/mm] 0$ dann $x=2 [mm] \gdw x^2=4\,,$ [/mm] während für $x [mm] \in \IR$ [/mm] zwar die Folgerung $x=2 [mm] \Rightarrow x^2=4$ [/mm] richtig, aber die Folgerung [mm] $x^2=4 \Rightarrow [/mm] x=2$ falsch ist!
Aber das nur ergänzend!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
