Gerade Parameterform finden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Di 13.03.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Finde die Parameterform der folgenden Geraden im [mm] \IR^3 [/mm] , die durch folgendes Gleichungssystem beschrieben wird:
2x+y+5z=5
2x-3y-3z=1 |
Hallo liebe Gemeinde!
Also ich habe die Gleichungen geschnitten und habe:
x=2-(3/2)z
y=1-2z
jetzt nehme ich 2 Punkte:
P mit z=0
[mm] P=\vektor{2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Q mit z=1
[mm] Q=\vektor{(1/2) \\ -1 \\ 1}
[/mm]
somit den Vektor [mm] \underline{PQ} [/mm] = [mm] \vektor{-(3/2) \\ -2 \\ 1}
[/mm]
also die Gerade in einer Parameterform wäre dann:
G: [mm] \{\vektor{2 \\ 1 \\ 0} + \lambda * \vektor{-(3/2) \\ -2 \\ 1} : \lambda \in \IR \}
[/mm]
Ist das korrekt ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Di 13.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Finde die Parameterform der folgenden Geraden im [mm]\IR^3[/mm] ,
> die durch folgendes Gleichungssystem beschrieben wird:
>
> 2x+y+5z=5
>
> 2x-3y-3z=1
> Hallo liebe Gemeinde!
>
>
> Also ich habe die Gleichungen geschnitten und habe:
>
>
> x=2-(3/2)z
> y=1-2z
>
>
> jetzt nehme ich 2 Punkte:
>
> P mit z=0
>
> [mm]P=\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Q mit z=1
>
> [mm]Q=\vektor{(1/2) \\ -1 \\ 1}[/mm]
>
> somit den Vektor [mm]\underline{PQ}[/mm] = [mm]\vektor{-(3/2) \\ -2 \\ 1}[/mm]
>
> also die Gerade in einer Parameterform wäre dann:
>
> G: [mm]\{\vektor{2 \\ 1 \\ 0} + \lambda * \vektor{-(3/2) \\ -2 \\ 1} : \lambda \in \IR \}[/mm]
>
>
>
> Ist das korrekt ?
Ja
FRED
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Di 13.03.2012 | | Autor: | elmanuel |
dankeschön!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Di 13.03.2012 | | Autor: | elmanuel |
Hi! Ich hab nochwas :)
.. jetzt das selbe im [mm] \IR^4
[/mm]
Angabe:
[mm] x_1+2x_2+3x_3+x_4=8
[/mm]
[mm] 2x_1+5x_2-x_3-x_4=11
[/mm]
[mm] 3x_1+7x_2+7x_3+x_4=24
[/mm]
gesucht ist wieder die Gerade in Parameterform.
______
Ich habe geschnitten und erhalte
[mm] x_1=-5,5+2,25x_2
[/mm]
[mm] x_3=-6,875x_2+17,75
[/mm]
[mm] x_4=18,625x_2-55,75
[/mm]
jetzt nehme ich wieder 2 Punkte
P mit [mm] x_2=0 [/mm] : [mm] \pmat{-5,5 \\ 0 \\ 17,75 \\ -55,75}
[/mm]
Q mit [mm] x_2=1 [/mm] : [mm] \pmat{-3,25 \\ 1 \\ 10,875 \\ -37,125}
[/mm]
also Vektor [mm] \underline{PQ} [/mm] : [mm] \pmat{2,25 \\ 1 \\ -6,875 \\ -92,875}
[/mm]
also kann die Gerade so aufgestellt werden:
[mm] G:=\{\pmat{-5,5 \\ 0 \\ 17,75 \\ -55,75} + \lambda * \pmat{2,25 \\ 1 \\ -6,875 \\ -92,875} : \lambda \in \IR \}
[/mm]
korrekt?
ich habe einfach das Gaussche Eliminationsverfahren verwendet...
gibt es da eine effizientere Methode um sowas auszurechnen?
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Hallo elmanuel,
> Hi! Ich hab nochwas :)
>
> .. jetzt das selbe im [mm]\IR^4[/mm]
>
> Angabe:
>
> [mm]x_1+2x_2+3x_3+x_4=8[/mm]
>
> [mm]2x_1+5x_2-x_3-x_4=11[/mm]
>
> [mm]3x_1+7x_2+7x_3+x_4=24[/mm]
>
>
> gesucht ist wieder die Gerade in Parameterform.
>
> ______
>
>
> Ich habe geschnitten und erhalte
>
> [mm]x_1=-5,5+2,25x_2[/mm]
>
> [mm]x_3=-6,875x_2+17,75[/mm]
>
> [mm]x_4=18,625x_2-55,75[/mm]
>
[mm]x_{1}[/mm] stimmt, [mm]x_{2}, \ x_{3}[/mm] jedoch nicht.
> jetzt nehme ich wieder 2 Punkte
>
> P mit [mm]x_2=0[/mm] : [mm]\pmat{-5,5 \\ 0 \\ 17,75 \\ -55,75}[/mm]
>
> Q mit [mm]x_2=1[/mm] : [mm]\pmat{-3,25 \\ 1 \\ 10,875 \\ -37,125}[/mm]
>
> also Vektor [mm]\underline{PQ}[/mm] : [mm]\pmat{2,25 \\ 1 \\ -6,875 \\ -92,875}[/mm]
>
> also kann die Gerade so aufgestellt werden:
>
> [mm]G:=\{\pmat{-5,5 \\ 0 \\ 17,75 \\ -55,75} + \lambda * \pmat{2,25 \\ 1 \\ -6,875 \\ -92,875} : \lambda \in \IR \}[/mm]
>
> korrekt?
>
> ich habe einfach das Gaussche Eliminationsverfahren
> verwendet...
>
> gibt es da eine effizientere Methode um sowas
> auszurechnen?
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Sa 17.03.2012 | | Autor: | elmanuel |
Danke Mathepower!
stimmt ich hatte einen Fehler.
Habe ausgebessert...
korrekt?
ich habe einfach das Gaussche Eliminationsverfahren
verwendet...
gibt es da eine effizientere Methode um sowas
auszurechnen?
> Hi! Ich hab nochwas :)
>
> .. jetzt das selbe im [mm]\IR^4[/mm]
>
> Angabe:
>
> [mm]x_1+2x_2+3x_3+x_4=8[/mm]
>
> [mm]2x_1+5x_2-x_3-x_4=11[/mm]
>
> [mm]3x_1+7x_2+7x_3+x_4=24[/mm]
>
>
> gesucht ist wieder die Gerade in Parameterform.
>
> ______
>
>
> Ich habe geschnitten und erhalte
>
> [mm]x_1=-5,5+2,25x_2[/mm]
>
> [mm]x_3=-6,875x_2+17,75[/mm]
>
> [mm]x_4=16,375x_2-39,75[/mm]
>
>
>
>
> jetzt nehme ich wieder 2 Punkte
>
> P mit [mm]x_2=0[/mm] : [mm]\pmat{-5,5 \\ 0 \\ 17,75 \\ -39,75}[/mm]
>
> Q mit [mm]x_2=1[/mm] : [mm]\pmat{-3,25 \\ 1 \\ 10,875 \\ -23,375}[/mm]
>
> also Vektor [mm]\underline{PQ}[/mm] : [mm]\pmat{2,25 \\ 1 \\ -6,875 \\ -63,125}[/mm]
>
>
> also kann die Gerade so aufgestellt werden:
>
> [mm]G:=\{\pmat{-5,5 \\ 0 \\ 17,75 \\ -39,75} + \lambda * \pmat{2,25 \\ 1 \\ -6,875 \\ -63,125} : \lambda \in \IR \}[/mm]
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Hallo elmanuel,
> Danke Mathepower!
>
> stimmt ich hatte einen Fehler.
>
> Habe ausgebessert...
>
Poste doch, was Du ausgebessert hast.
> korrekt?
>
> ich habe einfach das Gaussche Eliminationsverfahren
> verwendet...
>
> gibt es da eine effizientere Methode um sowas
> auszurechnen?
>
>
>
> > Hi! Ich hab nochwas :)
> >
> > .. jetzt das selbe im [mm]\IR^4[/mm]
> >
> > Angabe:
> >
> > [mm]x_1+2x_2+3x_3+x_4=8[/mm]
> >
> > [mm]2x_1+5x_2-x_3-x_4=11[/mm]
> >
> > [mm]3x_1+7x_2+7x_3+x_4=24[/mm]
> >
> >
> > gesucht ist wieder die Gerade in Parameterform.
> >
> > ______
> >
> >
> > Ich habe geschnitten und erhalte
> >
> > [mm]x_1=-5,5+2,25x_2[/mm]
> >
> > [mm]x_3=-6,875x_2+17,75[/mm]
> >
> > [mm]x_4=16,375x_2-39,75[/mm]
> >
> >
> >
> >
> > jetzt nehme ich wieder 2 Punkte
> >
> > P mit [mm]x_2=0[/mm] : [mm]\pmat{-5,5 \\ 0 \\ 17,75 \\ -39,75}[/mm]
> >
> > Q mit [mm]x_2=1[/mm] : [mm]\pmat{-3,25 \\ 1 \\ 10,875 \\ -23,375}[/mm]
> >
> > also Vektor [mm]\underline{PQ}[/mm] : [mm]\pmat{2,25 \\ 1 \\ -6,875 \\ -63,125}[/mm]
>
> >
> >
> > also kann die Gerade so aufgestellt werden:
> >
> > [mm]G:=\{\pmat{-5,5 \\ 0 \\ 17,75 \\ -39,75} + \lambda * \pmat{2,25 \\ 1 \\ -6,875 \\ -63,125} : \lambda \in \IR \}[/mm]
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Di 20.03.2012 | | Autor: | elmanuel |
im zitierten Text sind die ausbesserungen schon enthalten... also da sind jetzt andere zahlen drinnen :)
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> im zitierten Text sind die ausbesserungen schon
> enthalten... also da sind jetzt andere zahlen drinnen :)
Hallo,
das gepostete Ergebnis stimmt nicht,
die Vorgehensweise jedoch ist prinzipiell in Ordnung.
Den Rechenfehler gesucht habe ich nicht, das kannst Du selbst machen.
Übrigens kannst Du ja eine Probe machen: der Stützvektor muß alle drei Gleichungen lösen, und wenn Du den Richtungsvektor in die linke Seite der Gleichungen einsetzt, muß immer 0 herauskommen.
Du fragst nach einem schnelleren Weg.
Da Du lt. Profil Mathestudent bist, kennst Du den Gaußalgorithmus in Matrixform.
Bring die erweiterte Koeffizientenmatrix Deines LGS in reduzierte Zeilenstufenform. Daraus kannst Du fast sofort die Lösung ablesen - wie kann man Dir zeigen, wenn man die red. ZSF sieht.
LG Angela
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