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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 So 31.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Wie muss eine Gerade im [mm] \IR^{3} [/mm] liegen,damit sie ihrerseits wieder ein Vektorraum wird? |
Hallo zusammen^^
Ich wollte diese Aufgabe lösen,aber irgendwie versteh ich nicht genau,was ich hier machen soll.Ich kann mir grad nicht vorstellen,was damit gemeint ist,dass sie "ihrerseits ein Vektorraum" wird.Für einen Vektorraum müssen ja diese 2 Axiome gelten:
1.) Die Menge und die Verknüpfung müssen eine abelsche Gruppe sein.
2.) k,l+K (K=Körper) , [mm] a,b\in [/mm] V(Menge) : (k+l)*(a+b)=sa+sb+ta+tb.
So,dann müsste ich ja eine Menge mit einer Verknüpfung haben um das erste Axiom überprüfen zu können.Die Menge wäre hier eine allgemeine Gerade, z.B. [mm] g:\vec{x}=\vektor{q \\ r \\ s}+\mu*\vektor{u-q \\ v-r \\ w-s}
[/mm]
und eine Verknüpfung brauch ich noch,aber ich hab keine.
Kann man die Gerade überhaupt so aufschreiben???
Und wie kann ich hier jetzt weiter vorgehen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 So 31.05.2009 | | Autor: | Lati |
Hi Mandy,
ein weiteres wichtiges Axiom, was für eine Vektorraum gelten muss ist, dass die [mm] 0\in [/mm] V ist. Das könnte dir weiter helfen. Denn wie müssen dann schon mal alle Geraden verlaufen und welche sind schon mal von vornherein ausgeschlossen?
Viele Grüße
Lati
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 So 31.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi Mandy,
>
> ein weiteres wichtiges Axiom, was für eine Vektorraum
> gelten muss ist, dass die [mm]0\in[/mm] V ist. Das könnte dir weiter
> helfen. Denn wie müssen dann schon mal alle Geraden
> verlaufen und welche sind schon mal von vornherein
> ausgeschlossen?
>
Müssen die Geraden dann alle durch den Punkt (0/0/0) gehen???
Und die,die nicht durch den Punkt können keinen Vektorraum ihrerseits bilden?
Aber ich versteh noch nicht was das bedeutet dass sie einen Vektorraum ihrerseits bilden?Ein Vektorraum ist klar,aber dieses "ihrerseits" verwirrt mich...?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 So 31.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
vergiss das "ihrerseits" das ist hier ein schmueckendes Beiwort. Gemeint ist dass sie einen VR bilden und zwar einen UVR des [mm] R^3. [/mm] und das geht nur wenn sie durch den 0 pkt gehen.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 So 31.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> vergiss das "ihrerseits" das ist hier ein schmueckendes
> Beiwort. Gemeint ist dass sie einen VR bilden und zwar
> einen UVR des [mm]R^3.[/mm] und das geht nur wenn sie durch den 0
> pkt gehen.
> Gruss leduart.
Ok,vielen Dank.Also so ganz hab ich das ganze noch nicht überblickt,daher hab ich noch einige Fragen:
1.) Warum muss hier die 0 zur Menge gehören?Die Menge ist doch hier die Gerade oder?
2.) Ich weiß nicht genau,wie ich hier zeigen kann,dass die Gerade einen Vektorraum bildet,also wie ich das irgendwie aufschreiben kann und die ganzen Axiome nachweisen kann?
3.) Warum können die Geraden nur einen UVR bilden,wenn sie durch den Nullpunkt gehen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 So 31.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Schreib die Vektorraum axiome auf.
2. dazu gehoert dass der 0- Vektor dazu gehoert.
wenn du [mm] v1=\vec{a}+r1*\vec{b} [/mm] hast, mit [mm] \vec{a}\ne [/mm] (0,0,0)
kannst du (0,0,0) nicht erzeugen.
mit v1 [mm] v1=\vec{a}+r1*\vec{b} [/mm] in M und [mm] v2=v1=\vec{a}+r2*\vec{b} [/mm] in g liegt v1+v2 nicht in g
aber mit [mm] v1=r1*\vec{b} [/mm] und [mm] v2=r2*\vec{b} [/mm] liegen auch alle [mm] v=\alpha*v1+\\beta*v2 [/mm] in (oder auf) g
g ist dann also ein eindimensionaler UR von [mm] R^3 [/mm] mit z. Bsb der Basis [mm] \vec{b}
[/mm]
jetzt ueberleg selbstaendig, welche ebenen im [mm] R^3 [/mm] VR sind.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> 1. Schreib die Vektorraum axiome auf.
> 2. dazu gehoert dass der 0- Vektor dazu gehoert.
> wenn du [mm]v1=\vec{a}+r1*\vec{b}[/mm] hast, mit [mm]\vec{a}\ne[/mm] (0,0,0)
> kannst du (0,0,0) nicht erzeugen.
> mit v1 [mm]v1=\vec{a}+r1*\vec{b}[/mm] in M und
> [mm]v2=v1=\vec{a}+r2*\vec{b}[/mm] in g liegt v1+v2 nicht in g
> aber mit [mm]v1=r1*\vec{b}[/mm] und [mm]v2=r2*\vec{b}[/mm] liegen auch alle
> [mm]v=\alpha*v1+\\beta*v2[/mm] in (oder auf) g
> g ist dann also ein eindimensionaler UR von [mm]R^3[/mm] mit z. Bsb
> der Basis [mm]\vec{b}[/mm]
> jetzt ueberleg selbstaendig, welche ebenen im [mm]R^3[/mm] VR
> sind.
> Gruss leduart
Ok,müssen dann die Ebenen auch den Nullpunkt enthalten,damit sie im [mm]R^3[/mm] VR sind ?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Mo 01.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Frage solltest du mit Begruendung beantworten, nicht ich. es sollte fuer dich ne Ueberpruefung sein, ob du das vorher kapiert hast.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> Die Frage solltest du mit Begruendung beantworten, nicht
> ich. es sollte fuer dich ne Ueberpruefung sein, ob du das
> vorher kapiert hast.
> gruss leduart
Ok, die Begründung wäre die gleiche wie bei den Geraden.Wenn ich nachweise,dass es eine abelsche Gruppe ist,dann muss der Nullpunkt als neutrales Element gelten.Daher müssen die Ebenen durch den Nullpunkt gehen damit sie einen Vektorraum bilden.
(Hab ich das so richtig verstanden?)
lg
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> Ok, die Begründung wäre die gleiche wie bei den
> Geraden.Wenn ich nachweise,dass es eine abelsche Gruppe
> ist,dann muss der Nullpunkt als neutrales Element darin enthalten sein
> gelten.Daher müssen die Ebenen durch den Nullpunkt gehen
> damit sie einen Vektorraum bilden.
> (Hab ich das so richtig verstanden?)
>
> lg
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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Hallo,
noch eine kleine Randbemerkung:
Der [mm]\IR^3[/mm] ist ein Vektorraum und die Vektoren darin sind entsprechend 3er-Tupel, die man üblicherweise so: [mm]\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}[/mm] schreibt, wobei die [mm]a_i[/mm] beliebige reelle Zahlen sein können.
Jetzt kannst du dir zunächst mal Teilmengen davon anschauen, wo du also kurz gesagt für die [mm]a_i[/mm] nicht alles eintragen darfst. Und eine Gerade ist genau so eine Teilmenge, denn dort haben alle Vektoren diese spezielle Form: [mm]\vektor{a_1 + r*v_1 \\ a_2 + r*v_2 \\ a_3 + r*v_3}[/mm], falls deine Gerade so aussieht [mm]g: \vec{x} = \vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3} + r*\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}[/mm].
Um jetzt festzustellen, ob diese Menge eine Gruppe, ein Körper, ein Ring, ein Vektorraum oder was auch immer für eine mathematische Struktur bildet, musst du (wie dir ja als Tipp mitgegeben wurde) die notwendigen Gesetze für die entsprechende Struktur überprüfen.
Das funktioniert eigentlich immer auf diese Art - und in diesem speziellen Fall gelten diese Axiome eben nur dann wirklich alle, wenn die Gerade durch den Ursprung geht, weil nur dann der Nullvektor zu deiner Teilmenge gehört, die du untersuchst.
Also nochmal kurz gesagt: du untersuchst, ob eine Menge von 3er-Tupeln bestimmte Gesetze erfüllt. Die Gerade gibt dir sozusagen nur die Einschränkung für diese Tupel vor.
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 So 31.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
>
> noch eine kleine Randbemerkung:
> Der [mm]\IR^3[/mm] ist ein Vektorraum und die Vektoren darin sind
> entsprechend 3er-Tupel, die man üblicherweise so:
> [mm]\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}[/mm] schreibt, wobei die [mm]a_i[/mm]
> beliebige reelle Zahlen sein können.
> Jetzt kannst du dir zunächst mal Teilmengen davon
> anschauen, wo du also kurz gesagt für die [mm]a_i[/mm] nicht alles
> eintragen darfst. Und eine Gerade ist genau so eine
> Teilmenge, denn dort haben alle Vektoren diese spezielle
> Form: [mm]\vektor{a_1 + r*v_1 \\ a_2 + r*v_2 \\ a_3 + r*v_3}[/mm],
> falls deine Gerade so aussieht [mm]g: \vec{x} = \vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3} + r*\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}[/mm].
>
> Um jetzt festzustellen, ob diese Menge eine Gruppe, ein
> Körper, ein Ring, ein Vektorraum oder was auch immer für
> eine mathematische Struktur bildet, musst du (wie dir ja
> als Tipp mitgegeben wurde) die notwendigen Gesetze für die
> entsprechende Struktur überprüfen.
> Das funktioniert eigentlich immer auf diese Art - und in
> diesem speziellen Fall gelten diese Axiome eben nur dann
> wirklich alle, wenn die Gerade durch den Ursprung geht,
> weil nur dann der Nullvektor zu deiner Teilmenge gehört,
> die du untersuchst.
>
> Also nochmal kurz gesagt: du untersuchst, ob eine Menge von
> 3er-Tupeln bestimmte Gesetze erfüllt. Die Gerade gibt dir
> sozusagen nur die Einschränkung für diese Tupel vor.
Vielen Dank.OK,ich überprüfe das alles jetzt mal.Das erste Axiom ist ja,dass die Menge V,+ eine abelsche Gruppe sein muss.Dafür muss ich hier zunächst das Assozisativgesetz nachweisen,würde das dann so aussehen:
[mm] [\vektor{a_1 + r\cdot{}v_1 \\ a_2 + r\cdot{}v_2 \\ a_3 + r\cdot{}v_3}+\vektor{b_1 + s\cdot{}w_1 \\ b_2 + s\cdot{}w_2 \\ b_3 + s\cdot{}w_3}]+\vektor{c_1 + t\cdot{}u_1 \\ c_2 + t\cdot{}u_2 \\ c_3 + t\cdot{}u_3}=\vektor{a_1 + r\cdot{}v_1 \\ a_2 + r\cdot{}v_2 \\ a_3 + r\cdot{}v_3}+[\vektor{b_1 + s\cdot{}w_1 \\ b_2 + s\cdot{}w_2 \\ b_3 + s\cdot{}w_3}+\vektor{c_1 + t\cdot{}u_1 \\ c_2 + t\cdot{}u_2 \\ c_3 + t\cdot{}u_3}]
[/mm]
Dann würd ich mir das halt so weiter aufschreiben und somit das Assozisativgesetz beweisen.Hier erkenn aber noch nicht,dass die Geraden durch den Ursprung gehen müssen,das heißt das wird noch in einem der weiteren Gesetze kommen.
Ist das in Ordnung so?
lg
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> [mm][\vektor{a_1 + r\cdot{}v_1 \\ a_2 + r\cdot{}v_2 \\ a_3 + r\cdot{}v_3}+\vektor{b_1 + s\cdot{}w_1 \\ b_2 + s\cdot{}w_2 \\ b_3 + s\cdot{}w_3}]+\vektor{c_1 + t\cdot{}u_1 \\ c_2 + t\cdot{}u_2 \\ c_3 + t\cdot{}u_3}=[\vektor{a_1 + r\cdot{}v_1 \\ a_2 + r\cdot{}v_2 \\ a_3 + r\cdot{}v_3}+\vektor{b_1 + s\cdot{}w_1 \\ b_2 + s\cdot{}w_2 \\ b_3 + s\cdot{}w_3}]+\vektor{c_1 + t\cdot{}u_1 \\ c_2 + t\cdot{}u_2 \\ c_3 + t\cdot{}u_3}][/mm]
>
> Dann würd ich mir das halt so weiter aufschreiben und somit
> das Assozisativgesetz beweisen.Hier erkenn aber noch
> nicht,dass die Geraden durch den Ursprung gehen müssen,das
> heißt das wird noch in einem der weiteren Gesetze kommen.
> Ist das in Ordnung so?
Nicht so ganz - denn in deinem Gesetz nimmst du dir ja 3 verschiedene Geraden. Du sollst aber untersuchen, ob die Punkte, die dir eine Gerade liefert, diese Gesetze alle erfüllen. Also müsstest du für das Assoziativgesetz drei Punkte von deiner Geraden nehmen und das nachrechnen. Das wird also noch einfacher:
[mm][\vektor{a_1 + r_1\cdot{}v_1 \\ a_2 + r_1\cdot{}v_2 \\ a_3 + r_1\cdot{}v_3}+\vektor{a_1 + r_2\cdot{}v_1 \\ a_2 + r_2\cdot{}v_2 \\ a_3 + r_2\cdot{}v_3}]+\vektor{a_1 + r_3\cdot{}v_1 \\ a_2 + r_3\cdot{}v_2 \\ a_3 + r_3\cdot{}v_3}=\vektor{a_1 + r_1\cdot{}v_1 \\ a_2 + r_1\cdot{}v_2 \\ a_3 + r_1\cdot{}v_3}+[\vektor{a_1 + r_2\cdot{}v_1 \\ a_2 + r_2\cdot{}v_2 \\ a_3 + r_2\cdot{}v_3}+\vektor{a_1 + r_3\cdot{}v_1 \\ a_2 + r_3\cdot{}v_2 \\ a_3 + r_3\cdot{}v_3}][/mm]
Die meisten dieser Gesetze sind in diesem Fall besonders einfach nachzurechnen, weil du letztlich ja komponentenweise rechnest und da bist du in den reellen Zahlen und "darfst alles" (vertauschen, assoziieren und was sonst noch so geht).
Tja, der Nullvektor steckt auch als Bedingung in der Abelschen Gruppe bzgl. + drin, denn es muss in deiner Menge von Vektoren einen geben, den du zu allen anderen addieren kannst, ohne dass sie sich ändern. Also muss in deiner Menge von Vektoren, die dir die Gerade liefert, auch der Nullvektor dabei sein, sprich, sie muss durch den Nullpunkt gehen.
Besser wird es noch, wenn du das Unterraumkriterium kennst und benutzt. Dann musst du nur noch zwei Sachen für einen Unterraum U nachweisen, nämlich:
1. [mm]\vec{u_1}+\vec{u_2} \in U[/mm] für alle [mm]\vec{u_1} \in U[/mm] und [mm]\vec{u_2} \in U[/mm]
2. [mm]r*\vec{u} \in U[/mm] für alle [mm]r \in \IR[/mm] und alle [mm]\vec{u} \in U[/mm]
Die zweite Bedingung muss also u.a. auch für [mm]r=0[/mm] gelten, also muss der Nullvektor immer mit dabei sein.
Vielleicht wird es ja jetzt ein bisschen klarer  .
schöne grüße,
weightgainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 So 31.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum willst du alle axime ueberpruefen, wenn man direkt eines sieht, das nicht erfuellt ist. Dann ist doch egal, ob die anderen erfuellt sind oder nicht?
manche Axiome wie deine Ass. ist von alleine erfuellt, weil sie in [mm] R^3 [/mm] gelten, die sollte man gar nicht erst untersuchen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 So 31.05.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> Warum willst du alle axime ueberpruefen, wenn man direkt
> eines sieht, das nicht erfuellt ist. Dann ist doch egal, ob
> die anderen erfuellt sind oder nicht?
> manche Axiome wie deine Ass. ist von alleine erfuellt,
> weil sie in [mm]R^3[/mm] gelten, die sollte man gar nicht erst
> untersuchen.
> Gruss leduart
Hallo
ja stimmt du hast recht.Das ist viel zu viel Aufwand alle Axiome durchzugehen.Also die Ass. ist klar.Das neutrale Element auch,nämlich der Nullvektor.Das inverse Element ist jeweils der Gegenvektor und der negative Stützpunkt.So,weightweigner hat jetzt gesagt,dass man schon aus der Ass. sehen kann,dass man den Nullvektor braucht.Schickt das schon als Begründung dafür,dass die Gerade ein Vektorraum ist?
Für mich war das jetzt nicht so einleuchtend,klar dass der Nullvektor das neutrale Element ist aber dass das das notwendige Kriterium dafür ist,dass die Gerade ein Vektorraum wird,da wäre ich jetzt nicht draufgekommen.
Aber ok, also die abelsche Gruppe hab ich jetzt nachgewiesen.
Ich würde das jetzt aber gern noch an einem anderen Axiom nachweisen,an dem es deutlicher wird,find da aber grad keins?
Also die Abgeschlossenheit ist auch klar und das Distributivgesetz auch und sonst gibts ja nichts ?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 So 31.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich versteh nicht mehr ganz. Geraden die nicht durch 0 gehen sind kein Vektorraum.
Gerade durch 0 haat ich doch schon gezeigt, dass es ein UVR ist. Was fuer axime willst du denn noch nachweisen und fuer welche Gerade?
Gruss leduart
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