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| Aufgabe | [mm] \phi: [/mm] V->V linear.
Wieso folgt aus [mm] \phi [/mm] diagonalisierbar => geometrische Vielfachheit aller Eigenwerte stimmen mit algebraischen Vielfachheit überein? |
Wenn [mm] \phi [/mm] diagonalisierbar ist, gibt es eine Basis sodass [mm] \phi [/mm] in der Basisdarstellung eine Diagonalmatrix ist. Daraus folgt, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
Die geometrischen Vielfachheiten müssen sich auf dim(V)=n aufsummieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 So 27.01.2013 | | Autor: | theresetom |
Keiner eine Idee=?
Liebe Grüße
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moin,
weißt du bereits, dass algebraische und geometrische Vielfachheiten invariant unter Basiswechsel sind?
Das heißt also sie stimmen bei deinem [mm] $\phi$ [/mm] überein, genau dann wenn sie bei der diagonalisierten Version übereinstimmen.
Also reicht es, die Aussage für eine Diagonalmatrix zu zeigen.
Dann ist es noch nett zu wissen, dass die algebraische Vielfachheit immer größer oder gleich der geometrischen ist.
Hast du nun eine Diagonalmatrix, so musst du also einzig noch zeigen, dass die geometrische Vielfachheit mindestens so groß ist, wie die algebraische, das sollte machbar sein.
Wenn du einige der Dinge von oben noch nicht weißt, dann erzähl mal, was du schon weißt und was noch nicht.
lg
Schadow
PS: Ich nehm einfach mal an, dass $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ist?
Sollte er unendlichdimensional sein, musst du das ganze ohne Matrix machen; das Prinzip bleibt aber das gleiche.
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> moin,
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> weißt du bereits, dass algebraische und geometrische
> Vielfachheiten invariant unter Basiswechsel sind?
Ja denn ich weiß dass das charakteristische Polynom unter einen Basiswechsel gleich bleibt.
> Das heißt also sie stimmen bei deinem [mm]\phi[/mm] überein,
> genau dann wenn sie bei der diagonalisierten Version
> übereinstimmen.
> Also reicht es, die Aussage für eine Diagonalmatrix zu
> zeigen.
> Dann ist es noch nett zu wissen, dass die algebraische
> Vielfachheit immer größer oder gleich der geometrischen
> ist.
Ja das hatten wir.
> Hast du nun eine Diagonalmatrix, so musst du also einzig
> noch zeigen, dass die geometrische Vielfachheit mindestens
> so groß ist, wie die algebraische, das sollte machbar
> sein.
Wenn [mm] \phi [/mm] diagonalisierbar ist, so gibt es eine Basis B aus Eigenvektoren(Eigenbasis) sodass [mm] [\phi]_{BB} [/mm] Diagonalgestalt hat. Die Diagonaleinträge der Matrix sind die Eigenwerte, diese wiederholen sich gemäß ihrer algebraischen Vielfachheit.
Weiter wüsste ich nicht zu dem beweis.
> Wenn du einige der Dinge von oben noch nicht weißt, dann
> erzähl mal, was du schon weißt und was noch nicht.
>
> lg
>
> Schadow
>
>
> PS: Ich nehm einfach mal an, dass [mm]V[/mm] ein
> endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ist?
> Sollte er unendlichdimensional sein, musst du das ganze
> ohne Matrix machen; das Prinzip bleibt aber das gleiche.
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Nehmen wir mal ein kleines Beispiel, vielleicht wird es dann klar:
$A = [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3}$.
[/mm]
Kannst du einen zweidimensionalen Eigenraum zum Eigenwert 1 und einen eindimensionalen zum Eigenwert 3 angeben?
Wenn du die Eigenräume hier findest, sollte klar werden, wie der allgemeine Fall geht.
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[mm] E_1 [/mm] = ker [mm] \pmat{ 0& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2} [/mm] = [mm] <(e_1),(e_2)>
[/mm]
[mm] E_3 [/mm] = ker [mm] \pmat{-2& 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] = [mm] <(e_3) [/mm] >
geometrische Vielfachheit von 1 ist 2 und von 3 ist es 1
WIe kann ich das nun allgemein aufschreiben?
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Steht allgemein ein Eigenwert $a$ genau $n$ Mal auf der Diagonalen, oBdA an den Positionen 1-n, so sind die [mm] $e_i$ [/mm] mit $1 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] n$ im Eigenraum enthalten, dieser hat also mindestens Dimension $n$.
Da die geometrische Vielfachheit nicht größer als die algebraische werden kann, müssen die beiden also gleich sein.
Nun musst du nur noch das oBdA oben verarzten, also sagen was passiert, wenn die $a$ nicht gerade "oben" in der Matrix stehen.
lg
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