Geometrische Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Mi 26.12.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Gegeben seien zwei geometrische Zufallsvariablen X, Y mit Parameter q bzw. p., d.h.: $P(X=k) = p [mm] \cdot (1-p)^{k-1}$ [/mm] für $k [mm] \in \{1,2,3,...\}$
[/mm]
Die beiden Zufallsvariablen seien unabhängig, d.h.: $P(X=k, Y=j) = P(X=k) [mm] \cdot [/mm] P(Y=j)$
Bestimmen Sie:
a) $P(X>k)$ für $k [mm] \in \{1,2,3,...\}
[/mm]
b) $P(min(X,Y) [mm] \leq [/mm] k)$ für $k [mm] \in\{1,2,3,...\} [/mm] |
Ich hab nun mit dem Internet schon herausgefunden, dass es sich hier wohl die Dichtefunktion der geometrischen Verteilung handelt: $P(X=k) = p [mm] \cdot (1-p)^{k-1}$ [/mm] für $k [mm] \in \{1,2,3,...\}$
[/mm]
Ich weiß jetzt nur nicht was ich bei Teilaufgabe a) machen soll. Ich soll da eine Wahrscheinlichkeit berechnen? Ich weiß, dass man die Wahrscheinlichkeit einer Dichte über das Integral bestimmen kann, da nach der Integration die Verteilungsfunktion rauskommt. Muss ich das dann hier auch machen?
Die Grenzen der Integration sind ja angegeben von: 1 bis unendlich.
Meiner Ansicht nach würde das Ganze dann so aussehen:
$P(X>k) = [mm] \integral_{1}^{\infty}{p \cdot (1-p)^{k-1} d \textcolor{red}{x}} [/mm] = ...$
Was ich aber hier nun nicht verstehe, ist: Ich weiß nicht nach welcher Variable ich integrieren muss...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Walde |
Hi,
> Gegeben seien zwei geometrische Zufallsvariablen X, Y mit
> Parameter q bzw. p., d.h.: [mm]P(X=k) = p \cdot (1-p)^{k-1}[/mm]
> für [mm]k \in \{1,2,3,...\}[/mm]
>
> Die beiden Zufallsvariablen seien unabhängig, d.h.: [mm]P(X=k, Y=j) = P(X=k) \cdot P(Y=j)[/mm]
>
> Bestimmen Sie:
>
> a) $P(X>k)$ für $k [mm]\in \{1,2,3,...\}[/mm]
>
> b) $P(min(X,Y) [mm]\leq[/mm] k)$ für $k [mm]\in\{1,2,3,...\}[/mm]
>
>
>
> Ich hab nun mit dem Internet schon herausgefunden, dass es
> sich hier wohl die Dichtefunktion der geometrischen
> Verteilung handelt: [mm]P(X=k) = p \cdot (1-p)^{k-1}[/mm] für [mm]k \in \{1,2,3,...\}[/mm]
Das ist so nicht ganz richtig, denn die geom. Verteilung ist diskret (abzählbarer Ergebnisraum) und hat keine Dichte. Anstelle hat es aber diese Funktion, die einfach zu gegebenem k die W'keit ausrechnet. (So wie bei der hypergeometrischen oder Binomialverteilung auch.)
>
> Ich weiß jetzt nur nicht was ich bei Teilaufgabe a) machen
> soll. Ich soll da eine Wahrscheinlichkeit berechnen? Ich
Ja.
> weiß, dass man die Wahrscheinlichkeit einer Dichte über
> das Integral bestimmen kann, da nach der Integration die
> Verteilungsfunktion rauskommt. Muss ich das dann hier auch
> machen?
Nein, weil wie gesagt, die ZV diskret und nicht stetig ist.
>
> Die Grenzen der Integration sind ja angegeben von: 1 bis
> unendlich.
>
> Meiner Ansicht nach würde das Ganze dann so aussehen:
>
> [mm]P(X>k) = \integral_{1}^{\infty}{p \cdot (1-p)^{k-1} d \textcolor{red}{x}} = ...[/mm]
>
> Was ich aber hier nun nicht verstehe, ist: Ich weiß nicht
> nach welcher Variable ich integrieren muss...
Bei stetigen Verteilungen mit Dichte kann man das Ausrechnen der W'keiten übers Integral machen, bei diskreten summiert man statdessen die einzelnen W'keiten, so:
[mm] P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+\dots
[/mm]
bzw. [mm] P(X>k)=P(X=k+1)+P(X=k+2)+P(X=k+3)+\dots
[/mm]
Man kann da aber vielleicht gut einen Trick anwenden, wenn man nicht bis unendlich aufsummieren will. Es gilt nämlich [mm] $P(X>k)=1-P(X\le [/mm] k)$ (Stichwort Gegenereignis) und dann kann man sich erstmal die endliche Summe [mm] $P(X=0)+P(X=1)+\cdots+P(X=k)$ [/mm] anschauen und kucken, ob man die vereinfachen kann, bevor man dann weiterrechnet.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mi 26.12.2012 | | Autor: | bandchef |
> Man kann da aber vielleicht gut einen Trick anwenden, wenn man nicht bis
> unendlich aufsummieren will. Es gilt nämlich (Stichwort Gegenereignis) und dann kann man sich
> erstmal die endliche Summe anschauen und kucken, ob man die vereinfachen kann, bevor man dann
> weiterrechnet.
Gut, ich hab dann mal angefangen:
$P(x>k) = 1 - P(X [mm] \leq [/mm] k) = [mm] \sum_{i=1}^{k}\left( p \cdot (1-p)^{i-1} \right) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{k}\left( \frac{p \cdot (1-p)^{i}}{p \cdot (1-p)^{1}} \right) [/mm] = 1- [mm] \frac{1}{1-p}\sum_{i=1}^{k}\left( (1-p)^{i} \right) [/mm] = [mm] \frac{1-p}{1-p} [/mm] - [mm] \frac{1}{1-p}\sum_{i=1}^{k}\left( (1-p)^{i} \right) [/mm] = [mm] -\frac{p}{1-p}\sum_{i=1}^{k}\left( (1-p)^{i} \right) [/mm] = $
Ab hier komm ich dann aber nicht mehr weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Walde |
> > Man kann da aber vielleicht gut einen Trick anwenden, wenn
> man nicht bis
> > unendlich aufsummieren will. Es gilt nämlich (Stichwort
> Gegenereignis) und dann kann man sich
> > erstmal die endliche Summe anschauen und kucken, ob man
> die vereinfachen kann, bevor man dann
> > weiterrechnet.
>
>
> Gut, ich hab dann mal angefangen:
>
> [mm]P(x>k) = 1 - P(X \leq k) \red{=} \sum_{i=1}^{k}\left( p \cdot (1-p)^{i-1} \right) \red{=} \sum_{i=1}^{k}\left( \frac{p \cdot (1-p)^{i}}{p \cdot (1-p)^{1}} \right) \red{=} 1- \frac{1}{1-p}\sum_{i=1}^{k}\left( (1-p)^{i} \right) = \frac{1-p}{1-p} - \frac{1}{1-p}\sum_{i=1}^{k}\left( (1-p)^{i} \right) = -\frac{p}{1-p}\sum_{i=1}^{k}\left( (1-p)^{i} \right) =[/mm]
>
> Ab hier komm ich dann aber nicht mehr weiter...
Schreib mal nicht so zügig auf, sonst machst du Leichtsinnsfehler (oder benutze die Vorschaufunktion). Die rot markierten Gleichheitszeichen sind schon falsch, weiter hab ich nicht gekuckt.
Beginne erstmal mit [mm] $P(X\le [/mm] k)$, ohne das "1- " , dann vergisst man nicht, es hinzuschreiben.
Die Idee ist es, [mm] P(X\le k)=\sum_{i=1}^{k}( [/mm] p [mm] \cdot (1-p)^{i-1}) [/mm] so umzuschreiben (man muss zB den Laufindex beachten), dass man die Formel für die endliche geometrische Reihe einsetzen kann, dann hat man das Summenzeichen weg, dann wirds einfacher.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mi 26.12.2012 | | Autor: | bandchef |
$ P(x>k) = 1 - P(X [mm] \leq [/mm] k) = 1- [mm] \sum_{i=1}^{k}\left( p \cdot (1-p)^{i-1} \right) [/mm] = 1- [mm] \sum_{i=1}^{k-1} \left( \underbrace{(1-p)^{i}}_{\text{Form: } q^n} \right) [/mm] = ...$
Jetzt muss ich wahrscheinlich noch die Formel umsetzen: [mm] $\frac{(1-p)^k-1}{1-p-1}$
[/mm]
$... = 1-p [mm] \cdot \frac{(1-p)^k-1}{1-p-1} [/mm] = 1-p [mm] \cdot \frac{(1-p)^k-1}{-p}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Walde |
So wie es da steht, sind noch Fehler drin:
> [mm]P(x>k) = 1 - P(X \leq k) = 1- \sum_{i=1}^{k}\left( p \cdot (1-p)^{i-1} \right) = 1- \red{p}\sum_{i=\red{0}}^{k-1} \left( \underbrace{(1-p)^{i}}_{\text{Form: } q^n} \right) = ...[/mm]
Nach der Indexverschiebung muss die Summe dann von 0 losgehen. Das überprüfst du am einfachsten, wenn du dir jeweils das erste und letzte Summenglied ankuckst, die müssen ja gleich sein. Ausserdem hast du ein p vergessen.
>
> Jetzt muss ich wahrscheinlich noch die Formel umsetzen:
> [mm]\frac{(1-p)^k-1}{1-p-1}[/mm]
Dann hast du aber richtg weitergemacht.
>
> [mm]... = 1-p \cdot \frac{(1-p)^k-1}{1-p-1} = 1-p \cdot \frac{(1-p)^k-1}{-p}[/mm]
Jetzt musst du nur noch kürzen und vereinfachen, dass hast du ein schönes Ergebnis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Do 27.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Soweit bin ich nun gekommen:
$ ... = 1-p [mm] \cdot \frac{(1-p)^k-1}{1-p-1} [/mm] = [mm] 1+\frac{-p\cdot (1-p)^k-1}{-p} [/mm] = [mm] (1-p)^k$
[/mm]
Aber: Das ist doch so nicht richtig, oder?
Was ich hier aber nun nicht verstehe: Ich darf doch das p im Nenner und das ranmultiplizierte p nicht einfach kürzen, da das p im Zähler ja mit einem Minus (Summe) verbunden ist..., oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Do 27.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Soweit bin ich nun gekommen:
>
> [mm]... = 1-p \cdot \frac{(1-p)^k-1}{1-p-1} = 1+\frac{-p\cdot (1-p)^k-1}{-p} = (1-p)^k[/mm]
>
> Aber: Das ist doch so nicht richtig, oder?
>
> Was ich hier aber nun nicht verstehe: Ich darf doch das p
> im Nenner und das ranmultiplizierte p nicht einfach
> kürzen, da das p im Zähler ja mit einem Minus (Summe)
> verbunden ist..., oder?
Warum sollte das nicht gehen?
Du hast klammern vergessen,
[mm] $1-p\cdot\frac{(1-p)^k-1}{1-p-1}=1+\frac{(-p)\cdot\red{(}(1-p)^k-1\red{)}}{-p}=(1-p)^k$
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Do 27.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Danke! Das war's!
Jetzt hat die Aufgabe ja noch Teilaufgabe b)!
$P(min(X,Y) [mm] \leq [/mm] k)$ für $k [mm] \in \{1,2,3,...\}$
[/mm]
Hier hab ich schon gleich mal Probleme was mit der Funktion min() gemeint ist. Was macht diese Funktion? Sucht die die minimalsten Werte raus, oder wie?
Wie gehe ich da nun weiter vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Do 27.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke! Das war's!
>
> Jetzt hat die Aufgabe ja noch Teilaufgabe b)!
>
> [mm]P(min(X,Y) \leq k)[/mm] für [mm]k \in \{1,2,3,...\}[/mm]
>
> Hier hab ich schon gleich mal Probleme was mit der Funktion
> min() gemeint ist. Was macht diese Funktion? Sucht die die
> minimalsten Werte raus, oder wie?
Die Funktion [mm]\min(x_{1};x_{2}\ldots x_{n})[/mm] gibt dir das kleinste der [mm] x_{i} [/mm] aus.
Mit P(...) berechnest du ja wie Wahrscheinlichkeit.
[mm]P(\min(X,Y)\leq k)[/mm] ist also die Wahrscheinlichkeit, dass entweder die Zufallsgröße X oder die Zufallsgröße Y kleiner oder gleich k sind.
Dazu müsstest du aber noch die Zufallsgrößen X und Y definieren.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Do 27.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Wie macht man das? Wie definiert man hier die Zufallsgrößen X,Y? Was ist eigentlich das Ziel dieser Teilaufgabe? Soll ich also wieder eine Wahrscheinlichkeit berechnen...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Do 27.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Wie macht man das? Wie definiert man hier die
> Zufallsgrößen X,Y?
Die Zufallsgrößen musst du aus den Angaben des Textes zusammenbasteln, das ist der Trick bei Stochastikaufgaben.
> Was ist eigentlich das Ziel dieser
> Teilaufgabe? Soll ich also wieder eine Wahrscheinlichkeit
> berechnen...?
P(...) deutet doch stark darauf hin.
Mach dir unbedingt mal die Grundlagen und die grundlegenden Begriffe der Stochastik/Kombinatorik klar, dazu schau mal bei ![[]](/images/popup.gif) poenitz-net.de vorbei.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Do 27.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Danke für deinen Hinweis auf diese Internetseite!
Aber noch einmal zurück zu dieser Aufgabe: Ich habe zufälligerweise zu dieser Teilaufgabe eine Lösung und diese Lösung sieht diesen Lösungsweg vor:
$P(min(X,Y) [mm] \leq [/mm] k)$ für $k [mm] \in \{1,2,3,...\}$
[/mm]
$P(min(X,Y) [mm] \leq [/mm] k) = 1- P(min(X,Y) > k) = 1-P(X>k, Y>k) = 1-P(X>k) [mm] \cdot [/mm] P(Y>k) = 1 - [mm] (1-p)^k \cdot (1-q)^k [/mm] = [mm] 1-((1-p)(1-q))^k$
[/mm]
Dazu hab ich einige Fragen:
Wo wurden hier die Zufallsgrößen definiert?
Wie erkenne ich bei solchen Aufgaben, dass ich über den Trick des Komplements gehen muss? (Bei Teilaufgabe a) wurde auch über das Komplement angefangen, aber mit dem Unterschied, dass die Anfangsbedingung der Wahrscheinlichkeit schon in der anderen "Richtung" gewählt wurde!)
Wie komme ich auf die Umformung beim dritten "="?
Wie komme ich auf die Umformung des vierten "="? Ist das wegen der allgemeinen Angabe der Aufgabe, weil die Zufallsgrößen geometrisch gewählt sind?
Das fünfte "=" is ja nur algebraische Umformung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Do 27.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke für deinen Hinweis auf diese Internetseite!
Bitte, arbeite diese in Ruhe durch, die Grundlagen kannst du dort gut nachlesen.
>
> Aber noch einmal zurück zu dieser Aufgabe: Ich habe
> zufälligerweise zu dieser Teilaufgabe eine Lösung und
> diese Lösung sieht diesen Lösungsweg vor:
>
> [mm]P(min(X,Y) \leq k)[/mm] für [mm]k \in \{1,2,3,...\}[/mm]
>
> [mm]P(min(X,Y) \leq k) = 1- P(min(X,Y) > k) = 1-P(X>k, Y>k) = 1-P(X>k) \cdot P(Y>k) = 1 - (1-p)^k \cdot (1-q)^k = 1-((1-p)(1-q))^k[/mm]
>
> Dazu hab ich einige Fragen:
>
> Wo wurden hier die Zufallsgrößen definiert?
In der Aufgabenstellung.
> Wie erkenne ich bei solchen Aufgaben, dass ich über den
> Trick des Komplements gehen muss? (Bei Teilaufgabe a) wurde
> auch über das Komplement angefangen, aber mit dem
> Unterschied, dass die Anfangsbedingung der
> Wahrscheinlichkeit schon in der anderen "Richtung" gewählt
> wurde!)
Einen Standardtrick gibt es nicht. Schau dir in jeder Aufgabe an, was du besser berechnen kannst, z.B. wo es weniger Pfade (im (imaginären) Baumdiagramm) gibt.
Hier kannst du mit der Umformung das Ergebnis aus Aufgabe a benutzen, daher macht das durchaus Sinn.
> Wie komme ich auf die Umformung beim dritten "="?
Wenn die Ereignisse/Zufallsgrößen A und B disjunkt sind, gilt:
[mm] $P(A\wedge B)=P(A)\cdot [/mm] P(B)$
> Wie komme ich auf die Umformung des vierten "="? Ist das
> wegen der allgemeinen Angabe der Aufgabe, weil die
> Zufallsgrößen geometrisch gewählt sind?
Hier wird mit den Definitionen der Zufallsgrößen, die du hier konkret kennst, gearbeitet.
>
> Das fünfte "=" is ja nur algebraische Umformung.
So ist es.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Do 27.12.2012 | | Autor: | bandchef |
> Wenn die Ereignisse/Zufallsgrößen A und B disjunkt sind, gilt:
$P(A [mm] \wedge [/mm] B) = P(A) [mm] \cdot [/mm] P(B)$
Das kenne ich natürlich. Ist dann das "," bei $ P(X>k, Y>k)$ als [mm] $\wedge$ [/mm] zu interpretieren? Denn nur so könnte ich auf $ P(X>k) [mm] \cdot [/mm] P(Y>k)$ kommen.
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Hallo bandchef,
> > Wenn die Ereignisse/Zufallsgrößen A und B disjunkt sind,
> gilt:
> [mm]P(A \wedge B) = P(A) \cdot P(B)[/mm]
>
> Das kenne ich natürlich. Ist dann das "," bei [mm]P(X>k, Y>k)[/mm]
> als [mm]\wedge[/mm] zu interpretieren?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Denn nur so könnte ich auf
> [mm]P(X>k) \cdot P(Y>k)[/mm] kommen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Do 27.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Was für ein (Trenn-)Zeichen müsste stehen, wenn ich ein [mm] $\vee$ [/mm] erwarte?
$P(X>k | Y>k) = P(X>k [mm] \vee [/mm] Y>k) = P(X>k) + P(Y>k)$ Richtig?
Aber dann verstehe ich nicht, warum man überhaupt ein weitere Zeichen für logisch UND bzw. logisch ODER einführt...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Do 27.12.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Was für ein (Trenn-)Zeichen müsste stehen, wenn ich ein
> [mm]\vee[/mm] erwarte?
>
> [mm]P(X>k | Y>k) = P(X>k \vee Y>k) = P(X>k) + P(Y>k)[/mm] Richtig?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das muesstest du, wenn schon, denn schon, als *deine* Konvention einfuehren. Im allgemeinen liest man naemlich $P(X>k | Y>k) $ als bedingte Wahrscheinlichkeit. Ich wuerde fuer [mm]\vee[/mm] schreiben [mm] $P((X>k)\cup( [/mm] Y>k))$.
>
> Aber dann verstehe ich nicht, warum man überhaupt ein
> weitere Zeichen für logisch UND bzw. logisch ODER
> einführt...
Bei Zufallsvariablen ist es Konvention, z.B. [mm] $P(X\le x,Y\le [/mm] y)$ statt [mm] $P((X\le x)\cap (Y\le [/mm] y))$ zu schreiben. Ist einfach kuerzer.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Do 27.12.2012 | | Autor: | bandchef |
> Bei Zufallsvariablen ist es Konvention, z.B. statt zu schreiben. Ist einfach kuerzer.
*daumenhoch* Danke!
(Wie macht man in diesem Forum eigentlich diesen echten "Daumen hoch/runter"?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Do 27.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Danke für deine Antwort!
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