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[mm] \summe_{i=-1}^{\infty} [/mm] ( - [mm] \frac{1}{5})^k-1
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{\infty+1} [/mm] ( - [mm] \frac{1}{5})^{(k-1)-1}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] ( - [mm] \frac{1}{5})^k-2
[/mm]
= 25 [mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] ( - [mm] \frac{1}{5})^k
[/mm]
= 125/6 die reihe konvergiert also gegen 125/6
soweit erstmal richtig?
dann stand in der aufgabe noch zusätzlich, dass man wenn sie konvergent ist, die summe berechnen soll...
wie macht man das nochmal wenn es bis unendlich geht ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Fr 18.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo sor...
> [mm]\summe_{i=-1}^{\infty}[/mm] ( - [mm]\frac{1}{5})^k-1[/mm]
ich nehme an, das soll [mm] $\summe_{i=-1}^{\infty}$ [/mm] ( - [mm] $\frac{1}{5})^{i-1}$
[/mm]
heissen
>
> = [mm]\summe_{i=0}^{\infty+1}[/mm] ( - [mm]\frac{1}{5})^{(k-1)-1}[/mm]
und das = [mm] $\summe_{i=0}^{\infty+1}$ [/mm] ( - [mm] $\frac{1}{5})^{(i-1)-1}$
[/mm]
bitte kontrollier deine posts mit Vorschau und korrigier sie vor dem abschicken
> = [mm]\summe_{i=0}^{\infty}[/mm] ( - [mm]\frac{1}{5})^k-2[/mm]
>
> = 25 [mm]\summe_{i=0}^{\infty}[/mm] ( - [mm]\frac{1}{5})^k[/mm]
Das ist noch richtig, jetzt solltest du den Zwischenschritt
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}$ [/mm] ( - [mm] $\frac{1}{5})^k=....$
[/mm]
hinschreiben und dazu sagen, dass [mm] $\summe_{i=0}^{\infty}q^i [/mm] schonals konvergent gezeigt wurde für |q|<1 und ebenso die Summe..
> = 125/6 die reihe konvergiert also gegen 125/6
>
> soweit erstmal richtig?
Ja, bis auf die Schreibfehler und den fehlenden Zwischenschritt. und die summe hast du ja berechnet!
Gruss leduart
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jap tut mir leid für den schreibfehler
also ich hatte folgenden zwischenschritt ausgelassen:
(- [mm] \frac{1}{5})^-2 \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] (- [mm] \frac{1}{5})^k
[/mm]
wär meine summe jetzt also -1/5 ? :/
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Hallo,
> also ich hatte folgenden zwischenschritt ausgelassen:
>
> (- [mm]\frac{1}{5})^-2 \summe_{i=0}^{\infty}[/mm] (- [mm]\frac{1}{5})^k[/mm]
Was willst du denn nun schon wieder mit dem k? Der Laufindex der Summe muss einheitlich sein, also entweder k oder i!
Der Zwischenschritt ist einfach die Formel für die geometrische Reihe, die du hier verwenden darfst, da [mm] $\left|\frac{-1}{5}\right|=\frac{1}{5}<1:
[/mm]
[mm] $\sum_{i=0}^\infty\left(\frac{-1}{5}\right)^i=\frac{1}{1-\frac{-1}{5}}=\frac{5}{6}$
[/mm]
Das Ganze natürlich noch mit dem von dir berechneten Vorfaktor 25.
>
> wär meine summe jetzt also -1/5 ? :/
Nein, siehe oben.
Gruß
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ahso okay... dann komm ich auf 125/6 , stimmts?
ich hab noch eine weitere frage, welches kriterium bietet sich für die folgende reihe an:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n! [mm] (1/2)^n
[/mm]
in der übung hieß es immer bei fakultät immer das quotientenkriterium verwenden, aber hier macht das kein sinn oder?
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> ahso okay... dann komm ich auf 125/6 , stimmts?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ich hab noch eine weitere frage, welches kriterium bietet
> sich für die folgende reihe an:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] n! [mm](1/2)^n[/mm]
>
> in der übung hieß es immer bei fakultät immer das
> quotientenkriterium verwenden, aber hier macht das kein
> sinn oder?
warum soll das keinen sinn machen?
gruß tee
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okay ich habe es mal versucht:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup | [mm] \frac{an+1}{an} [/mm] | (quotientenkriterium)
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup | ( [mm] \frac{n+1}{n!}) [/mm] * 2^-(n+1) |
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} (\frac{n+1}{n*n}) [/mm] * 2^(-n-1)
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\frac{n (1+ 1/n)}{n (n)} [/mm] ) * 2^(-n-1)
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \frac{1+1}{n^2}) [/mm] *2^(-n-1)
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \frac{2^(-n-1)}{n^2} [/mm] ) + ( [mm] \frac{2^(-n-1)}{n^2} [/mm] ) =0
da 0 <1 --- > konvergent
so richtig ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Fr 18.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> okay ich habe es mal versucht:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] :
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup | [mm]\frac{an+1}{an}[/mm] |
> (quotientenkriterium)
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup | ( [mm]\frac{n+1}{n!})[/mm] *
Wo ist (n+1)! geblieben ? Und wo [mm] 2^n [/mm] ??
> 2^-(n+1) |
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} (\frac{n+1}{n*n})[/mm] * 2^(-n-1)
Grausam ! Seit wann ist [mm] n!=n^2 [/mm] ???
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\frac{n (1+ 1/n)}{n (n)}[/mm] ) *
> 2^(-n-1)
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]\frac{1+1}{n^2})[/mm] *2^(-n-1)
Was machst Du eigentlich ??? Das ist doch alles völliger Quatsch !
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]\frac{2^(-n-1)}{n^2}[/mm] ) + (
> [mm]\frac{2^(-n-1)}{n^2}[/mm] ) =0
>
> da 0 <1 --- > konvergent
Unfug !!!
>
> so richtig ??
Alles andere als richtig . Man weiß gar nicht was man zu diese Anhäufung von Fehlern sagen soll ...
Wir hatten: [mm] a_n= \bruch{n!}{2^n}.
[/mm]
Damit ist: [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n}= \bruch{(n+1)!}{n!}* \bruch{2^n}{2^{n+1}}= \bruch{n+1}{2} \to \infty$ [/mm] für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
FRED
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hmm wie kommst du auf [mm] \frac{n+1}{2} [/mm] ?
wie du 2 übrig bleibt kann ich mir noch erklären du hast [mm] 2^n [/mm] mit [mm] 2^n [/mm] gekürzt und übrig geblieben ist [mm] 2^1 [/mm] .. aber was geschieht mit dem n! im nenner? :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Fr 18.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> hmm wie kommst du auf [mm]\frac{n+1}{2}[/mm] ?
>
> wie du 2 übrig bleibt kann ich mir noch erklären du hast
> [mm]2^n[/mm] mit [mm]2^n[/mm] gekürzt und übrig geblieben ist [mm]2^1[/mm] .. aber
> was geschieht mit dem n! im nenner? :S
Schreib mal auf was (n+1)! ist. Dann schreib mal auf was n! ist. Dann bildest Du den Quotienten. Kriegst Du das hin ?
FRED
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hm ich glaube gerade da liegt mein problem..
ich weiß dass 3!= 1*2*3 ist.. so und (n+1)! und n! wären dann ? weiß ich nicht....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Fr 18.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist
n!=1*2*3* ...*n
FRED
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und (n+1)! fakultät wäre, wenn ich n ausklammer:
n! (n+1) ?
n! würde sich dann mit n! im nenner wegkürzen und dann hab ich das endlich
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> und (n+1)! fakultät wäre, wenn ich n ausklammer:
ich würds eher umformen nennen statt ausklammern, aber auf jedenfall stimmts
>
> n! (n+1) ?
>
> n! würde sich dann mit n! im nenner wegkürzen und dann
> hab ich das endlich
jawoll
gruß tee
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
oki..
kann ich bei folgender aufgabe genauso vorgehen?
\summe_{n=1}^{\infty} ( \frac{1}{\wurzel{n}} )
so dann habe ich das quotientenkriterium benutzt:
\limes_{n\rightarrow\infty} | \frac{1}{\wurzel{n+1}/ \frac{1}{\wurzel{n}}
\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n} / \wurzel {n+1}
\limes_{n\rightarrow\infty} n^0,5 / (n+1)^(-0,5)
wäre das so richtig ? :/
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Hallo sormanehaldeyim,
>
> oki..
>
> kann ich bei folgender aufgabe genauso vorgehen?
>
> [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \frac{1}{\wurzel{n}} [/mm] )
>
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} ( \frac{1}{\wurzel{n}} )[/mm]
> so dann habe ich das quotientenkriterium benutzt:
>
> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \frac{1}{\wurzel{n+1}}/ [/mm]
> [mm] \frac{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
>
> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n} [/mm] / [mm] \wurzel [/mm] {n+1}
>
> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^0,5 [/mm] / (n+1)^(-0,5)
>
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ \bruch{1}{\wurzel{n+1}} }
{\bruch{1}{\wurzel{n}}}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ \wurzel{n} }
{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
> wäre das so richtig ? :/
Ja.
Gruss
MathePower
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:O:O:O yuhuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu
aber was genau wär denn mein ergebnis? wenn x gegen unendlich strebt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Fr 18.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo,
der ist 1 wenn du Z und N durch [mm] \wurzel{n} [/mm] telst siehst du es.
hier ist aber das Minorantenkriterium das richtige , jeder Summand ist [mm] \le [/mm] dem einer bekannten divergenten Reihe!
Gruss leduart
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aber mit dem quotientenkriterium wäre es auch gegangen oder? solange ich das richtige ergebnis hab
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Fr 18.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn der GW 1 ist weisst du doch nix, nur dass du so weder divergenz noch konvegenz zeigen kannst!
WENN!! er kleiner 1 gewesen wäre hättest du das QK benutzen können.
Gruss leduart
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würde folgendes denn ausreichen?
an= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ \wurzel{n}}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^0,5}
[/mm]
eine divergente minorante wäre 1/n
somit ist an divergent..
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Hallo sormanehaldeyim,
> würde folgendes denn ausreichen?
>
> an= [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ \wurzel{n}}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^0,5}[/mm]
>
> eine divergente minorante wäre 1/n
>
> somit ist an divergent..
>
Ja.
Gruss
MathePower
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