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| Aufgabe | Ein Ball fällt aus 2m höhe und springt immer wieder 4/5 des Weges hoch
1.1 erst soll berechnet werden, wie lang der weg w ist den er insgesamt zurücklegt.
1.2 wie oft muss der Ball hochspringen, damit der bis dahin zurückgelegte Weg w´ sich von w höchstens 1mm unterscheidet?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
also bei 1.1 nutze ich doch die unendliche geometrische Reihe, aber wo soll ich da die werte einsetzten?
vielleicht hat jemand ein gutes beispiel ... verstehe das mit der geometrischen Reihe nicht wirklich...
[mm] \summe_{t=0}^{\infty} q^t=\bruch{1}{1-q}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Do 26.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo!
> Ein Ball fällt aus 2m höhe und springt immer wieder 4/5 des
> Weges hoch
> 1.1 erst soll berechnet werden, wie lang der weg w ist den
> er insgesamt zurücklegt.
> 1.2 wie oft muss der Ball hochspringen, damit der bis
> dahin zurückgelegte Weg w´ sich von w höchstens 1mm
> unterscheidet?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> also bei 1.1 nutze ich doch die unendliche geometrische
> Reihe, aber wo soll ich da die werte einsetzten?
Du fängst ja bei 2m an, die nächste zurückgelegte Strecke ist [mm] \bruch{4}{5} [/mm] davon, also 2 [mm] \* \bruch{4}{5}, [/mm] die nächste Strecke ist genauso lang, denn der Ball fällt ja wieder runter. Dann das gleiche Spiel von vorne:
Die nächste Strecke ist [mm] \bruch{4}{5} [/mm] der vorigen, also 2 [mm] \* (\bruch{4}{5})^{2}, [/mm] die danach wieder genauso lang, weil der Ball wieder runterfällt usw.
Schreib Dir die Summanden mal hintereinander auf und versuche das dann auf die Form der geometrischen Reihe zu bringen, indem Du noch etwas ausklammerst.
Die rechte Seite der (für |q|<1 konvergenten) geom. Reihe sagt Dir nur den Grenzwert, der herauskommt, wenn man auf diese Weise summiert. Damit kannst Du w bestimmen.
Zu 1.2)
Bilde die Differenz des in 1.1 berechneten w und der Summe aus 1.1 mit der Abwandlung, dass nur bis n, nicht bis unendlich summiert wird. Die Differenz ist betragsmäßig gleich 0,001 (Vorsicht mit den Einheiten!). Nun musst Du n bestimmen.
> vielleicht hat jemand ein gutes beispiel ... verstehe das
> mit der geometrischen Reihe nicht wirklich...
>
> [mm]\summe_{t=0}^{\infty} q^t=\bruch{1}{1-q}[/mm]
>
LG djmatey
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ist das so richtig?
[mm] \summe_{t=0}^{\infty} q^t =2+2*4/5+2*4/5^2+2*4/5^3....+2*4/5^n= 2+2*4/5*(1+4/5+4/5^2+4/5^3...+4/5^n)
[/mm]
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Hallo, du hast einige Wege vergessen:
1. mal runter: 2m
1. mal hoch: [mm] 2m*\bruch{4}{5}
[/mm]
2. mal runter: [mm] 2m*\bruch{4}{5}
[/mm]
2. mal hoch: [mm] 2m*\bruch{4}{5}*\bruch{4}{5}
[/mm]
3. mal runter: [mm] 2m*\bruch{4}{5}*\bruch{4}{5}
[/mm]
4. mal hoch: [mm] 2m*\bruch{4}{5}*\bruch{4}{5}*\bruch{4}{5}
[/mm]
4. mal runter: [mm] 2m*\bruch{4}{5}*\bruch{4}{5}*\bruch{4}{5}
[/mm]
u.s.w.
jetzt solltest du erkennen, was dir fehlt
Steffi
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also ist es dann so
[mm] \summe_{t=0}^{\infty} q^t= 2+4*4/5(1+4/5+4/5^2+...+4/5^n)
[/mm]
aber was sage ich dann über den zurckgelegten weg, ist dieser dann nicht auch unendlich?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Do 26.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo delicious,
> also ist es dann so
> [mm]\summe_{t=0}^{\infty} q^t= 2+4*4/5(1+4/5+4/5^2+...+4/5^n)[/mm]
Mnjah...
Vorweg einiges zur Schreibweise:
1. Verwende Klammern, wo sie hingehören! [mm] $\frac{4}{5^2}\ne\left(\frac{4}{5}\right)^2$
[/mm]
In Deinem Ausdruck quadrierst Du nur die Nenner.
2. Mit dem Formeleditor "richtige" Brüche zu schreiben ist zwar etwas umständlicher, aber meist deutlich übersichtlicher lesbar. Die Mühe kann man ja mit Copy'n'Paste (strg-c & strg-v) reduzieren).
Ein Bruch wird dann so geschrieben: \bruch{4}{5}
So, nun aber.
Der Ansatz erscheint mir inhaltlich jetzt so korrekt.
Die Summe links vom Gleichheitszeichen gefällt mir noch nicht.
Wenn Du genau hinschaust, so ist ja nur der Teil innerhalb der Klammer die geometrische Reihe. Also darfst Du auch nur dafür den entsprechenden Ausdruck einsetzen.
[mm]2+4*\bruch{4}{5}*\underbrace{\left(1+\bruch{4}{5}+\left(\bruch{4}{5}\right)^2+...+\left(\bruch{4}{5}\right)^n\right)}_{\summe_{t=0}^{\infty} q^t\ (\text{mit }q=\bruch{4}{5} \text{ und für }n=\infty)}[/mm]
> aber was sage ich dann über den zurckgelegten weg, ist
> dieser dann nicht auch unendlich?
Das wirst Du deutlicher sehen, wenn Du die Formel für die Reihe eingesetzt hast.
Schöne Grüße
ardik
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:48 Do 26.06.2008 | | Autor: | djmatey |
> Hallo delicious,
>
> > also ist es dann so
> > [mm]\summe_{t=0}^{\infty} q^t= 2+4*4/5(1+4/5+4/5^2+...+4/5^n)[/mm]
>
> Mnjah...
> Vorweg einiges zur Schreibweise:
>
> 1. Verwende Klammern, wo sie hingehören!
> [mm]\frac{4}{5^2}\ne\left(\frac{4}{5}\right)^2[/mm]
> In Deinem Ausdruck quadrierst Du nur die Nenner.
>
> 2. Mit dem Formeleditor "richtige" Brüche zu schreiben ist
> zwar etwas umständlicher, aber meist deutlich
> übersichtlicher lesbar. Die Mühe kann man ja mit
> Copy'n'Paste (strg-c & strg-v) reduzieren).
> Ein Bruch wird dann so geschrieben:
> [mm][code]\bruch{4}{5}[/code][/mm]
>
>
> So, nun aber.
> Der Ansatz erscheint mir inhaltlich jetzt so korrekt.
> Die Summe links vom Gleichheitszeichen gefällt mir noch
> nicht.
> Wenn Du genau hinschaust, so ist ja nur der Teil innerhalb
> der Klammer die geometrische Reihe. Also darfst Du auch nur
> dafür den entsprechenden Ausdruck einsetzen.
>
> [mm]2+4*\bruch{4}{5}*\underbrace{\left(1+\bruch{4}{5}+\left(\bruch{4}{5}\right)^2+...+\left(\bruch{4}{5}\right)^n\right)}_{\summe_{t=0}^{\infty} q^t\ (\text{mit }q=\bruch{4}{5})}[/mm]
Die Summe in der Klammer geht nur bis n - sie ist eigentlich unendlich und stimmt dann auch mit der geom. Reihe überein.
>
> > aber was sage ich dann über den zurckgelegten weg, ist
> > dieser dann nicht auch unendlich?
>
> Das wirst Du deutlicher sehen, wenn Du die Formel für die
> Reihe eingesetzt hast.
>
>
> Schöne Grüße
> ardik
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 13:07 Do 26.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo djmatey,
ja, stimmt, danke.
Hab's jetzt - etwas unelegant - angepasst.
Schöne Grüße,
ardik
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[mm] 2+4*\bruch{4}{5}*\summe_{t=0}^{\infty}q^t
[/mm]
nun für die summe die formel einsetzten, oder?
[mm] 2+4*\bruch{4}{5}*\bruch{1}{1-\bruch{4}{5}}
[/mm]
[mm] =2+3\bruch{1}{5}*5
[/mm]
=18
ist das nun der zurückgelegte weg???
ach man stehe echt bei diesem thema auf dem schlauch....danke uch allen für die hilfe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:15 Do 26.06.2008 | | Autor: | delicious |
danke jetzt bin ich aber echt glücklich ;)
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zu 1.2 aber voher weiß ich, dass die differenz 0,001 beträgt?
und setzte ich 0,001= [mm] 2+4*\bruch{4}{5}\summe_{t=0}^{\infty} q^t [/mm] - [mm] 2+4*\bruch{4}{5}\summe_{t=0}^{n} q^t
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Do 26.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo delicious,
> zu 1.2 aber voher weiß ich, dass die differenz 0,001
> beträgt?
> und setzte ich 0,001=
> [mm]2+4*\bruch{4}{5}\summe_{t=0}^{\infty} q^t[/mm] -
> [mm]2+4*\bruch{4}{5}\summe_{t=0}^{n} q^t[/mm]
indem Du Dir (aus der Formelsammlung oder gelerntermaßen) diese Formel zu Hilfe nimmst:
[mm] $\summe_{t=0}^{n} q^t= \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
(genaugenommen: [mm] $a_0*\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$, [/mm] aber [mm] a_0 [/mm] ist bei Dir ja 1.)
Schöne Grüße
ardik
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