Geometrische Herleitung Halley < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Macks |
Hallo liebes Forum,
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt und noch keine Antwort erhalten: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=508178
VORWORT:
bis jetzt konnte ich die meisten Fragen mit einem Buch und etwas passivem Forenstöbern beantworten. Da ich jetzt schon eine Weile an einer Stelle in einem Paper hänge, würde ich mich freuen wenn ihr mir ein paar Denkanstöße geben könntet. Eigentlich ist die Sache nicht so gravieren wie ihr sehen werdet.
THEMA:
Und zwar geht es um folgendes Paper : [URL]http://folk.uib.no/ssu029/Pdf_file/Amat03.pdf[/URL] .
Ich habe es auch bereits ins Deutsche übersetzt und werde die Stelle auszugsweise hier einstellen. Wer Interesse an der ganzen Übersetzung hat möge mich gerne anschreiben.
Es geht grob und schwammig darum: Das Newtonverfahren wird als erste Taylorentwicklung gesehen, dann wird die Zweite Entwicklung, eine Parabel gebildet. Nun wird die eine Hyperbelfunktion axy+y+bx+c=0 und eine Änderung der Tangentialbedingung [mm] y(x_n) [/mm] = [mm] f(x_n), y'(x_n) [/mm] = [mm] f'(x_n) [/mm] und [mm] y''(x_n) [/mm] = [mm] f''(x_n) [/mm] angegeben aus welcher zusammen mit der 2. Taylorentwicklung ( [mm] y(x)-f(x_n)=f'(x_n)(x-x_n)+\frac{f''(x_n)}{2}(x-x_n)^2 [/mm] ), folgende Gleichung entsteht: y - [mm] f(x_n)-f'(x_n)(x-x_n)-\frac{f''(x_n)}{2f'(x_n)}(x-x_n)(y-f(x_n))=0. [/mm] (3) .
Hier soll übrigens die Halley-Methode hergeleitet werden.
Mir ist leider nicht mal die Hyperbelfunktion bekannt.
Also meine Frage ist, wie komme ich auf die Darstellung (3) mit Hilfe der Tangentialbed. und der Hyperbelfunktion?
Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Max
Ach ja, hier ist noch der Teil der Übersetzung:
" In diesem Abschnitt werden wir die geometrische Konstruktion von verschiedenen iterativen Prozessen zum Lösen von skalaren nichtlinearen Gleichungen der Form f(x)=0 (1) untersuchen.
Die geometrische Interpretation des Newtonverfahrens ist gut bekannt: zu einer Iterierten [mm] x_n [/mm] wird die Tangente berechnet [mm] y(x)-f(x_n)=f'(x_n)(x-x_n) [/mm]
von dem Graphen von f in [mm] (x_n,f(x_n)),und [/mm] die nächste Iterierte ist die Null, also der Schnitt mit der x-Achse der Tangente:
[mm] x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, n\geq0 [/mm] (2)
Es existieren eine große Anzahl von Arbeiten die sich mit der Konvergenz von (2) zum lösen von (1) beschäftigen und anderen Eigenschaften dieser Folge. Aber das soll nicht Ziel dieser Arbeit sein. Hier analysieren wir nur welche Methoden sich geometrische ableitung lassen. Was geschieht wenn anstatt einer Tangente andere Tangentialkurven von f in [mm] (x_n,f(x_n) [/mm] betrachten.
Die Tangente des Newtonverfahrens kann als Taylorpolynom ersten Grades von f in [mm] x_n [/mm] angesehen werden. Eine andere bekannte Konstruktion besteht in der Betrachtung des Polynoms 2. Grades, welches einer Parabel entspricht:
[mm] y(x)-f(x_n)=f'(x_n)(x-x_n)+\frac{f''(x_n)}{2}(x-x_n)^2. [/mm] (3)
Der Punkt [mm] x_{n+1} [/mm] wo der Graph von y die x-Achse schneidet lässt uns folgern:
[mm] [x_{n+1}=x_n- \frac{2}{1+\sqrt{1-2L_f(x_n)}}\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, [/mm] n [mm] \geq [/mm] 0,
mit [mm] L_f=\frac{f(x)f''(x)}{f'(x)^2}.
[/mm]
Diese Methode wird Euler oder irrationale Halley Methode genannt. Die Eulermethode hat Ordnung 3, also kubische Konvergenz.
Wenn wir aber anstelle einer Parabel (3) eine Hyperbel der folgenden Form betrachten:
axy+y+bx+c=0, und wir die Tangentialbedingungen wie folgt verändern
[mm] y(x_n)=f(x_n),\ [/mm] \ [mm] y'(x_n)=f'(x_n) [/mm] und [mm] y''(x_n)=f''(x_n) [/mm] . (4)
und damit y - [mm] f(x_n)-f'(x_n)(x-x_n)-\frac{f''(x_n)}{2f'(x_n)}(x-x_n)(y-f(x_n))=0.
[/mm]
Dem entspricht der iterative Prozess (3. Ordnung) [mm] x_{n+1}=x_n-\frac{2}{2-L_f(x_n)}\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, n\geq0, [/mm] was unter dem Namen Halley-Verfahren bekannt ist."
sorry wegen der Formatierung, ich muss das mit dem Foren-Latex bei Zeiten aufarbeiten;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 So 09.12.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
Die Formel [mm] y-f(x_n)-f'(x_n)(x-x_n)-\frac{f''(x_n)}{2f'(x_n)}(x-x_n)(y-f(x_n))=0 [/mm] (3)
kann man ableiten aus dem Taylorpolynom 2'-ter Ordnung
[mm] y=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)+\bruch{1}{2}f''(x_n)(x-x_n)^2 [/mm] in dem man [mm] x-x_n [/mm] wie folgt ersetzt [mm] x-x_n=\bruch{y-f(x_n)}{f'(x_n)}, [/mm] daraus folgt
[mm] y=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)+\bruch{1}{2}f''(x_n)(x-x_n)*\bruch{y-f(x_n)}{f'(x_n)} [/mm] also
[mm] y=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)+\bruch{1}{2}\bruch{f''(x_n)}{f'(x_n)}(x-x_n)(y-f(x_n))
[/mm]
Die Iterationsvorschrift folgt dadurch, dass man [mm] y=f(x_{n+1})=0 [/mm] und [mm] x=x_{n+1} [/mm] setzt und nach [mm] x_{n+1} [/mm] auflöst, d.h. die folgrnde Gleichung löst
[mm] 0=f(x_n)+f'(x_n)(x_{n+1}-x_n)-\bruch{1}{2}\bruch{f''(x_n)f(x_n)}{f'(x_n)}(x_{n+1}-x_n)
[/mm]
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