Geometrische Abb. als lin. Abb < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Di 13.06.2006 | | Autor: | Ben2007 |
| Aufgabe | Im folgenden ist jeweils eine lin. Abb. [mm] \IR2 \to \IR2 [/mm] gesucht (und zwar durch eine Abbildungsvorschrift und durch die dazugehörige Matrix (bzgl. der Standardbasen des [mm] \IR2), [/mm] die sich geometrisch interpretieren lässt:
a) Spiegelung an der X-Achse
b) Spiegelung an der Y-Achse
c) Punktspiegelung am Nullpunkt.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Abbildungen a,b,c (bzgl. der zugeh. Matrizen)?
d) Drehung um den Nullpunkt (Drehwinkel sei [mm] \alpha; [/mm] Trigonometrie!)
e) Geradenspiegelung an einer Geraden, die durch den Nullpunkt geht (diese gerade soll mit der X- Achse den Winkel [mm] \alpha [/mm] bilden; Trigonometrie!)
Warum kann man Translationen (Verschiebungen), Geradenspiegelungen an Geraden, die nicht durch den Nullpunkt gehen, Drehungen ( [mm] \not=id) [/mm] nicht um den Nullpunkt nicht durch lineare Abbildungen beschreiben? Wie könnte man solche Abbsildungen beschreiben?
Welche Geometrische Abbildung [mm] \IR2 \to \IR2 [/mm] wird durch die Matrix (bzgl. der Standardbasen) [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{-1}{2} \wurzel{3} \\ \bruch{1}{2} \wurzel{3} & \bruch{1}{2} } [/mm] beschrieben? |
Hallo erstmal!
Ich hoffe trotz des geilen Wetters und der WM opfert ihr mal ne Minute und könnt mir ein paar Tipps geben.
Zu der Aufgabe:
- als erstes muss ich sagen, dass ich erst im 2. Semster Mathe angefangen habe und ich vermute, dass bei uns der ganze Geometrie-Kram im ersten Semester durchgenommen wurde und ich somit bislang nur mit Schulwissen auskomme....
- In meinen Büchern von Strang und Fischer habe ich nur halbwegs Sachen gefunden, die mir eine kleine Bildung gaben, die ich allerdings hier nicht verwenden kann....ebenso wie das Internet....
- Meine bislang, sehr kleine, Lösung:
F: [mm] \IR2 \to \IR2 [/mm]
[mm] \vektor{x1 \\ x2} \mapsto \pmat{ \bruch{1}{2}x1 - \bruch{-1}{2} \wurzel{3}x2 \\ \bruch{1}{2} \wurzel{3}x1 + \bruch{1}{2}x2 }
[/mm]
Kann ich mir jetzt Punkte frei wählen um diese dann in ein Koordinatensystem einzusetzen um eine Spiegelung anzugeben?
Kennt ihr gute seiten wo ich das alles nachlesen kann, was ich brauche?
Danke im Vorraus!
LG
Ben
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Hallo!
> Im folgenden ist jeweils eine lin. Abb. [mm]\IR2 \to \IR2[/mm]
> gesucht (und zwar durch eine Abbildungsvorschrift und durch
> die dazugehörige Matrix (bzgl. der Standardbasen des [mm]\IR2),[/mm]
> die sich geometrisch interpretieren lässt:
>
> a) Spiegelung an der X-Achse
> b) Spiegelung an der Y-Achse
> c) Punktspiegelung am Nullpunkt.
> Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Abbildungen
> a,b,c (bzgl. der zugeh. Matrizen)?
> d) Drehung um den Nullpunkt (Drehwinkel sei [mm]\alpha;[/mm]
> Trigonometrie!)
> e) Geradenspiegelung an einer Geraden, die durch den
> Nullpunkt geht (diese gerade soll mit der X- Achse den
> Winkel [mm]\alpha[/mm] bilden; Trigonometrie!)
>
> Warum kann man Translationen (Verschiebungen),
> Geradenspiegelungen an Geraden, die nicht durch den
> Nullpunkt gehen, Drehungen ( [mm]\not=id)[/mm] nicht um den
> Nullpunkt nicht durch lineare Abbildungen beschreiben? Wie
> könnte man solche Abbsildungen beschreiben?
> Welche Geometrische Abbildung [mm]\IR2 \to \IR2[/mm] wird durch die
> Matrix (bzgl. der Standardbasen) [mm]\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{-1}{2} \wurzel{3} \\ \bruch{1}{2} \wurzel{3} & \bruch{1}{2} }[/mm]
> beschrieben?
> Hallo erstmal!
> Ich hoffe trotz des geilen Wetters und der WM opfert ihr
> mal ne Minute und könnt mir ein paar Tipps geben.
> Zu der Aufgabe:
> - als erstes muss ich sagen, dass ich erst im 2. Semster
> Mathe angefangen habe und ich vermute, dass bei uns der
> ganze Geometrie-Kram im ersten Semester durchgenommen wurde
> und ich somit bislang nur mit Schulwissen auskomme....
Mmh - wenn's zu schwierig ist, solltest du es vielleicht besser lassen und dann richtig mit dem 1. Semester anfangen!?
> - In meinen Büchern von Strang und Fischer habe ich nur
> halbwegs Sachen gefunden, die mir eine kleine Bildung
> gaben, die ich allerdings hier nicht verwenden
> kann....ebenso wie das Internet....
> - Meine bislang, sehr kleine, Lösung:
>
> F: [mm]\IR2 \to \IR2[/mm]
>
> [mm]\vektor{x1 \\ x2} \mapsto \pmat{ \bruch{1}{2}x1 - \bruch{-1}{2} \wurzel{3}x2 \\ \bruch{1}{2} \wurzel{3}x1 + \bruch{1}{2}x2 }[/mm]
Das verstehe ich nicht. Zu welchem Teil gehört das und wie kommst du darauf?
> Kann ich mir jetzt Punkte frei wählen um diese dann in ein
> Koordinatensystem einzusetzen um eine Spiegelung
> anzugeben?
> Kennt ihr gute seiten wo ich das alles nachlesen kann, was
> ich brauche?
So spontan nicht, aber ich probiere mich mal an einer Antwort:
zu Teil a)
Schulwissen hast du ja anscheinend.  Dann stell dir doch mal einen beliebigen Punkt [mm] \vektor{x\\y} [/mm] im Koordinatensystem vor. Wenn du diesen Punkt jetzt an der x-Achse spiegelst, wie machst du das? Naja, du guckst dir den x-Wert an und behältst ihn bei, und du guckst dir den y-Wert an und nimmst den negativen Wert davon. Also wird [mm] \vektor{x\\y} [/mm] abgebildet auf [mm] \vektor{x\\-y}, [/mm] und das ist nichts anderes als:
[mm] \vektor{x\\y}\mapsto\vektor{x\\-y}
[/mm]
Für die zugehörige Matrix brauchst du glaube ich nur folgendes zu wissen: Die Spaltenvektoren der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren. Die Basisvektoren kennst du hoffentlich - also die Standardbasisvektoren - nämlich [mm] \vektor{1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1}. [/mm] Und worauf werden diese beiden abgebildet? Probier's doch nochmal in deinem Koordinatensystem. Oder ist es dir schon klar? Du kannst es auch einfach in die Abbildungsvorschift einsetzen. Jedenfalls erhältst du:
[mm] \vektor{1\\0}\mapsto\vektor{1\\0}
[/mm]
[mm] \vektor{0\\1}\mapsto\vektor{0\\-1}
[/mm]
Und das jetzt als Spaltenvektoren in eine Matrix geschrieben ergibt:
[mm] \pmat{1&0\\0&-1}
[/mm]
Wenn du das nochmal überprüfen willst, kannst du einen beliebigen Vektor nehmen und die Matrix mit diesem Vektor multiplizieren. Wenn dann der richtig gespiegelte Vektor rauskommt, war's richtig.
b) und c) müssten ziemlich ähnlich gehen, die kannst du ja mal alleine versuchen.
Bei den anderen müsste ich jetzt erstmal überlegen, und ich weiß nicht, ob ich auf eine Lösung käme... Das kann ja mal jemand anders versuchen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Mi 14.06.2006 | | Autor: | Ben2007 |
Danke für eure Tipps und Lösungen..habe soweit es geht bei den Aufgaben es verstanden und das gemacht, was ich konnte...
> Mmh - wenn's zu schwierig ist, solltest du es vielleicht besser lassen und
> dann richtig mit dem 1. Semester anfangen!?
Also 4 Wochen vor Ende möchte ich nicht Aufgeben, habe bislang jedes Blatt bestanden und nach diesem brauche ich nur noch eins um für die Prüfung zugelassen zuwerden. Ist nur der Geometrie-Kram, der mich so jetz runter zieht. Aber vll wird dazu ja noch was in den Vorlesungen gesagt :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:04 Mi 14.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
d)bei einer Drehung um [mm] \alpha [/mm] wird (1,0) zu [mm] (cos(\alpha),sin(\alpha) [/mm] und (0,1) zu [mm] (-sin\alpha,cos\alpha)
[/mm]
(eigentlich Spalten)
e) mals auf, was aus den Basisvektoren wird,
f) zur letzten Frage: [mm] sin30°=1/2*\wurzel{3}; [/mm] cos30°=1/2
zusammen mit d geben dir die Antwort.
Vorletzte Frage, wann ist eine Abbildung linear nach Definition, und dann zeigen dass eine Vorrausetzung nicht gilt. (Translation bedeutet ja zu jedem Vektor einen festen Vektor a addieren)
Gruss leduart
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