Geometrie auf Kugel < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Mi 04.12.2013 | | Autor: | algieba |
Hallo
Mein Problem ist folgendes.
Ich habe zwei Punkte auf einer Kugeloberfläche. Die Punkte sind in Kugelkoordinaten gegeben.
Nun möchte ich überprüfen, ob die Verbindungsstrecke der beiden Punkte auf der Kugel einen bestimmten Breitenkreis schneidet (in meinem speziellen Fall [mm] $0^\circ, \pm 22.5^\circ, \pm 45^\circ, \pm 67.5^\circ$) [/mm]
Zu erkennen ob ein Breitengrad geschnitten wird ist ja relativ einfach. Man schaut sich einfach den Polarwinkel der beiden Punkte an, und schaut ob einer der Breitenkreise dazwischen liegt.
Nur leider weiß ich nicht genau, wie ich den Schnittpunkt dann auch ausrechnen kann, da ich mit Geometrie auf der Kugel nicht wirklich vertraut bin.
Viele Grüße und vielen Dank
|
|
| |
|
> Hallo
>
> Mein Problem ist folgendes.
> Ich habe zwei Punkte auf einer Kugeloberfläche. Die
> Punkte sind in Kugelkoordinaten gegeben.
> Nun möchte ich überprüfen, ob die Verbindungsstrecke der
> beiden Punkte auf der Kugel einen bestimmten Breitenkreis
> schneidet (in meinem speziellen Fall [mm]0^\circ, \pm 22.5^\circ, \pm 45^\circ, \pm 67.5^\circ[/mm])
> Zu erkennen ob ein Breitengrad geschnitten wird ist ja
> relativ einfach. Man schaut sich einfach den Polarwinkel
> der beiden Punkte an, und schaut ob einer der Breitenkreise
> dazwischen liegt. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Leider stimmt dies nicht einmal. Vor vielen Jahren
hatte ich einmal einen Direktflug von London nach Chicago
und staunte nicht schlecht, als ich einmal nach längerem
Schlaf erwachte, rausguckte und unter mir Eisberge und
dann die flache Tundra von Labrador mit ihren Hunderten
von Seen erblickte. Offenbar waren wir da an einem Ort,
der weit nördlich sowohl von London als auch von Chicago
liegt !
Diesen Effekt kannst du dir anhand eines Globus oder
auch schon anhand eines Balls klar machen, auf dem
du die Pole markierst und Flugrouten zwischen zwei
Punkten A und B durch einen über den Ball gespannten
Faden veranschaulichst.
> Nur leider weiß ich nicht genau, wie ich den Schnittpunkt
> dann auch ausrechnen kann, da ich mit Geometrie auf der
> Kugel nicht wirklich vertraut bin.
Naja, wenn du dich noch nie mit sphärischer Trigonometrie
auseinandergesetzt hast, ist es wohl nicht ganz leicht.
Es gibt da solche Sätze wie einen "Sinussatz" und mehr
als nur einen "Cosinussatz" für Kugeldreiecke.
Gewisse Berechnungen könnte man aber etwa auch
mittels Vektorgeometrie (Skalarprodukt, Vektorprodukt)
durchführen.
Ich schlage vor, dass du mal eine konkrete Aufgabe
angibst, z.B. :
"In welchen Punkten überquert man auf der kürzest
möglichen Flugroute (Großkreiskurs) von Berlin nach
San Francisco den Polarkreis ?" Ob solch ein Flug
wirklich angeboten wird, weiß ich zwar nicht ...
Also gib bitte dein eigenes Beispiel an !
Und teile bitte mit, wie weit du dich in Vektor-
geometrie auskennst. Sollte ja eigentlich gut gehen -
ev. auch mit sphärischer Trigo ?
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Fr 06.12.2013 | | Autor: | algieba |
Hallo
Danke für deine Antwort.
Mein konkretes Problem ist folgendes:
Ich habe einige Punkte auf der Kugeloberfläche. Diese Punkte sind die Eckpunkte einer Fläche auf der Kugeloberfläche. Die Verbindungsstrecken, und damit der Rand der Fläche sind natürlich Großkreise.
Leider kann ich eine runde Fläche in meinem Programm nicht darstellen, daher muss ich die Kugel in Flächen zerlegen (Meshing). Dieses Meshing wurde so gelöst, dass im Normalfall eben nur die im ersten Post genannten Breitenkreise vorhanden sind (0, 22.5, 45, 67.5) und der Äquator wird in ein 16-Eck zerlegt, und an den Ecken werden die entsprechenden Längenkreise bis an die Pole geführt. Dadurch entstehen dann die Flächen.
Ich habe die Verbindungsstrecken der Eckpunkte auch schon durch Polygone angenähert (16-eck), von daher dürfte der Abstand nie so groß sein, dass so ein Problem auftauchen kann, wie dass das du beschrieben hast (Flug von London nach Chicago). Meine Methode sollte meiner Überlegung nach eigentlich funktionieren.
Ich möchte nun also diese Fläche aus der Kugel ausschneiden, und das ursprüngliche Meshing beibehalten. Ich benötige dazu alle Punkte im Inneren und am Rand der Fläche die an den Schnittpunkten von den genannten Längen- und Breitenkreisen liegen.
Ich denke schon dass ich mir alles erarbeiten kann, die Fähigkeit müsste ich nach einigen Jahren Mathestudium schon haben. Jedoch habe ich mich mit dem Thema noch nie befasst, und weiß auch gar nicht nach welchen Stichworten ich da suchen muss. Vektorgeometrie dürfte kein Problem sein.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
> Hallo
>
> Danke für deine Antwort.
> Mein konkretes Problem ist folgendes:
> Ich habe einige Punkte auf der Kugeloberfläche. Diese
> Punkte sind die Eckpunkte einer Fläche auf der
> Kugeloberfläche. Die Verbindungsstrecken, und damit der
> Rand der Fläche sind natürlich Großkreise.
> Leider kann ich eine runde Fläche in meinem Programm
> nicht darstellen, daher muss ich die Kugel in Flächen
> zerlegen (Meshing). Dieses Meshing wurde so gelöst, dass
> im Normalfall eben nur die im ersten Post genannten
> Breitenkreise vorhanden sind (0, 22.5, 45, 67.5) und der
> Äquator wird in ein 16-Eck zerlegt, und an den Ecken
> werden die entsprechenden Längenkreise bis an die Pole
> geführt. Dadurch entstehen dann die Flächen.
>
> Ich habe die Verbindungsstrecken der Eckpunkte auch schon
> durch Polygone angenähert (16-eck), von daher dürfte der
> Abstand nie so groß sein, dass so ein Problem auftauchen
> kann, wie dass das du beschrieben hast (Flug von London
> nach Chicago). Meine Methode sollte meiner Überlegung nach
> eigentlich funktionieren.
>
> Ich möchte nun also diese Fläche aus der Kugel
> ausschneiden, und das ursprüngliche Meshing beibehalten.
> Ich benötige dazu alle Punkte im Inneren und am Rand der
> Fläche die an den Schnittpunkten von den genannten
> Längen- und Breitenkreisen liegen.
>
> Ich denke schon dass ich mir alles erarbeiten kann, die
> Fähigkeit müsste ich nach einigen Jahren Mathestudium
> schon haben. Jedoch habe ich mich mit dem Thema noch nie
> befasst, und weiß auch gar nicht nach welchen Stichworten
> ich da suchen muss. Vektorgeometrie dürfte kein Problem
> sein.
>
> Viele Grüße
Hallo Gamma Leonis 
ein Stück weit verstehe ich nun das Problem, aber
vielleicht doch noch nicht ganz. Du betrachtest also
im Prinzip eine Abbildung der Kugeloberfläche auf
so etwas wie eine Discokugel mit 128 Facetten (wovon
96 gleichschenklige Trapeze und 32 gleichschenklige
Dreiecke) ...
Dabei möchtest du (bitte korrigieren, falls es nicht
zutrifft), dass Großkreisbögen innerhalb jeder einzel-
nen Facette als gerade Strecken abgebildet werden.
Diese Abbildung könntest du natürlich beschreiben,
ohne wirklich sphärische Geometrie zu bemühen,
wenn du jeweils die Ebene des betreffenden Groß-
kreises mit der Ebene der betreffenden Facette
(oder mit deren Kanten) schneidest. Auf diese Weise
läuft dann praktisch alles mit linearen Gleichungs-
systemen ab. Es stellen sich aber dann bestimmt
auch weitere Fragen.
Die Lösung mit Vektorgeometrie habe ich schon be-
schrieben. Analog könnte ich eine kurze Anleitung
für den Weg mit sphärischen Dreiecken geben, falls
erwünscht. Wäre auch für mich eine gute Repetition,
und bestimmt nützlich für Andere, die hier reingucken ...
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Mo 09.12.2013 | | Autor: | algieba |
Hallo Al-Chwarizmi
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung. So weit ich das sehe hast du mein Problem auch richtig erfasst. Deine Lösung kann ich nachvollziehen, und ich werde es auf diese Weise einmal versuchen. Die Schnittpunkte mit den Längenkreisen werden ja wohl ähnlich funktionieren wie bei den Breitenkreisen.
Ich wäre aber auch an der Lösung mit sphärischen Dreiecken interessiert. Wenn ich es vielleicht auch nicht benutze, ist es vielleicht gut für andere, und wenn es für dich eine gute Repetition ist, dann ist es ja auch super. Und ich interessiere mich immer für neue Sachen, die ich noch nicht kenne.
Viele Grüße
algieba (Gamma Leonis)
(endlich hat mal jemand erkannt wo mein Name herkommt. Manche haben mich auch schon Algebra genannt! )
|
|
|
| |
|
> Hallo Al-Chwarizmi
>
> Vielen Dank für die ausführliche Erklärung. So weit ich
> das sehe hast du mein Problem auch richtig erfasst. Deine
> Lösung kann ich nachvollziehen, und ich werde es auf diese
> Weise einmal versuchen. Die Schnittpunkte mit den
> Längenkreisen werden ja wohl ähnlich funktionieren wie
> bei den Breitenkreisen.
>
> Ich wäre aber auch an der Lösung mit sphärischen
> Dreiecken interessiert. Wenn ich es vielleicht auch nicht
> benutze, ist es vielleicht gut für andere, und wenn es
> für dich eine gute Repetition ist, dann ist es ja auch
> super. Und ich interessiere mich immer für neue Sachen,
> die ich noch nicht kenne.
Ich hatte es auch schon vor - jetzt gibst du mir den
Anstoß, es wirklich auch zu tun ! Notizen dazu habe
ich mir schon gemacht.
> Viele Grüße
> algieba (Gamma Leonis)
> (endlich hat mal jemand erkannt wo mein Name herkommt.
> Manche haben mich auch schon Algebra genannt! )
Naja, schließlich ist für mich Astronomie schon sehr
lange auch ein wichtiges Interessengebiet ...
Im Vergleich zu unserer Sonne scheint es sich bei
[mm] \gamma [/mm] Leonis um einen ziemlichen Brocken zu handeln.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> Ich habe zwei Punkte auf einer Kugeloberfläche.
> Die Punkte sind in Kugelkoordinaten gegeben.
> Nun möchte ich überprüfen, ob die Verbindungs-
> strecke der beiden Punkte auf der Kugel einen
> bestimmten Breitenkreis schneidet.
Hallo,
ich möchte mal zeigen, wie man dies mittels
Vektorgeometrie untersuchen und die allfälligen
Schnittpunkte berechnen kann.
Bezeichnen wir zunächst die Ortsvektoren der
beiden gegebenen Punkte mit A und B :
$\ A\ =\ [mm] \pmat{cos\ \varphi_A*cos\ \lambda_A\\ cos\ \varphi_A*sin\ \lambda_A \\ sin\ \varphi_A}\qquad \quad [/mm] \ B\ =\ [mm] \pmat{cos\ \varphi_B*cos\ \lambda_B\\ cos\ \varphi_B*sin\ \lambda_B \\ sin\ \varphi_B}$
[/mm]
Dabei ist natürlich der Kugelradius gleich 1 gesetzt.
[mm] \lambda_A [/mm] und [mm] \lambda_B [/mm] sind dabei die geografischen Längen,
[mm] \varphi_A [/mm] und [mm] \varphi_B [/mm] die geometrischen Breiten von A und B.
Nun berechnet man sich das vektorielle Produkt $\ N\ =\ [mm] A\times [/mm] B$
und hat damit einen Normalenvektor für die von A und B
aufgespannte Ebene, auf deren Schnittkreis mit der
Kugel der kürzestmögliche Weg zwischen den Punkten
A und B auf der Kugeloberfläche [mm] \Sigma [/mm] liegt. Nennen wir diese
Ebene E. Ihre Gleichung lautet:
$\ [mm] E\,:\ [/mm] \ N*X\ =\ 0$
wobei X für den Ortsvektor $\ X\ =\ [mm] \pmat{x\\y\\z}$ [/mm] eines beliebigen
Punktes in E steht.
Nun betrachten wir den Breitenkreis k, für den geprüft
werden soll, ob und wo er vom Großkreisbogen durch
die Punkte A und B geschnitten wird. Von diesem
Breitenkreis k sei der Breitenwinkel [mm] \varphi_k [/mm] gegeben.
Der Kreis k liegt in der Ebene $\ [mm] H:\quad [/mm] z\ =\ [mm] sin(\varphi_k)$ [/mm] .
Gesucht sind nun die allfälligen Schnittpunkte der
drei Flächen E, H und [mm] \Sigma. [/mm] Dazu berechnet man
etwa zuerst die Gleichung (in x und y) der Schnittgeraden s
der beiden Ebenen E und H , indem man den gegebenen
Wert $\ z:=\ [mm] sin(\varphi_k)$ [/mm] in die Ebenengleichung einsetzt.
Dann muss (in der Ebene H) s mit dem Kreis k geschnitten
werden, welcher die Gleichung $\ [mm] x^2+y^2\ [/mm] =\ [mm] r_k^{\ 2}\ [/mm] =\ [mm] cos^2(\varphi_k)$ [/mm] hat.
Das daraus entstehende Gleichungssystem aus einer
linearen und einer quadratischen Gleichung kann gar kein,
ein oder zwei Lösungspaare [mm] (x_i,y_i) [/mm] haben, welche dann
zu Schnittpunkten von k mit dem durch A und B gelegten
Kugelgroßkreis führen. Im Falle der Existenz mindestens
einer Lösung wäre dann allenfalls noch zu prüfen, ob
ein solcher Punkt wirklich "zwischen" A und B liegt.
Beispiel dazu: ein durch Berlin und Rom gehender Groß-
kreis schneidet den nördlichen Polarkreis in 2 Punkten.
Trotzdem überquert man bei einem Flug von Berlin nach
Rom (in der Regel ... ) weder den nördlichen noch den
südlichen Polarkreis ...
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
Hallo,
hier nun noch eine Anleitung für die Lösung mit
sphärischer Trigonometrie. Für Berechnungen
an Kugeldreiecken gibt es eine große Vielfalt an
Formeln, von welchen man aber in den meisten
Fällen doch nur recht wenige braucht.
Hier nur ein ![[]](/images/popup.gif) Link zu den wichtigsten Formeln
für das allgemeine sphärische Dreieck.
Wer damit noch nie zu tun hatte, soll sich den
Artikel etwas genauer anschauen und sich vor
allem klar machen, dass bei einem sphärischen
Dreieck ABC nebst den Winkeln [mm] \alpha, \beta,\gamma
[/mm]
auch die "Seiten" a, b, c durch Winkel dargestellt
werden. Beispielsweise ist die "Seite" a, welche die
Eckpunkte B und C verbindet, zu identifizieren mit
dem Winkel [mm] \angle{BOC} [/mm] , wobei O der Koordinatenursprung
eines Koordinatensystems im Mittelpunkt der
Einheitskugel ist, auf deren Oberfläche die Punkte
A,B,C liegen. Diese Identifikation von Seitenlängen
mit Winkeln ist absolut natürlich, nämlich im
Sinne des Bogenmaßes von Winkeln.
Nun zur vorliegenden Aufgabe: Gegeben seien
zwei Punkte A und B auf der Kugeloberfläche
durch ihre Kugelkoordinaten [mm] (\lambda_A, \varphi_A) [/mm] , [mm] (\lambda_B, \varphi_B)
[/mm]
sowie ein Breitenkreis k der Kugel zu einem vorge-
gebenen Breitenwinkel [mm] \varphi. [/mm] Gesucht sind die
Schnittpunkte des Großkreises g durch A und B
mit dem Breitenkreis k.
Nun betrachtet man am besten zunächst das
Kugeldreieck mit den Eckpunkten A (im Bsp.
etwa London), B (im Bsp. Tokio) und C = Nordpol.
Von diesem Dreieck sind uns drei Stücke bekannt:
Seite a (von B zu C) = 90° - [mm] \varphi_B
[/mm]
Seite b (von A zu C) = 90° - [mm] \varphi_A
[/mm]
Winkel [mm] \gamma [/mm] = [mm] \angle [/mm] BCA = [mm] \lambda_B [/mm] - [mm] \lambda_A
[/mm]
Berechnen wir zunächst die dritte Seite c
(Länge des Großkreisbogens von A nach B) nach
dem Seitencosinussatz:
$\ cos(c)\ =\ [mm] cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b)*cos(\gamma)$
[/mm]
$\ =\ [mm] sin(\varphi_B)*sin(\varphi_A)+cos(\varphi_B)*cos(\varphi_A)*cos(\lambda_B [/mm] - [mm] \lambda_A)$
[/mm]
Falls wir mit c wirklich den kürzestmöglichen Groß-
kreisbogen von A nach B meinen, wird c durch diese
Gleichung eindeutig festgelegt.
Im zweiten Schritt kann man nun mit dem einfachsten
Satz der sphärischen Trigonometrie, nämlich dem
Sinussatz, die fehlenden Winkel [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] des
Dreiecks ABC berechnen. Da man dabei die Winkel aus
ihren Sinuswerten bestimmen muss, hat man allerdings
mögliche Zweideutigkeiten (spitzer oder stumpfer Winkel).
Um dies zu vermeiden, könnte man die Napier-Gleichungen
für [mm] tan\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) [/mm] und [mm] tan\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) [/mm] heranziehen und daraus
die Winkel eindeutig berechnen.
Nun kommt der Breitenkreis k auf der Breite [mm] \varphi [/mm] ins
Spiel. Nehmen wir einmal an, er hätte einen Schnitt-
punkt P mit der Seite c (Bogen AB). Dann können wir
das zuerst betrachtete Dreieck ABC in die zwei Teil-
dreiecke APC und PBC zerlegen. Für die weitere
Berechnung genügt es, eines davon zu betrachten.
Nehmen wir uns also etwa das Dreieck APC vor, von
dem uns die Seiten b = AC = 90° - [mm] \alpha [/mm] ,
h:= PC = 90° - [mm] \varphi [/mm] und (nach den bisherigen Berechnungen)
der Winkel [mm] \alpha [/mm] als bekannt zur Verfügung stehen.
Für den Winkel [mm] \delta [/mm] := [mm] \angle{APC} [/mm] kann man nach dem
Sinussatz wenigstens den Sinuswert berechnen. Liegt
der so berechnete Wert zwischen 0 und 1, gibt es
dann tatsächlich zwei mögliche Lösungen für die Lage
des Punktes P.
Es gilt nun noch , für den zu einem solchen Schnitt-
punkt P den zugehörigen Winkel ACP (am Pol C
gemessen) zu berechnen. Nennen wir diesen
einmal [mm] \psi [/mm] . Das zu lösende Problem ist also von der
Kategorie "SSW" (analog zu den Kongruenzsätzen
für ebene Dreiecke).
Zur Lösung kann man wieder eine Napier-Gleichung
heranziehen. Mit unseren Bezeichnungen:
$\ [mm] tan\left(\frac{\psi}{2}\right)\ [/mm] =\ [mm] \frac{cos \frac{h-b}{2}}{cos \frac{h+b}{2}}*cot \left(\frac{\alpha+\delta}{2}\right)$
[/mm]
Wegen den allenfalls vorliegenden 2 Lösungen für [mm] \delta
[/mm]
ergeben sich dann daraus ev. auch 2 Lösungen für [mm] \psi.
[/mm]
An dem Beispiel erkennt man natürlich schon ganz
gut, dass der Umgang mit sphärischer Trigonometrie
schon um einiges umständlicher ist als der mit der
"gewöhnlichen" ebenen Trigonometrie.
Die meisten Lehrbücher zum Thema haben schon
mehrere Jahrzehnte, wenn nicht gar Jahrhunderte
auf dem Buckel. Trotzdem ist natürlich sphärische
Trigonometrie eine wesentliche Grundlage für die
Astronomie (Sternkataloge mit Positionen von Millionen
von Objekten). Nur rechnet da seit ein paar Jahrzehnten
kein Schwein mehr "von Hand", sondern man stützt
sich auf die Hilfe von Programmen, welche die früher
sehr mühsame Rechenarbeit übernehmen.
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
|
