Geometrie Satz des Thales < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen sie die "Umkehrung" des Thalessatzes: Die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks liegen auf dem Kreis mit der Hypothenuse als Durchmesser |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe Problem diese Aufgabe zu lösen. Den Satz des Thales habe ich soweit verstanden. Ich kann nur die Umkehrung nicht beisen. Für eine erklärende Hilfestellung wäre ich dankbar
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Hallo, und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich finde es erst mal ziemlich komisch, die Umkehrung derartig zu formulieren. Weiter sollte man noch sagen, welchen Durchmesser der Kreis hat, nämlich genau d=Länge der Hypotenuse des Dreiecks.
Wir zeigen durch Widerspruch:
Sei also M der Mittelpunkt des Kreises mit Durchmesser d. Falls |MC|>|MA|, so auch |MC|>|MB|. In beiden entstandenen Teildreiecken sind dann die Winkel bei A und B größer als die Winkel bei C. Das gibt dann
[mm] \alpha+\beta>\gamma=90° [/mm] Widerspruch gegen den Winkelsummensatz.
Bei |MC|<|MA| ergibt sich [mm] \alpha+\beta<\gamma=90° [/mm] und somit also ebenfalls einen Widerspruch und fertig. [mm] \Box
[/mm]
Viele Grüße
Daniel
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| Aufgabe | Wir zeigen durch Widerspruch:
Sei also M der Mittelpunkt des Kreises mit Durchmesser d. Falls |MC|>|MA|, so auch |MC|>|MB|. In beiden entstandenen Teildreiecken sind dann die Winkel bei A und B größer als die Winkel bei C. Das gibt dann
Widerspruch gegen den Winkelsummensatz.
Bei |MC|<|MA| ergibt sich und somit also ebenfalls einen Widerspruch und fertig. |
Kannst du mir das bitte noch mal genau erklären?
|MC|>|MA|, so auch |MC|>|MB|. ist doch nicht möglich, aufgrund des gleichen Radius'. Daraus folgt auch nicht dass Winkel bei A und B größer seien können...
Sorry, gib mir einen Tipp, wie ich es verstehen kann.
Heißt "Umkehrung der Thalessatzes" = widersprüchlich=Unsinn?
Kannst du mir einen Tipp geben, was ich hinter den Punkten: Voraussetzung und Behauptung schreiben könnte?
Mein Vorschlag:
Voraussetzung: A,B,C [mm] \in [/mm] k(M,r)
Behauptung:AB=d(urchmesser)
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Hey
Umkehrung des Satzes von THALES-> ![[]](/images/popup.gif) guck ma hier Da kannst du sogar mit der Zeichnung rum spielen
und auch gut erklärt bei wiki
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Sa 09.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo zusammen,
wie man die Umkehrung des Satzes formuliert, ist ja letztlich unerheblich. Die hier genannte Formulierung ist völlig korrekt. Der hier aufgezeigte Beweis ist allerdings wirklich nicht einleuchtend und ich behaupte, es ist ein Ringschluss drin, also gar kein Beweis.
Ich gehe einmal aus von folgender Formulierung der Umkehrung:
Gegeben ist ein Kreis, dessen Durchmesser die Strecke AB und dessen Mittelpunkt M ist. Außerdem gibt es noch einen Punkt C, irgendwo.
Wenn der Winkel ACB (also der Winkel in C von dem Dreieck ABC) genau 90° beträgt, dann liegt der Punkt C auch auf dem Kreise.
Ein (wirklicher) Beweis steht auf meiner Homepage.
Ich bitte darum, dass ihr euch das mal anschaut und mir zurück meldet, ob die einzelnen Schritte und Folgerungen verständlich sind.
Übrigens kann man den Satz des Thales selbst ganz analog formulieren:
Gegeben ist ein Kreis, dessen Durchmesser die Strecke AB und dessen Mittelpunkt M ist. Außerdem gibt es noch einen Punkt C, irgendwo.
Wenn der Punkt C auch auf dem Kreise liegt, dann beträgt der Winkel ACB (also der Winkel in C von dem Dreieck ABC) genau 90°.
Bei diesen beiden Formulierungen kann man schön erkennen, dass das eine die Umkehrung des anderen ist. Es sind nur die Worte Wenn und Dann vertauscht (und der Satzbau von grammatikalischen Fehlern beseitigt).
Einen schönen Beweis zum Satz des Thales, den man selbst ein bisschen erarbeiten kann, gibt's übrigens bei realmath.
Mit freundlichem Gruß,
Manatu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 So 10.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo zusammen,
ich musste (leider) noch etwas korrigieren. Wer zwischen meiner letzten und dieser Antwort auf der Seite war, möge alles Gesehene bitte vergessen und jetzt erneut auf die Seite schauen:
Hier gibt es jetzt einen wirklichen und schülergerechten Beweis für die Umkehrung des Satz' des Thales.
Weiterhin bin ich dankbar für Hinweise, ob das verständlich ist, wie es dargestellt ist.
Mit freundlichen Grüßen,
Manatu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 So 10.02.2008 | | Autor: | weduwe |
mein vorschlag:
da im rechtwinkeligen dreieck (mit dem rechten winkel bei C) die mittelsenkrechte [mm] m_b [/mm] parallel zu a ist und durch den mittelpunkt D von b geht, folgt aus dem strahlensatz [mm] \overline{AD}: \overline{AC}=\frac{1}{2}= \overline{AM}: \overline{AB}\to \overline{AM}=\frac{1}{2}\overline{AB}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Do 21.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo weduwe,
das ist auch möglich, erfordert aber Kenntnis über die Strahlensätze. Und in Klasse 7, wo der Satz des Thales so wie seine Umkehrung bei uns in NRW behandelt werden, kennen die Schüler noch keine Strahlensätze. Das ist das Problem bei der Sache ...
Obwohl ich ja sagen muss, dass mir dieser Beweis im Grunde besser gefällt, als das Gebastle, dass ich selbst vorgeschlagen habe. Ist irgendwie eleganter.
Lieben Gruß,
Manatu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 21.02.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo weduwe,
>
> das ist auch möglich, erfordert aber Kenntnis über die
> Strahlensätze. Und in Klasse 7, wo der Satz des Thales so
> wie seine Umkehrung bei uns in NRW behandelt werden, kennen
> die Schüler noch keine Strahlensätze. Das ist das Problem
> bei der Sache ...
>
> Obwohl ich ja sagen muss, dass mir dieser Beweis im Grunde
> besser gefällt, als das Gebastle, dass ich selbst
> vorgeschlagen habe. Ist irgendwie eleganter.
>
> Lieben Gruß,
>
> Manatu
hallo manatu,
danke für die blumen.
ja das ist dann natürlich ein problem. da finde ich, sollte man die "reihenfolge der lehre" überprüfen.
als alter österreicher kenne ich halt diese lehrpläne nicht.
danke dir
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