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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Mi 29.08.2012 | | Autor: | RichardS |
| Aufgabe | Hallo,
nehmen wir an, dass es möglich ist, ein Rechteck mit den Seitenlängen a und mit, sodass gilt a kleiner gleich b, derart in ein rechtwinkliges Koordinatensystem zu legen, dass kein Punkt mit ganzzahligen Koordinaten (x und y) sich in seinem Inneren oder auf seinem Rand befindet. Ich habe herausgefunden, dass dann a<1 oder b<wurzel(2) gelten muss. Ich kriege es aber nicht hin, dies stichhaltig zu begründen. Könnte mir jemand helfen?
Vielen Dank im Voraus. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> nehmen wir an, dass es möglich ist, ein Rechteck mit den
> Seitenlängen a und mit, sodass gilt a kleiner gleich b,
> derart in ein rechtwinkliges Koordinatensystem zu legen,
> dass kein Punkt mit ganzzahligen Koordinaten (x und y) sich
> in seinem Inneren oder auf seinem Rand befindet. Ich habe
> herausgefunden, dass dann a<1 oder b<wurzel(2) gelten muss.
> Ich kriege es aber nicht hin, dies stichhaltig zu
> begründen. Könnte mir jemand helfen?
Hallo RichardS,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
falls du da schon etwas herausgefunden hast, dann erkläre
doch bitte einmal, wie du zu dieser Behauptung oder
Vermutung gekommen bist. Darin, dass du versuchst, diese
Idee zu formulieren und rüberzubringen, steckt ja vielleicht
schon der Kern einer möglichen Lösung !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Mi 29.08.2012 | | Autor: | RichardS |
Hallo, danke für deine Antwort.
Die Diagonale eines Kästchens hat gemäß dem Satz des Pythagoras die Länge wurzel(2), die Seitenlänge eines Kästchens ist 1. Versucht man das Rechteck so in das K-System zu legen, dass beide Seiten zu jeweils einer K-Achse parallel sind, so muss immer a<1 gelten, b beliebig, dies ist ohne Weiteres klar. Versucht man das Rechteck "schief" in das K-System zu legen,... dann wirds komplizierter. Hier scheitere ich. Es wird zwar anschaulich klar, dass immer, sodass keine Punkte mit ganzzahligen Koordinaten auf diesem liegen, a<1 oder b<wurzel(2) gelten muss.
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Hallo Richard,
hier ist eine kleine Skizze deines Problems:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielleicht hilft dir das ja bei deinen Überlegungen.
Schöne Grüße
franzzink
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 29.08.2012 | | Autor: | RichardS |
Hi franzzink,
ja, so habe ich mir das gedacht, diese Variante habe ich mit b<wurzel(2) berücksichtigt. Etwas Neues kann ich mir aus deiner Skizze leider nicht erschließen.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Mi 29.08.2012 | | Autor: | franzzink |
Na ja, was muss denn für a gelten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Mi 29.08.2012 | | Autor: | RichardS |
Ich hab im Ausgangspost geschrieben, dass wenn es möglich ist, das Rechteck derart zu platzieren, dass kein Punkt mit ganzzahligen Koordinaten sich auf ihm befindet, a<1 oder b<wurzel(2) gilt. Ich scheitere daran, dies zu begründen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Mi 29.08.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo RichardS,
> Ich hab im Ausgangspost geschrieben, dass wenn es möglich
> ist, das Rechteck derart zu platzieren, dass kein Punkt mit
> ganzzahligen Koordinaten sich auf ihm befindet, a<1 oder
> [mm] b<\wurzel{2} [/mm] gilt.
Das ist eigenartig formuliert.
Nimms mal so: das größte Quadrat, das die Bedingungen erfüllt, ist minimal kleiner als das, das franzzink Dir gezeichnet hat.
Ein größtes Rechteck gibt es nicht. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, unendlich lange Streifen mit parallelen Seiten unterzubringen. Aus denen kann man sich dann ein beliebig langes Rechteck herausschneiden.
Allerdings hat die größte Höhe (die bei Dir die Seite a entspricht) ein solcher Streifen, wenn er parallel zu den Koordinatenachsen liegt. Dann kann er fast die Höhe 1 erreichen, muss aber eben darunter bleiben.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
ich denke, dass RichardS die wesentliche Idee schon erfasst
hat und wohl auch die richtige Lösung sieht. Es geht keines-
wegs um Rechtecke größten Flächeninhaltes (dieser kann
natürlich beliebig groß werden).
Allerdings ist es nicht ganz leicht, die intuitiv auffindbare
Lösung wirklich mit klaren geometrischen Argumenten
festzunageln.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Mi 29.08.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
meine Schwierigkeiten liegen nicht in der Lösung, sondern bei der Aufgabe.
Wie lautet sie eigentlich?
Erst dann kann man doch eine Lösung formulieren.
Ihr scheint Euch hier schon alle nur noch darüber zu unterhalten, wie man die Lösung eigentlich am besten zeigt.
Ich stecke noch einen Schritt davor fest.
Wenn also jemand mal formulieren könnte, was hier eigentlich gerade gelöst werden soll, würde ich mich womöglich auch daran beteiligen. 
So wie jetzt jedenfalls ist mir vollkommen unverständlich, wo eigentlich die [mm] \wurzel{2} [/mm] herkommt. Die wäre klar, wenn es um Quadrate ginge, sonst nicht.
Die Formulierung "entweder ist $a<1$ oder [mm] $b<\wurzel{2}$" [/mm] ist in der vorliegenden Form nicht wirklich sinnvoll.
Liebe Grüße
reverend
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> Hallo Al,
>
> meine Schwierigkeiten liegen nicht in der Lösung, sondern
> bei der Aufgabe.
>
> Wie lautet sie eigentlich?
> Erst dann kann man doch eine Lösung formulieren.
>
> Ihr scheint Euch hier schon alle nur noch darüber zu
> unterhalten, wie man die Lösung eigentlich am besten
> zeigt.
>
> Ich stecke noch einen Schritt davor fest.
>
> Wenn also jemand mal formulieren könnte, was hier
> eigentlich gerade gelöst werden soll, würde ich mich
> womöglich auch daran beteiligen.
>
> So wie jetzt jedenfalls ist mir vollkommen unverständlich,
> wo eigentlich die [mm]\wurzel{2}[/mm] herkommt. Die wäre klar, wenn
> es um Quadrate ginge, sonst nicht.
>
> Die Formulierung "entweder ist [mm]a<1[/mm] oder [mm]b<\wurzel{2}[/mm]" ist
> in der vorliegenden Form nicht wirklich sinnvoll.
>
> Liebe Grüße
> reverend
Hallo reverend,
die Idee war folgendermaßen formuliert:
nehmen wir an, dass es möglich ist, ein Rechteck mit den Seitenlängen a und mit, sodass gilt a kleiner gleich b, derart in ein rechtwinkliges Koordinatensystem zu legen, dass kein Punkt mit ganzzahligen Koordinaten (x und y) sich in seinem Inneren oder auf seinem Rand befindet. Ich habe herausgefunden, dass dann a<1 oder b<wurzel(2) gelten muss.
etwas geglättet und ergänzt:
Ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b mit [mm] $\blue{ 0
Dann muss a<1 oder [mm] \blue{b<\sqrt{2}} [/mm] gelten.
Leicht ist jedenfalls zu erkennen, dass "lange" Rechtecke (mit [mm] b\gg1), [/mm] welche keine Gitterpunkte enthalten, jedenfalls "schmal" sein müssen, genauer: a<1 (a ist abmachungsgemäß die kleinere der beiden Seitenlängen).
Falls a<1, ist nichts weiter zu beweisen. Zu betrachten sind also nur noch Rechtecke mit [mm] a\ge1 [/mm] , und es ist zu prüfen, ob und wie man unter dieser Voraussetzung zeigen kann, dass dann jedenfalls die längere Seite b kleiner als [mm] \sqrt{2} [/mm] sein muss.
Den Winkel [mm] \alpha [/mm] , den franzzink schon eingeführt hat, zu betrachten, ist für die Lösung sehr hilfreich. Man könnte [mm] \alpha [/mm] definieren als den kleineren der beiden Winkel zwischen einer Langseite (b) des Rechtecks und der x-oder y-Achse. Für diesen Winkel kommen dann nur Werte von 0° bis 45° in Frage. Man kann ein mögliches Rechteck immer so legen (ev. an der Geraden y=x spiegeln), dass [mm] \alpha [/mm] der Winkel zwischen der Langseite und der x-Achse ist.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Mi 29.08.2012 | | Autor: | franzzink |
Noch eine Abbildung. Wird es jetzt klarer?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Mi 29.08.2012 | | Autor: | RichardS |
Okay, ich denke du wolltest darauf hinaus, dass bei Drehung um den Mittelpunkt die Seitenlänge nicht größer wird (Dreiecksungleichung). Aber was ist mit den Fällen, in denen das Rechteck nicht derart platziert wird, dass sein Mittelpunkt mit dem eines "Kästchens" zusammenfällt? Es "könnte" ja sein, dass dort a>=1 und b>=wurzel(2) gilt, ohne dass ein Punkt mit ganzzahligen Koordinaten auf dieses fällt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Mi 29.08.2012 | | Autor: | franzzink |
> Okay, ich denke du wolltest darauf hinaus, dass bei Drehung
> um den Mittelpunkt die Seitenlänge nicht größer wird
> (Dreiecksungleichung).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig, erkannt.
[mm] \bruch{b}{2} [/mm] kann nie größer werden als $ d $, was bei $ [mm] \alpha [/mm] = 45° $ der Fall ist. Ich finde das anschaulich klar - auch ganz ohne formalen Beweis.
> Aber was ist mit den Fällen, in
> denen das Rechteck nicht derart platziert wird, dass sein
> Mittelpunkt mit dem eines "Kästchens" zusammenfällt?
Wenn die Mittelpunkte von Rechteck und "Kästchen" nicht zusammenfallen, dann "verschenkst" du sozusagen Platz: das Rechteck wird nach wie vor zuerst auf einer Seite "anstoßen", während auf der gegenüberliegenden Seite "noch Platz ist". Das Rechteck fällt in diesem Fall kleiner aus als es ausfallen könnte. - Auch dies finde ich sehr anschaulich.
> Es
> "könnte" ja sein, dass dort a>=1 und b>=wurzel(2) gilt,
> ohne dass ein Punkt mit ganzzahligen Koordinaten auf dieses
> fällt.
Wenn du willst, kann du diesen Fall jetzt noch ganz formal durch Rechnung ausschließen:
Es gilt ja: [mm] a \ge 1 \quad \gdw \quad c \ge \bruch{1}{2} [/mm]
[mm] \bruch{b}{2} [/mm] wird in diesem Fall nicht größer als [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] sein...
P.S.: Verwende doch auch den Formeleditor. Er ist leicht verständlich und es macht es für jeden von uns einfacher zu lesen, was der andere geschrieben hat.
P.P.S.: Noch eine Idee, wie du dir dies vielleicht veranschaulichen kannst:
Zeichne doch auf ein DIN A4 Blatt ein großes Quadrat mit Kantenlänge a.
Aus einem zweiten Blatt schneidest du ein Rechteck mit den Kantenlängen [mm] $\wurzel{2}*a [/mm] $ und a aus. Jetzt kannst du das Rechteck drehen und wenden wie du willst: es wird immer mindestens zwei Eckpunkte des Quadrats berühren...
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