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| Aufgabe | Gegeben sei ein Parallelogramm ABCD. Die Seitenmitten seien entsprechend der Abbildung
mit E, F, G, H bezeichnet. Die Verbindungslinien AE , BF , CG , DH schneiden im Inneren des
Parallelogramms ein Viereck KLMN aus.
a. Beweise, dass das Viereck KLMN ein Parallelogramm ist.
b. Berechne, welcher Teil der Fläche des Ausgangsparallelogramms ABCD vom Viereck
KLMN bedeckt wird. |
kann mir jemand hier weiterhelfen? vor allem aufgabe b) scheint mir sehr schwer.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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Hallo Ronja,
zwar sehe ich keine Abbildung, aber es erschien mir sinnvoll die Punkte folgendermaßen zu legen:
A unten links, B unten rechts, C oben rechts und D oben links.
E zwischen B und C, F zwischen C und D, G zwischen D und A, H zwischen A und B. (Hauptsache so, dass die Verbindungslinien nicht gerade auf den Rändern liegen).
Dann ist klar, dass bei Parallelogrammen gegenüberliegende Seiten immer gleiche Längen haben, also z.B. BC = DA und damit auch EC = GA. Und EC || GA. Deswegen muss auch AE || CG sein. Analog kannst du BF || DH zeigen, und Teil a) ist gelöst.
Zu Teil b) kann ich jetzt nicht so viel sagen. Ich würde sagen, setz einfach mal die Formeln die du für die Flächen hast, ins Verhältnis zueinander, schau wo du was einsetzen kannst, dass sie dann möglichst viel wegkürzen lässt. Viel Erfolg!
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hallo,
erst einmal danke für die schnelle antwort. alsoder teil a war wirklich nicht schwer, dafür komme ich aber immer noch nicht bei b weiter. ich kann das parallelogramm wohl in viele dreiecke aufteilen, doch erhalte ich dann auch 4 unterschiedliche höhen, die mich kein verhältnis ausrechnen lassen. durch messen erhielt ich das ergebnis, dass das innere parallelogramm eigentlich einen flächeninhalt von ca. 38,36% vom großen betragen müsste. doch wie kann ich das ausrechnen?
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo Ronja,
du kommst weiter, wenn es dir gelingt, folgende drei Flächenbeziehungen zu zeigen.
- $ [mm] A_{BCF}=A_{CDG}=A_{DAH}= A_{ABE}=\bruch{1}{4}*A_{ABCD}$ [/mm]
- $ [mm] A_{DGN}=\bruch{1}{4}*A_{DAK}$ [/mm]
- $ [mm] A_{DGN}=\bruch{1}{5}*A_{DGC}$ [/mm]
Die erste ist ziemlich einfach.
Die anderen schwieriger. Aber alle lassen sich dadurch begründen, dass du es mit Parallelen zu tun hast.
Gruß Karthagoras
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Ronja,
> hallo,
> erst einmal danke für die schnelle antwort. alsoder teil a
> war wirklich nicht schwer, dafür komme ich aber immer noch
> nicht bei b weiter. ich kann das parallelogramm wohl in
> viele dreiecke aufteilen, doch erhalte ich dann auch 4
> unterschiedliche höhen, die mich kein verhältnis ausrechnen
> lassen. durch messen erhielt ich das ergebnis, dass das
> innere parallelogramm eigentlich einen flächeninhalt von
> ca. 38,36% vom großen betragen müsste. doch wie kann ich
> das ausrechnen?
Gut gemessen, es sind [mm] \frac25 [/mm] also 40%
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aber im Einzelnen:
- Es gibt vier große Dreiecke, nämlich BCF, CDG, DAH und ABE. Jedes dieser Dreiecke hat einen Flächeninhalt von 25% des Parallelogramms.
[mm] ($\Delta{}BCF\cong{}\Delta{}BFH\cong{}\Delta{}DHF\cong{}\Delta{}DAH$)
[/mm][mm] [li]$\Delta{}DGN \mbox{ ist ähnlich zu }\Delta{}DAK\mbox{. Außerdem }\overline{DG}=\overline{GA}$
[/mm][mm] $\mbox{Daher beträgt der Flächeninhalt}\Delta{}DGN \mbox{ 25\% vom }\Delta{}DAK$[/li]
[/mm][mm] [li]$\overline{KH}=\frac{1}{2}\overline{NK}=\frac{1}{4}\overline{DK}=\frac{1}{5}\overline{DH}$
[/mm]das heißt:
[mm] $\Delta{}AHL=\frac{1}{4}\Delta{DAK}=\frac{1}{5}\Delta{}DAH$[/li]
[/mm]
Die Möglichkeit die anderen großen Dreiecke zu zerlegen, gilt sinngemäß.
Gruß Karthagoras
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 20.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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