Gekoppelte Experimente < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Mi 30.09.2009 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Df: seien [mm] \Delta_{1}, \Delta_{2} [/mm] endliche Ergebnismengen mit Wahrscheinlichkeiten [mm] p_{1} [/mm] und [mm] p_{2}
[/mm]
Das zweistufige Experiment ist gegeben durch die Wahrscheinlichkeiten [mm] p(w_{1}, w_{2})=p_{1}(w_{1})p_{2}(w_{1};w_{2})
[/mm]
Für das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß P gilt also:
[mm] P(A_{1}xA_{2})=\summe_{(w_{1},w_{2}) \in A_{1}xA_{2}}^{}p(w_{1},w_{2})=\summe_{w_{1} \in A_{1}}^{}p_{1}(w_{1}) \summe_{w_{2} \in A_{2}}^{}p_{2}(w_{1};w_{2}) [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe ein Verständnisproblem bzgl obiger Definition.
Mein Problem liegt an der markierten Stelle:
[mm] P(A_{1}xA_{2})=\summe_{(w_{1},w_{2}) \in A_{1}xA_{2}}^{}p(w_{1},w_{2}) [/mm] = [mm] \summe_{w_{1} \in A_{1}}^{}p_{1}(w_{1}) \summe_{w_{2} \in A_{2}}^{}p_{2}(w_{1};w_{2})
[/mm]
Also klar wäre mir:
[mm] P(A_{1}xA_{2})=\summe_{(w_{1},w_{2}) \in A_{1}xA_{2}}^{}p(w_{1},w_{2}) [/mm] = [mm] \summe_{w_{1} \in A_{1}, w_{2} \in A_{2}}^{}p_{1}(w_{1})p_{2}((w_{1};w_{2})
[/mm]
Mir ist klar, dass beim Ausmultiplizieren der ersten Variante einige Produkte wegfallen würden, weil diese Ereignisfolgen unmöglich sind, die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten also gleich 0 wären und so das Gleiche wie in Variante 2 herauskommen würde. Aber, wenn ich nicht ausmultiplizieren würde sähe das ganze doch wie folgt aus und warum dann das selbe herauskommen soll versteh ich nicht.
Denn bei einem Experiment mit zwei möglichen, gleichwahrscheinlichen Ergebnissen würde zwar das selbe rauskommen, aber wenn man von folgendem ausgeht, drücken die beiden Ausdrücke doch nicht das Selbe aus, oder?
Der Baum ist vereinfacht dargestellt, d.h. ich zeige nur die benötigten Äste auf. Die kursiv gedruckten Angaben beschreiben die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.
1 1/4 0 (weil wir ja -1 brauchen)
1/4
0 1/2 0 1/2 0 (weil wir ja 0 brauchen)
1/4
-1 1/4 0 (weil wir ja 1 brauchen)
nach Df würde gelten:
[mm] \summe_{w_{1} \in A_{1}}^{}p_{1}(w_{1}) \summe_{w_{2} \in A_{2}}^{}p_{2}(w_{1};w_{2})=(p_{1}(0)+p_{1}(1)+p_{1}(-1))(p_{2}(0;0)+p_{2}(1;0)+p_{2}(-1;0))=1
[/mm]
nach Variante 2 würde aber gelten:
[mm] p_{1}(0)p_{2}((0;0)+p_{1}(1)p_{2}((1;0)+p_{1}(-1)p_{2}(-1;0)=1/4+1/16+1/16=3/8
[/mm]
Ihr seht irgendwas stimmt in meinen Gedanken nicht. Wär nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte sie neu zu ordnen.
Danke schon mal und viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:56 Do 01.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> Df: seien [mm]\Delta_{1}, \Delta_{2}[/mm] endliche Ergebnismengen
> mit Wahrscheinlichkeiten [mm]p_{1}[/mm] und [mm]p_{2}[/mm]
>
> Das zweistufige Experiment ist gegeben durch die
> Wahrscheinlichkeiten [mm]p(w_{1}, w_{2})=p_{1}(w_{1})p_{2}(w_{1};w_{2})[/mm]
>
> Für das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß P gilt also:
>
> [mm]P(A_{1}xA_{2})=\summe_{(w_{1},w_{2}) \in A_{1}xA_{2}}^{}p(w_{1},w_{2})=\summe_{w_{1} \in A_{1}}^{}p_{1}(w_{1}) \summe_{w_{2} \in A_{2}}^{}p_{2}(w_{1};w_{2})[/mm]
>
> Hallo zusammen,
> ich habe ein Verständnisproblem bzgl obiger Definition.
>
> Mein Problem liegt an der markierten Stelle:
>
> [mm]P(A_{1}xA_{2})=\summe_{(w_{1},w_{2}) \in A_{1}xA_{2}}^{}p(w_{1},w_{2}) \red{=}\summe_{w_{1} \in A_{1}}^{}p_{1}(w_{1}) \summe_{w_{2} \in A_{2}}^{}p_{2}(w_{1};w_{2})[/mm]
>
> Also klar wäre mir:
>
> [mm]P(A_{1}xA_{2})=\summe_{(w_{1},w_{2}) \in A_{1}xA_{2}}^{}p(w_{1},w_{2})\red{=}\summe_{w_{1} \in A_{1}, w_{2} \in A_{2}}^{}p_{1}(w_{1})p_{2}((w_{1};w_{2})[/mm]
>
> Mir ist klar, dass beim Ausmultiplizieren der ersten
> Variante einige Produkte wegfallen würden, weil diese
> Ereignisfolgen unmöglich sind, die entsprechenden
> Wahrscheinlichkeiten also gleich 0 wären und so das
> Gleiche wie in Variante 2 herauskommen würde. Aber, wenn
> ich nicht ausmultiplizieren würde sähe das ganze doch wie
> folgt aus und warum dann das selbe herauskommen soll
> versteh ich nicht.
>
> Denn bei einem Experiment mit zwei möglichen,
> gleichwahrscheinlichen Ergebnissen würde zwar das selbe
> rauskommen, aber wenn man von folgendem ausgeht, drücken
> die beiden Ausdrücke doch nicht das Selbe aus, oder?
>
> Der Baum ist vereinfacht dargestellt, d.h. ich zeige nur
> die benötigten Äste auf. Die kursiv gedruckten Angaben
> beschreiben die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.
>
> 1 1/4 0 (weil wir ja -1 brauchen)
> 1/4
> 0 1/2 0 1/2 0 (weil wir ja 0 brauchen)
> 1/4
> -1 1/4 0 (weil wir ja 1 brauchen)
>
> nach Df würde gelten:
>
> [mm]\summe_{w_{1} \in A_{1}}^{}p_{1}(w_{1}) \summe_{w_{2} \in A_{2}}^{}p_{2}(w_{1};w_{2})=(p_{1}(0)+p_{1}(1)+p_{1}(-1))(p_{2}(0;0)+p_{2}(1;0)+p_{2}(-1;0))=1[/mm]
>
> nach Variante 2 würde aber gelten:
>
> [mm]p_{1}(0)p_{2}((0;0)+p_{1}(1)p_{2}((1;0)+p_{1}(-1)p_{2}(-1;0)=1/4+1/16+1/16=3/8[/mm]
Du liest die Formel falsch: die rechte Seite ist nicht
[mm] \left(\summe_{w_{1} \in A_{1}}^{}p_{1}(w_{1})\right)\left( \summe_{w_{2} \in A_{2}}^{}p_{2}(w_{1};w_{2})\right) [/mm]
sondern
[mm] \summe_{w_{1} \in A_{1}}^{}\left(p_{1}(w_{1})\summe_{w_{2} \in A_{2}}^{}p_{2}(w_{1};w_{2})\right) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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