Gegenseitige Lage von Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Do 23.06.2005 | | Autor: | Miri06 |
hallo. ich bin neu hier und brauch unbedingt hilfe. ich muss morgen in mathe eine GFS halten und habe noch nicht ganz verstanden, wie ich das genau erklären soll, wenn sich 2 ebenen schneiden, zueinander parallel und keine gemeinsamen punkte haben und identisch sind. habt ihr vielleicht eine idee wie ich das deutlich erklären kann? oder habt ihr vielleicht sogar ein bsp. auf lager? ich weiß, dass sich 2 ebenen in einer geraden schneiden, wenn die gleichung unendlich viele lsg. hat. aber woran erkenn ich das? und wenn sie zueinander parallel sind hat die gleichung keine lsg. was ist jedoch wenn sie identisch sind??? könntet ihr mir bitte helfen und mir das alles kurz erklären und sinnvoll zusammen packen, damit ich das morgen auch gescheit erklären und rüberbringen kann! wäre echt super nett! danke! miriam
ich habe diese frage in keinem forum auf anderen internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 14:10 Do 23.06.2005 | | Autor: | Pacapear |
hi miriam.
also du hast ja in deinen treat von gleichungen gesprochen und verschiedenen lösungen.
wenn du das verhalten von 2 ebenen rauskriegen musst, dann musst du die beiden ebenen gleichsetzen.
beispiel:
E1: x = [mm] \vektor{7 \\ 5 \\6} [/mm] + m * [mm] \vektor{1 \\ 9 \\ -2} [/mm] + n * [mm] \vektor{5 \\ -2 \\ 4}
[/mm]
E2: x = [mm] \vektor{8 \\ -1 \\ -4} [/mm] + m * [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 6} [/mm] + n * [mm] \vektor{8 \\ -3 \\ 3}
[/mm]
E1 = E2 ==> [mm] \vektor{7 \\ 5 \\ 6} [/mm] + m * [mm] \vektor{1 \\ 9 \\ -2} [/mm] + n * [mm] \vektor{5 \\ -2 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ -1 \\ -4} [/mm] + s * [mm] \vektor{1 \\ 2\\6} [/mm] + t * [mm] \vektor{8 \\ -3 \\3}
[/mm]
das kannst du nun in ein lineares gleichungssystem umwandeln:
I 7 + 1m + 5n = 8 + 1s + 8t
II 5 + 9m - 2n = -1 + 2s - 3t
III 6 - 2m + 4n = -4 + 6s + 3t
wenn du dieses gleichungssystem löst, können mehrere Lösungen auftreten.
a) es gibt keine Lösung ==> die ebenen sind parallel und berühren sich in einem punkt
b) du kannst die variablen n und m ODER die variablen s und t eleminieren. für die beiden variablen ,die du überbehälst, bekommst du konkrete ergebnisse. diese setzt du in eine der beiden ebenen-gleichungen E1 oder E2 ein (je nach dem welch variablen du hast) und als ergebnis erhälst du eine gerade.
==> E1 und E2 schneiden sich in dieser Gerade
c) unendlich viele Lösungen ==> die beiden Ebenen sind identisch.
ich hoffe ich konnte dir ein wenig weiterhelfen.
LG, Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Fr 24.06.2005 | | Autor: | informix |
Hallo Nadine und Miriam,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> hi miriam.
>
> also du hast ja in deinen treat von gleichungen gesprochen
> und verschiedenen lösungen.
>
> wenn du das verhalten von 2 ebenen rauskriegen musst, dann
> musst du die beiden ebenen gleichsetzen.
>
>
>
> beispiel:
>
> E1: x = [mm]\vektor{7 \\ 5 \\6}[/mm] + m * [mm]\vektor{1 \\ 9 \\ -2}[/mm] +
> n * [mm]\vektor{5 \\ -2 \\ 4}[/mm]
>
> E2: x = [mm]\vektor{8 \\ -1 \\ -4}[/mm] + m * [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 6}[/mm]
> + n * [mm]\vektor{8 \\ -3 \\ 3}[/mm]
>
>
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> E1 = E2 ==> [mm]\vektor{7 \\ 5 \\ 6}[/mm] + m * [mm]\vektor{1 \\ 9 \\ -2}[/mm]
> + n * [mm]\vektor{5 \\ -2 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{8 \\ -1 \\ -4}[/mm] + s *
> [mm]\vektor{1 \\ 2\\6}[/mm] + t * [mm]\vektor{8 \\ -3 \\3}[/mm]
>
>
>
> das kannst du nun in ein lineares gleichungssystem
> umwandeln:
>
> I 7 + 1m + 5n = 8 + 1s + 8t
> II 5 + 9m - 2n = -1 + 2s - 3t
> III 6 - 2m + 4n = -4 + 6s + 3t
>
>
>
> wenn du dieses gleichungssystem löst, können mehrere
> Lösungen auftreten.
>
> a) es gibt keine Lösung ==> die ebenen sind parallel und
> berühren sich in keinem punkt
Das ist wohl nur ein Schreibfehler?
Leichter erscheint mir, zunächst die Spannvektoren zu überprüfen:
wenn man die Spannvektoren der einen Ebene als Linearkombination der Spannvektoren der anderen Ebene darstellen kann, sind sie linear abhängig und die Ebenen folglich parallel.
Dann prüft man mit der Punktprobe, ob der eine Aufhängepunkt auf der anderen Ebene liegt und entscheidet so, ob die Ebenen identisch sind oder nicht.
Nur im Falle von linear unabhängigen Spannvektoren würde ich mich in das Abenteuer des großen Gleichungssystems wagen.
>
> b) du kannst die variablen n und m ODER die variablen s und
> t eleminieren. für die beiden variablen ,die du
> überbehälst, bekommst du konkrete ergebnisse. diese setzt
> du in eine der beiden ebenen-gleichungen E1 oder E2 ein (je
> nach dem welch variablen du hast) und als ergebnis erhälst
> du eine gerade.
> ==> E1 und E2 schneiden sich in dieser Gerade
>
> c) unendlich viele Lösungen ==> die beiden Ebenen sind
> identisch.
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>
> ich hoffe ich konnte dir ein wenig weiterhelfen.
>
> LG, Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Sa 25.06.2005 | | Autor: | Pacapear |
hallo.
ja, das war ein schreibfehler - das tut mir leid.
ich persönlich finde einfacher direkt das lgs aufzustellen und zu lösen, da man quasi direkt alle ergebnisse erhält.
lg, nadine
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